§ 8 隧洞的衬砌计算
一、荷载及荷载组合
二、圆形有压隧洞的衬砌计算
三、无压隧洞的衬砌计算
四、渐变段衬砌计算简介
五、衬砌的边值问题及数值解法
前 言
目的,核算在设计规定的荷载组合条件下衬砌的强度，使之
满足规范要求。
计算方法：
★ 一类,1、将围岩与衬砌分开，按文克尔假定考虑围岩的弹
性抗力，衬砌上承受各项有关荷载，然后按超静定
结构解算衬砌内力。
缺点,与实际情况不太吻合。
2、采用衬砌常微分方程边值问题数值解法。
★ 二类：有限元法 将围岩与衬砌视为整体，其准确性取决于
计算模型和原始参数 E,φ,C等。
岩体性态复杂多变，上两者难以准确确定。
一、荷载及荷载组合
作用在水工隧洞衬砌上的荷载有：山岩压力、
内水压力、外水压力、衬砌自重及灌浆压力，温
度荷载、地震力等。
其中内水压力、自重比较明确，而其余的力
只能在一些简化和假定的前提下进行近似计算。
一、荷载及荷载组合
（一）围岩 压力（山岩压力）
隧洞开挖后围岩变形或塌落作用在支护上的
压力。
影响山岩压力大小的因素：围岩的地质条件
和力学特征（强度和变形性能节理，裂隙的分布
和发育情况）；初始应力，地下水，隧洞的走向，
埋深和几何形状；开挖方法；衬护时间，衬护形
式。
影响因素很多且错综复杂，难精确计算。
一、荷载及荷载组合
目前，确定围岩压力的方法：
★ 松散介质理论（塌落拱法）
此方法视岩体为具有一定的凝聚力的松散介质，在
洞室开挖后，由于岩体失去平衡形成“塔落拱”，拱处
的围岩仍保持平衡，拱内岩块重量就是作用再衬砌上的
荷载 —— 山岩压力。
普氏用“坚固系数” （亦称拟摩擦系数），代替岩
石颗粒间的真实摩擦系数,kf
??
? ? c
k tgf ???式中,τ— 岩石抗剪强度,υ— 岩石内摩擦角，
σ— 正应力,c— 粘结力
一、荷载及荷载组合
实际工程中：
100
cR
k Af ??
Rc— 岩石单轴抗压强度 A— 小于 1的修正系数
近似计算为：
100
cR
k Af ??
普氏观测试验资料，制成各种岩石 分类表。
最坚硬的岩石 达 20；最差 (松、软 ) 只有 0.3。
kf
kf kf
一、荷载及荷载组合
普氏推导出坍落拱的形状为抛物线，坍落拱高度 h按下
式计算：
两侧无滑动面时：
两侧有滑动面时：
kf
Bh
2?
h
H
A B
B
O
k
o
k f
tgHB
f
Lh
2
)45(2
2
2
????
??
A‘ B’O
DC h
H
A B
B
垂直山
岩压力
L
45o – υ/2
一、荷载及荷载组合
① 没有侧向山岩压力作用岩体中的隧洞
A）隧洞顶是平的，洞顶受到山岩压力的压强量 q：
B）曲线形洞顶,(认为铅直山岩压力可以减少 30%）
B
h
?
????
r
rhrq
kf
B
2
岩石容重。
kf
Brrhq
27.07.0 ???
一、荷载及荷载组合
② 侧向山岩压力计算
e1, e2 为水平山岩压力强度。
A）在洞顶面处：
B）在洞底面处：
h
H
q
B
L
? ?221 457.0 ?? ???? otghe
垂直压强 系数
? ? ? ?222 457.0 ?? ????? otgHhe
一、荷载及荷载组合
2＞fk
为简化计算，在设计中多采用 e1,e2的平均值，
即 e=（ e1+e2） /2作为均匀侧向水平山岩压力。
对于中等坚硬以上的岩石,即,可以不考虑水
平山岩压力。
普氏理论提出 仅与岩石的强度有关，而并未考
虑到山岩压力有关的其它因素，因而理论上比较粗
糙，实践也证明是很不准确的。
kf
一、荷载及荷载组合
★ 围岩压力系数法
① 1966年, 水工隧洞设计暂行规范, 建议的方法：
用“山岩压力系数法确定山岩压力”：
铅直向强度：
水平向强度：
Ry BSq ????
Rx HSe ????
? ?? ?
? ?
2
2
3
2
2
1
45
5.0
?
??
????
?
o
H
B
x
fy
tgm
mmS
S
k
岩石容重。水平山岩 压平山岩
洞室 开室开挖铅直山岩压力系数洞室 开室开挖
??
???
Rx
y
S
HSB
?，
，，，
一、荷载及荷载组合
,系数随围岩情况不同而异，应用时查表。
山岩压力系数并不是实测成果，而是结合已建成的工
程，对普氏理论中坚固系数 分析整理得出的经验数据，
粗略地反映了节理、裂隙或风化程度的影响，但并未克服
普氏法的根本弱点。
②我国 1983年, 水工隧洞设计规范,
根据全面分析，综合考虑的原则，采用从工程实际出
发用经验估计的方法，即提出首先坝功臣所在的围岩进行
分类，然后按围岩的类别采用经验公式计算围岩压力。
xS yS
kf
一、荷载及荷载组合
★ 弹塑性理论法
此法是在理论化的基础上，简单的地质条件推导出来
的，难以反映实际情况。
岩体的工程地质，水文地质条件错综复杂，山岩压力
显然不能用一个简单的公式予以概括。
一、荷载及荷载组合
（二）围岩的弹性抗力
当衬砌承受荷载向围岩方向变形时，将受到围岩的抵抗，
这个抵抗力叫弹性抗力。
弹性抗力的大小和性质与工程地质条件有密切的关系，
坚固完整的岩石，弹性抗力大；围岩软弱破碎，弹性抗力小，
甚至不能利用。
为了减少山岩压力，有效地利用弹性抗力，常对围岩进
行灌浆加固，并填实衬砌与围岩间的空隙，以保证衬砌与围
岩紧密相接。
弹性抗力的计算：
通常假定岩石为理想弹性体，按文克尔假定，认为岩石
一、荷载及荷载组合
的弹性抗力 P与衬砌的变位 Y成正比，即,P=KY,式中
K— 弹力抗力系数,K表示能够阻止面积为 1cm2的衬砌变位
1cm所需的力，如果 P的单位式 KN/ cm3，则 K的单位 KN/cm2。
附：
对于有衬砌的圆形有压隧洞，可以看作式位于理想弹性
体围岩中一个厚壁圆筒，根据弹性理论可得：
? ?
? ?
隧洞衬砌外半径。??
??
????
??
??
o
r
E
E
r
r
cmKNEK
YYKPP
o
o
，
，：，，
泊松比
/岩石 弹石式中那 么
变形相容
2
1
1
?
??
?
?
一、荷载及荷载组合
经验和分析说明：在同样得围岩中，洞径大,K 值小；
洞径小,K值大，而且大致成反比。为了计算方便，人们采
用半径为 1m的圆形坑道的 K值，作为标准，用 Ko表示 (亦称单
位弹性抗力系数 )，当用 m为单位时：
以 cm为单位时：
— 表示实际开挖半径。
说明,— ① 是坑道的半径，而不是衬砌里壁的半径。
②是半径，不是直径。
③对不是圆形的坑道,
B — 坑道水平向最大净宽度。
? ? ? ? eoKeo KmmKK ?? ??,即:1:
? ? ? ? ? ?31 0 0 /:1 0 0,cmKNKcmcmKK e oKeo ?? ??,即
e?
e?
2Be ??
一、荷载及荷载组合
K0值可以, 查表,,, 类比,,, 按上式计算求得,,最
好的办法是现场实测。
影响弹力抗力系数的因素很多，而且整个隧洞不一定用同
一个 K0值。
在隧洞的衬砌计算中，考虑了弹性抗力，可抵消一部分作
用于衬砌上的荷载，因而降低计算出来断面中的拉应力，设计
结果，衬砌厚度可以减小，节约建材。
在什么情况下可考虑弹性抗力？
※ 有压隧洞：
①围岩厚度大于隧洞开挖直径的 3倍。
②洞周没有不利的滑动面，在内水压力作用下不致产生滑动
和抬动。
③衬砌和围岩的空隙，必须回填结实。
一、荷载及荷载组合
④ 围岩厚度大于内水压力水头的 0.4倍。
※ 无压隧洞：
弹性抗力只存在于衬砌变位向着围岩 的部分，而不产生
于背着围岩部分，因此，它在外周的分布形成，随着衬砌的
不同而不同。
一、荷载及荷载组合
（三）内水压力及外水压力
★ 内水压力
(1)无压隧洞：只要算出洞内的水面曲线，即可确定内
水压力。
(2)有压隧洞：内水压力式有压隧洞中的重要荷载，常
对衬砌的计算起控制作用。
为了使计算简单，将有压隧洞中的内水压力分解为两部
分：均匀内水压力 +非均匀无水头满水压力。
均匀内水压力的强度是：洞顶内壁到设计水位先之间水
头引起的（ ）。
无水头满水头压力是指洞内刚刚充满水的情况：洞顶压
力为 0，洞底压力为 。
h??
?? ??? dr2
一、荷载及荷载组合
有压引水发电隧洞：内水压力 =全水头 +水击引起的压
力
增值。
一、荷载及荷载组合
★ 外水压力（地下水压力）
外水压力是地下水头引起的，规范规定：外水压力是作用
在衬砌外表的边界力。
外水压力 对无压隧洞经常引起控制作用；
对有压隧洞径则对内水压力有抵消的作用。
地下渗流的情况十分复杂，影响因素也多，准确值无法
确定，常用的方法：
1、规范：将地下水面以上的水柱高乘以折减系数 β 作为
外水压力值。
β 值 视地质、水文地质及防渗、排水等情况而言。
本方法简单方便，在工程上一直广泛应用（虽然近似粗
略）。
一、荷载及荷载组合
2,围岩于衬砌组成一个紧密结合的整体，两者又都是
不同程度的透水材料，因此内外水是连通的，不能截然的
分为内、外水压力，即不应将外水压力视为一种边界力，
而应视为在一定边界条件下，隧洞在地下水位以下的空间
渗透力，通过渗流场计算，可以求得作用在衬砌外表面得
水压力。
如果视钢板衬砌，外水压力才是边界力。
一、荷载及荷载组合
（四）衬砌自重
衬砌自重是指沿隧洞轴线 1m长的衬砌的自重，均匀作
用于衬砌厚度的平均线上，计算的厚度应考虑平均超挖回
填部分，其平均厚度可取 0.1～ 0.3m。
单位面积上的自重强度 g为：
式中,— 衬砌材料的容重（ KN/m3），
— 包括超挖在内的衬砌厚度 。
? ?K P ahg c ?? ?
c?
h
一、荷载及荷载组合
（五）灌浆压力
★ 回填灌浆
产生原因,衬砌在施工时，其顶部与围岩之间难于填满而留有空
隙，需要进行回填灌浆。
荷载性质,主要是存在于施工完建时期的荷载，完建以后，即逐
渐减少（因水流的凝固，灌浆压力即逐渐消失）属施工情况的临
时荷载。
分布规律,与地质条件、施工方法关系很大。通常认为：分布载
顶部中心角 900-1200以内。沿衬砌背部均匀分布，并与背部正交
（径向分布）。
施工灌浆压力值,一般为 2— 3kg/cm2。
★ 固结灌浆
均匀分布于整个隧洞断面周围。
一、荷载及荷载组合
（六）温度压力
产生的原因,衬砌之外的围岩阻碍衬砌自由胀缩，所以在衬
砌内部产生温度应力。
施工期,混凝土的水化热和干缩。
运用期,水温的变化，气温的变化对洞的影响小。
升温时产生压应力,降温时产生拉应力。混凝土耐压不耐
拉,故温降为控制情况,隧洞衬砌混凝土能承受的降温度只有
7～ 10℃,超过则产生裂缝。
减小温度应力的工程设施：
施工期,选择适宜的水泥（低热），控制水灰比，加强养
护，缩短浇筑的长度（洞线轴向），配置适量的温度钢筋。
如何考虑，如何计算？
非寒冷地区，影响较小，一般不考虑。
一、荷载及荷载组合
寒冷地区：
①有压圆形隧洞，根据弹性理论折算为等效内水压力。
例：有压圆形隧洞，内直径 4米，花岗岩 γ =2.5T/m3，衬
砌厚 0.40米，岩石原始温度 T=12℃,冬季平均最低温度 0.2℃,
混凝土浇筑温度 T1=12℃,混凝土在水中的膨胀值相当于 T/=5℃,
求衬砌温度应力相当于多少内水压力？
△ T使坑道半径减小
P—— 衬砌温度应力，相当于内水压力 16m水头。
②无压隧洞，在确定温差后，用结构力学的方法计算内力。
? ?温降8.652.012'01 CTtTT o?????????
2/6 0 7.1 cmKgP ?
一、荷载及荷载组合
（七）地震力
地震力对埋置在地下建筑物的影响远小于对地面建筑物
的影响。埋置较深的比埋置较浅的要小。
隧洞埋在地下深处，与围岩紧密结合的衬砌，地震对其
影响很小，洞身设计时一般不予考虑。但当隧洞通过设计烈
度高于 8度，特别是地基较弱，围岩破碎和节理发育地区，
则应进行抗震计算。
对隧洞进出口建筑物，应按规定进行抗震设计。
（八）荷载组合
基本荷载,山岩压力、衬砌自重、正常水位或宣泄设计洪水
时的内水压力和外水压力。
一、荷载及荷载组合
特殊荷载,校核水位时内、外水压力、灌浆压力、温度荷
载、地震力、施工荷载等。
衬砌计算时常采用下列荷载组合：
基本组合,1、正常运行情况：山岩压力 +衬砌自重 +宣泄设
计洪水时内水压力 +外水压力。
不同地段岩 计弹性抗力 北方 考虑温度荷载
石情况不同 不考虑弹性抗力 非寒冷地区 不考虑温度荷载
特殊组合,2、施工、检修情况：山岩压力 +衬砌自重 +可能出
现的最大外水压力。
3、非常运用情况：山岩压力 +衬砌自重 +宣泄校核
洪水时的内水压力 +外水压力。
正常运用情况，用以设计衬砌的尺寸和进行配筋，其它情
况用来校核。
二
圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
有压隧洞多圆形断面。在大多数情况下，它的主要荷
载是内水压力，此外尚考虑山岩压力、衬砌自重、外水压
力等。
由于内水压力比较大，更应充分利用围岩的承载能力，
为充分利用围岩弹性抗力，应尽量使衬砌与围岩紧密贴结。
计算步骤：指各种荷载单独作用下，求出衬砌中的弯
矩和轴力，然后根据荷载组合进行迭加。
本书介绍的方法：弹性特征因素法 —— 根据弹力厚壁
管公式，推导出来设计混凝土和钢筋混凝土，有压圆形衬
砌的方法。
本方法适用：埋深度大于三倍洞径。
岩体坚固系数 >6(仅均匀内水压力作用 )
内水压力在 20m以下，用素混凝土。
超过 20m，宜用钢筋混凝土。
二
圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
计算方法的基本原理,将衬砌视为无限弹性介质中的
厚壁圆管，根据衬砌和围岩接触面的径向变位相容的条件，
求出以内水压力 P所表示的弹性抗力 Po，再利用轴对称受力
圆管的弹性力学厚壁管公式计算衬砌的内力。
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算
nh
t?
t?
r?
r?
环向（切向）
轴向
衬砌在均匀内水压力作用下的应力计算图
二
圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
如图所示，在内水压力 P 的作用和弹性抗力 Po作用下，
按图衬砌在均匀水压力弹性理论平面变形情况，求得厚壁管
管壁任意半径 r处的径向变位 u为：
取,得衬砌外缘的径向变位 为：
式中 E —— 衬砌材料的弹性模量；
—— 衬砌材料的泊松比；
—— 衬砌外半径之比，
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算
]
1
)21(1
1
1)21([)1(
02
2
2 pt
tp
tE
ru e
e ?
???
?
???? ???
]
1
)21()(
1
)()21(
[)1( 02
22
2
2
p
t
t
r
r
p
t
r
r
E
ru
ee
?
??
?
?
???
?
???
err? eu
?
t
ii
i
i
e
r
h
r
hr
r
rt ????? 1
二
圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
当开挖的洞壁作用有 po时，按文克尔假定，洞壁的径向变
位,此处,K为岩石的弹性抗力系数,Ko
为单位弹性抗力系数。根据变形相容条件,整理后可
得围岩的弹性抗力为,
A为弹性特征因素，式中的 E,Ko分别以 kPa和 kg/cm2计；
若以和为单位，则需要将式中的 E 改为 0.01E。
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算
000 100 K
rpKpy e??
euy?
p
At
Ap
?
??
20
1
)21)(1(
)1(
0
0
uuKE
uKE
A
???
??
?
（ 8—— 18）
（ 8—— 19）
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
按弹性理论的解答，厚壁管在均匀内水压力 p和弹性抗
力 po作用下，管壁厚度内任意半径 r处的切向正应力 σ t为,
将式（ 8— 18）代入式（ 8— 20），分别令,
即可得到单层衬砌在均匀内水压力 p作用下边缘切向拉应
力 σ i和外边缘切向拉应力 σ e为,
ei rrrr ??,
02
22
2
2
1
)(
1
)(1
p
t
r
r
t
p
t
r
r ee
t
?
?
?
?
?
??
p
At
At
i ?
??
2
2
? p
At
A
e ?
??
2
1?
(8— 20)
(8— 22)(8— 21)
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
因为,显然 >,这表明衬砌内壁的切向应
力恒大于外壁的切向应力。当不考虑弹性抗力时,即 Ko=0,则
A=1。
如果 1、围岩厚度大于 3倍开挖洞径 衬砌计算只考
2,洞径 D>6时 虑内水压力
★ 混凝土衬砌
求混凝土的衬砌厚度 h，在 8— 21式中，令
为混凝土允许轴心抗拉强度。
——— 抗拉极限强度。
—— 抗拉安全系数。
1??
i
e
r
rt
6?Kf
i? e?
][ hli ?? ?
? ? ilKRhl ??
lR
iK
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
]1
][
][
[
1
?
?
?
??
???
P
P
Arh
r
h
r
r
t
hl
hl
i
ii
e
?
?
?
为虚数时，
时，
hp
hp
hl
hl
?
???
][
][
?
?
解出 t得：
P
PAt
hl
hl
?
??
][
][2
?
?
（ 8—— 23）
（ 8— 23）式存在缺点：当 [σ hl]与 P的数值逐渐接近时，
h逐渐扩大到不合理程度。
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
][
1
][
2
2
2
hle
hli
p
At
A
p
At
At
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
i
l
hl
e
i K
R
F
N
W
M ????? ?? ][???
6
2bh
为了不使混凝土衬砌过厚，对坚固岩体内的混凝土衬砌，
一般限制水头不大于 20m，超过时，宜用钢筋混凝土。混凝
土应力校核：
除内水压力外，还有其它的荷载作用，计算各种荷载
单独作用时产生的轴向力和弯矩，再按下式校核混凝土衬
砌的切向拉应力：
式中,W—— 抗力矩（ ） F—— 断面积，即 F=bh
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
如需求出在均匀水压力作用下的断面内力，可先算 σ i、
σ e,然后近似按直线分布，求出轴向拉力 N和弯矩。
2
)
32
()(
2
hh
h
I
M
hN
ei
ei
??
??
?
?
??
?
?
??
σi
σe
h
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
★ 钢筋砼衬砌
用 [σ gh]代替 σhl即得：
]1][
][
[ ??
?
? p
p
Arh
gh
gh
i ?
? （ 8—— 25）
gh? —— 钢筋混凝土的允许轴心抗拉强度
如果（ 8— 25）式中，求出 h为负值，或小于结
构的最小厚度时，则应采用结构的最小厚度，
钢筋采用最小配筋率，对称配置。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
???????
?
???
?
?
?
22
2
c o ss in,
2
c o s,
24
ba
a
KKK
KK
????
????
aK? bK?
★ 考虑弹性抗力作用下的内力计算
(1)基本假定和计算方法,如
果围岩较好,在围岩压力、衬砌自
重、无水头洞内满水压力作用下，
应考虑弹性抗力的存在。根据研究，
约在顶拱中心角 90o范围以下部分，
衬砌变形指向围岩，作用有弹性抗
力（如图 8— 29），其分布规律为：
???? ??,2其中, 分别为处衬砌受到的弹性抗力。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
ba ??,
现以铅直围岩压力为例，说明内力的计算方法和步骤
[8— 29（ d） ]。
自洞顶切开，引刚臂至圆心，亦即弹性中心，由于荷载
及结构左右对称，故切力 X3=0。取一半计算，力法方程为：
p1? p2?
0
0
2222
1111
???
???
p
p
X
X
?
? （ 8—— 27）
),(
),(
22
11
ba
ba
fX
fX
??
??
?
? （ 8—— 28）
和 都包含有特定的,解之得,
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
根据向下的总荷载与向上的弹性抗力合力相平衡
（ ∑ Y=0）及在 X1,X2和外力作用下,φ =π/2处的变位
应为 δ a的两个补充条件，可以解得 δ a和 δ b。将 δ a和 δ b
代入公式（ 8— 28），即可求出 X1,X2，从而可解出各断
面的弯矩和轴向力。计算中忽略了轴向力对压缩变形的
影响以及衬砌与围岩间的摩擦力，弯矩 M以内缘手拉力为
正，轴向力 N以受压为正。
（ 2）各种荷载作用下的内力计算。按上述方法，可
求得圆形隧洞衬砌在各种荷载作用下考虑弹性抗力时的
内力计算公式。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
关于在各种荷载作用下，圆形衬砌各断面的弯矩和轴
力有现成的解答。（弯矩以衬砌内缘受拉为正，轴力以受
压为正）
①铅直山岩压力作用下的内力计算 (计算简图见前页 )
式中符号见书
系数 A,B,C,D,F及 G查表。
)]1(021 0.0)1(212 1.0[
)]1(014 0.0125.0375.0[
2
1
aaqrX
anaqr rX
e
e
????
????
)]1([
)]1([
??
??
????
????
GnFDqrN
cnBAqr rM
e
e (8—— 29）
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
② 衬砌自重作用下的内力计算
g—— 1m衬砌的重量，衬砌厚度为 h时，则 chg ??
c? —— 混凝土的容重，系数见表。
③ 无水头洞内满水压力作用下的内力计算
)06592.061(
)04392.017803.0(
2
2
1
ngrX
ngrX
???
??
)(
)(
11
112
nDCgrN
nBAgrM
??
??
)(
)(
)03294.058335.0(
)02197.041098.0(
2
2
22
2
2
1
nDCrN
nBArrM
nrX
nrrX
i
i
e
e
??
??
???
???
?
?
?
?
—— 水的容重 （ T/m3）,系数见表。?
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
)(22 grqrr ee ??? ??
④ 外水压力作用下的内力计算
? 不考虑内水压力时
Ⅰ ）当 时
（衬砌所受的浮力 <铅直山岩压力 +衬砌重量）
r —— 衬砌中心半径。
ewe
e
rhnDCrN
nBArrM
??
?
????
???
)(
)(
22
22
2
wh
—— 均匀外水压力水头，即计算水位在拱顶以
上的高度。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
er
可以看到，在外水压力的计算公式与无水头满水压力
的差别：
A 以外半径 代替内半径 。
ir
B 符号相反：原因是由于
内水压力作用在衬砌内表面 作用方向相反，
外水压力作用在衬砌外表面 所以符号相反。
Ⅱ ）当 时，应按不考虑弹性抗力的公
式计算内力，表 8— 9中第五项 条件下
的公式 。
)(22 grqrr ee ??? ??
)(22 grqrr ee ??? ??
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
? 当荷载组合中包括内水压力
A 当荷载组合中包括内水压力，浮力通常小于自重，计算
外水压力作用下不受 条件的限制。 )(22 grqrr
ee ??? ??
（实际这个条件已不存在，满洞内水重量 +衬砌自重 >浮
力，此处尚未计入山岩压力）
迭加后衬砌变形指向围岩，弹性抗力为止，因此都要
计算弹性抗力。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
B 当均匀内水压力 P和均匀外水压力组合时
如 作为均匀水压力，不再计
算均匀外水压力产生的内力,
i
ew
ewi r
rhPrh ?? ?? 以,Pr
如 作为均匀外水压力，计算
内力，不再计算均匀内水压力所产生的内力。
e
i
wewi rhrh
Pr,Pr ?? ?? 以
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
★ 不考虑弹性抗力作用下的内力计算
对外水压力很大时，或岩石软弱，不考虑弹性抗力。
当岩石坚固系数的时，不仅考虑弹性抗力；而且尚需计
入侧向山岩压力的影响。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
此时不计入弹性抗力但计地基反力（与其它荷载相平
衡）并认为地基反力以余弦分布（见上图）。作用范围：
下半部与直径等宽。
计算方法,同考虑抗力，只是更简单些。
①最大反力 R 由 即可求得。
（考虑弹性抗力时有两项 ）
②分布规律也简单些（此考虑弹性抗力时）
0?? iy
ba ??,
(三 )隧洞衬砌设计中的几个问题二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
▲ 水工隧洞沿线的地质条件及计算参数常是变化的，
内、外水压力同样也随断面位置的不同而不同。要使
衬砌设计达到安全和经济的目的，应当根据变化情况
将隧洞沿轴线分成若干段落，分段进行设计。
▲ 一般有压隧洞的内水压力是主要的荷载，当内水
压力较大时，断面多属小偏心受拉情况，可布置同一
直径的环向受拉钢筋。但如洞径、围岩压力均较大，
而内水压力相对较小时，包括无压隧洞，断面内的正
负弯矩变化较大，应力分布很不均匀。此时，应按应
力分段配筋，将几段不同直径的环向钢筋焊轧起来。
▲ 目前工程设计中，在设计钢筋混凝土，混凝土衬
砌时，有控制抗裂稳定性和允许开裂而限制裂缝开展
宽度两种不同的考虑和要求。对于无压隧洞和围岩较
厚而渗水不会对附近围岩、岸坡和建筑物产生有害
(三 )隧洞衬砌设计中的几个问题二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
影响的有 压 隧洞，可按允许开裂限制裂缝开展宽度设
计。否则应按控制混凝土的抗裂稳定性要求设计。按
限裂设计，裂缝的最大允许值，根据水力梯度和水质
有无侵蚀性，一般限制在 0.15～ 0.30mm。限裂设计可
以大量节省混凝土和钢筋用量，而对混凝土的耐久性
和钢筋的锈蚀不会产生影响，所以，目前在水工隧洞
设计中已广泛应用。
▲ 对高水头的有压隧洞，当围岩条件较差，单层衬
砌需要的厚度过大时，可采用外层为混凝土或钢筋混
凝土，内层为钢板的组合式双层衬砌。我国冯家山水
库有压泄洪洞出口段 [图 8— 8（ g）、图 8— 13（ a） ]
及西南地区一些高压引水道斜井均采用这种衬砌。如
外层混凝土不开裂，且围岩有一定承载能力时，内水
压力将又内层衬砌、外层混凝土和围岩共同承受，设
(三 )隧洞衬砌设计中的几个问题二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
计中只要能求出内、外层衬砌之间的均布压力计算。如
外层混凝土开裂，外层衬砌只起向围岩 传力的作用，而
内水压力将由内层和围岩来承担，但应考虑混凝土受压
后径向压缩的影响，外层衬砌厚度可按施工要求或按施
工期荷载用单层衬砌计算确定。因此，双层衬砌计算的
主要问题，在于确定在内水压力作用下两层衬砌之间的
作用力，其值可根据外层内边缘和内层外边缘径向变位
一致的条件来确定。
三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
2?Kf
岩石坚硬完整的泄水、引水、导流隧洞，常常只
衬砌顶拱，而边墙和底板只做护面，甚至不加衬砌。
这样，只有顶拱是承重结构，承受围岩压力、衬砌自
重或灌浆压力等。
无压隧洞一般多采用城门洞型封闭式整体衬砌，在
岩石坚固系数 的情况下，也可采用马蹄形。
只衬砌顶拱的衬砌计算：一般不考虑弹性抗力，
计
算同无绞拱。（具体解法见天大 81年版、下册 P158，
或汪胡桢, 水工隧洞设计理论与计算, ）
(一 )顶拱衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
? ?KP ?
假定拱座弹性固结于岩石上，认为拱座垂直于地基面
的变位 与法向应力 P成正比，即 。 K—— 为岩
层的弹性抗力系数（具体求解计算见书 P412～ 413）。
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
为了便于计算，可得衬砌由边墙和底板的结合处分
成直墙拱（城门洞型）或曲墙拱（马蹄型）和底板两个
部分。在计算中要考虑它们之间的弹性联接作用，并将
底板视为弹性地基上的梁。
计算直墙拱（曲墙拱）
■ 受荷载变形特点：
①直墙拱（曲墙拱）在顶部山岩压力和自重荷
载作用下，根据衬砌的变形观测和理论计算表明：
如衬砌和围岩无相对垂直位移，则在顶部部分中
心角约 90o的范围向下变位。
②墙基摩擦力大，认为没有水平位移。
③侧面边墙的变位与结构形式及其刚度有关。
■ 利用文克尔假定：衬砌受到的弹性抗力 P与该点
衬砌的法向变位 δ 成正比即 δ K=P（ K—— 岩层弹
性抗力系数）
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
??KT ?
在有弹性抗力的部位，应考虑弹性抗力而产生的摩阻
力, —— 衬砌与围岩的摩擦系数，方向向上。
但摩阻力影响很小，略去不计。 ?
nK?
nK?
■ 弹性抗力分布与假定
㈠ 分布（最大值与零点）
向围岩方向变形的部分有弹性抗力，而脱离围岩没有
弹性抗力
弹性抗力最大值,城门洞形在边墙顶部 b点为
马蹄形在水平直径处为
弹性抗力零点：
I）边墙部位抗力零点
直墙边墙上抗力为零的点 a的位置：
边墙刚度大 — a点与墙底 A点结合。
边墙刚度小 — a点愈高。
马蹄形：边墙零点与墙底 A点重合。
不同边墙
刚度不同
a试算
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
II）顶拱上抗力零点
顶拱为半圆形或接近半圆形，认为零点在倾角
处。
顶拱为非半圆，认为在 0.7倍最大弦长处。
045??
■ 分布规律的假定
I） 顶拱部分（城门洞、马蹄共用）弹性抗力零点约在
处00 45??
)s i n(
s i n)
c o sc o s
c o sc o s
(
2
0
2
2
0
2
hhh
h
h
h
KK
KK
?????
?
??
??
??
??
?
?
?
，则如取
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
h
h
KKK
???
?
????
??
????
0
2
,
2c o s)c o s21(
为断面与铅直面的夹角—式中
2
?? ?
h
和 为同一值，如,同一点
nK? hnK ?? s in
2
?? ?
h
则同一点为不同值。
090?? 045??
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
无底板城门洞形衬砌变位及计算图
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
Ⅱ ） 圆拱直墙断面，水平直径以下，假定为直线分布
)1( 1
a
h y
yKK ?? ??
到此时为止，弹性抗力的分布及零点已定，但
的数值仍然为未知。
Ⅲ ） 马蹄型侧墙假定为抛物线分布
)1( 1
a
h y
yKK ?? ??
h?
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
的
以下的结构计算与一般超静定结构基本相同，但墙基
的变位应考虑到墙与基岩连结的影响。
按结力法，求弹性中心：
?
?
?
?
2
0
2
0
s
s
EJ
ds
ds
EJ
y
C
式中,y? —— 由顶拱算起的纵坐标
s
—— 顶拱中心轴线的长度
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
设拱座（墙底）角变位为 ?,力法方程可写成
角变位水平位移
0
0
2222
1111
????
????
cP
P
yX
X
??
?? （ 8— 38）
???
??
??
?????
?
??
??
2
0
2
0
2
2
2
0
1
2
0
2
2
0
2
2
22
2
0
2
2
0
2
1
11
,
)1(
1
s
P
s
P
P
s
P
P
ss
ss
EJ
y d sM
EJ
dsMM
EJ
dsM
EJ
dsy
EJ
dsM
EJ
ds
EJ
dsM
?
?
式中,—— 在静定系统中包括弹性抗力在内的外
荷载对任一断面引起的弯矩。
22?
和 忽略在轴向变形的影响。
p2?
pM
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
x＇
x
y ‘ y
yc
β
X1
X2
β
y
βyc
拱座变位示意图
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
令 为 为墙底承受单位弯矩时，所产生的角变位，则当
墙底 A的弯矩为 时，其角变位为
（ 8— 39）
式中,—— 在静定系统中包括弹性抗力在内的外荷载对
墙底 A所引起的弯矩。
1?
0M ?
12112101 )( ?????? cPcii yxxyxxMM ????????
?0M
P? —— 由于 ?
0M
对墙底 A所引起的角变位。
将（ 8— 39）代入（ 8— 38）可得：
2
1
2
1111
2
22
111211
2
2
1
2
1111
2
22
1
2
22112
1
))((
))(()(
))((
))(()(
?????
?????
?????
?????
cc
PcPcPP
cc
cPPccPP
yy
yy
x
yy
yyy
x
???
??????
?
???
??????
?
（ 8— 40）
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
的
（包括, ）作用下 可以表示为：
式中
P1?, P2?
及
P? 均包含有弹性抗力的作用，为了计
算弹性抗力，可根据 h点的变位条件求出
h?
，在全部荷载
1x 2x
h?
???? hhhhPh xx ?????? 21 21
21 hhhP ??,，式中,?
—— 分别为荷载（包括弹性抗力），
1,1 21 ?? xx
1?hx
在 h点所引起的
位移，这些位移可
由下列各式求出：
在 h点处施加
的力（力法
中求某一点位移的
方法）
x
y
xh
x1
x2
ycyh
y1
h
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
1
0 0
1
0 0
12
0 0
11
1
1
1
1
1 1
y
ds
EJ
My
ds
EJ
MM
ds
EJ
yy
ds
EJ
MM
ds
EJ
y
ds
EJ
MM
hP
s s
PPh
s s
h
s s
h
?
?
?
?
??
??
??
??
? ?
? ?
? ?
对 h点以下任一断面的弯矩
hM
=1*y，
yMx *1,1 22 ??式中：
1S —— 自 h点至墙底 A衬砌的轴线长度
求出
h?
后，即可求出弹性抗力，将算得的
P1? P2?
及
P?
代入（ 8— 40）式,即可求得
1x 2x
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
的
边墙与顶拱任意断面的弯矩和轴力可按下式计算：
?c os2
21
xNN
yxxMM
P
P
??
??? （ 8— 20）
以下介绍如何求得：
1? —— 单位弯矩作用下的角变位（对底板端点）
P? —— 外荷载（包括弹性抗力）作用下的角变位
（对底板端点）
计算方法：
取单宽底板作为弹性地基梁上的直梁（扁平底板也可
按直梁计算）
（ 8— 43）
?
??
?
0140
2
3
3
1
2
2
MGP
Kb
G
Kb
P ?
?
?
?
? p
0 p0m0 m
0
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
的
底板中点的弯矩可用下式计算
102
0
2
GMGPM l ?? ?
（ 8— 44）
式中,?
0M
—— 静定系统中外荷载（包括弹性抗力 )
在墙底产生的弯矩
b —— 底板计算宽度，可取 b=1m
K —— 岩石的弹性抗力系数。
4 4 EJKb??
E—— 材料懂得弹模
J—— 断面的惯性矩
41 ~ GG
—— 双曲三角函数，可根据
2
L?
值
L—— 为底板的跨度
值查书中附表。
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
如果底板与边墙分离或无底板时，可将墙底与岩石视为
1?
、
P?
可按下式直接求出：弹性固接。
A
P
A KJ
M
KJ
?
?? 01,1 ??
AJ
—— 边墙底面截面惯性矩
下面介绍上两式的来源：
弹性固端在外荷载作用下，由于支撑地基的弹性作用，
? ?,线变位分解为拱座断面必然要产生角变位,及线变位
ur ??,
。垂直和水平两分量即
三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
假定拱座断面在外荷载作用时产生的应力是按直线分布
的。
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算
)*( naa
n
a K
K ??
? ?a点将沉降
其中
nK
代表基岩弹性抗力系数。
克尔假定。那么，拱座断面在受到外荷载后：
b点将沉降
n
b
K
?；设拱座 a,b的沉 降符合文拱座断面对铅直线的倾角为 ?
的。如下图，设拱座端面两端点 a,b的应力分别为
ba ??,
假定拱座断面在外荷载作用时产生的应力是按直线分布
hn
α
a
b
hn
σa
σb
拱
座
变
位
图
a
b
n
bK?
Δv
n
aK? Δu
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
拱座断面的角变位为：
nn
ba
hK *
??? ?? （ 1）
式中：
nh
—— 拱座断面的厚度
拱座断面的线变位为：
n
ba
K2
?? ??? （ 2）
其水平与铅直分量为：
拱座断面里的内力
bann NM ??,与和的关系式为：
?
??
?
??
s in
2
c o s
2
n
ba
v
n
ba
u
K
K
?
??
?
?? （ 3）
（ 4）
A
nn
n
n
b
A
nn
n
n
a
J
hM
h
N
J
hM
h
N
2
2
??
??
?
? （ 5）
（ 6）
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
AJ
式中 —— 拱座断面对其形心的惯性矩
将（ 5）（ 6）代入（ 1）（ 2） 式中，解得：
（ 7）式当 1,1
1 ?? nMx 则
An JK
1
1 ??
此处
nK
即前式中 K
cn yMx ??,12
当
?
?
?
s in
c o s
An
n
v
An
n
u
An
n
Kh
N
Kh
N
JK
M
??
??
?
(7)
(8)
(9)
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算
三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
An
P
P
Pn
c
An
c
JK
M
MM
y
JK
y
?
?
??
?
??
时当
12
封闭式衬砌结构计算步骤归纳如下：
常数中包括有弹性抗力的作用。弹性抗力以 K
h?
的函数表示之。
③ 计算底板的特征系数
4 4EJKb??
并由附表中查出双曲三角函数
41 ~ GG
的数值。
① 计算墙拱部分的弹性中心位置
② 计算出形常数
212211,,,hh ????
及载常数
hPPP ???,,21
,这时载
从而按（ 8— 43）式计算出 1?,
P?
，其中
P? 也为 Kh?
的函数
0M
）（式中有
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
，
，
、
任意断面的弯矩和轴力即可按（ 8— 42）式计算。
⑤ 将
1x
、
2x 代入（ 8— 39）式中算出 ? 及 hh y?? ??,然后一并
h?
代入（ 8— 41）式，解出
⑥ 求出
h?
后，即可代回各式，最后求出
1x, 2x,边墙和顶拱
⑦ 由（ 8— 44）式计算底板中点的弯矩，底板的轴向力，可
、，
代入（ 8— 40）式求出弹性中心处④ 将 1?
P?pp 212211,,,???? 的
1x 2x 1x 2x h?的超静定力 此时 也以 K 的函数表示之。
根据 y轴左侧衬砌水平力平衡条件求得。
四
渐
变
段
衬
砌
计
算
简
介
，
，
、
由于渐变段不长，且某些假定，如山岩压力、弹性抗
力也常与实际有出入，故工程设计中常只进行首尾两个断面
(矩形和圆形）设计，中间的渐变段断面采内插法以简化计算
计算中是否考虑弹性抗力，应视渐变段处的围岩厚度、
强度、灌浆程度等因素而定。
不考虑弹性抗力时的计算，按结构力学方法进行。、，
当荷载只对称于纵轴时，可用弹性中心法求解。
当结构及荷载均对称于通过形心的纵、横断轴，取结构
弯矩
功能原理确定。然后，可求出其它截面内力。
四分之一计算，剪力为零，只有轴力
0N 0N0M
可由最小、
四
渐
变
段
衬
砌
计
算
简
介
地基反力 地基反力
(a)山岩压力作用 (b)自重、水重作用
山岩压力
x1 x1x2 x2
No=x1
Mo=x2
Mo
No
Ks
rr
r
a a
b
b
r
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
拱形衬砌的微分段 ds上作用有切向荷载，径向荷载其内
力及变位的正向规定如图。
采用文克尔假定，根据 ds段上静力的切向平衡，法向平
衡条件和弯矩平衡条件。（略去高阶微量）可得如下方程组：
Q M
T
ψ
u
v
s
r φ φn
qy
r dφ
M
T
Q
Q+dQ/ds*ds
M+dM/ds*ds
T+dT/ds*ds
A
B
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
r
ds
dtgddd
dsqdds
ds
d
dds
ds
dT
TT
T
?????
???????
??
????
?
?
??
?
s i n,1c o s
0s i n)(c o s)(
0
略去高阶微量
r
dsds
ds
d??
??
?
? qQqQ
rds
dT
dsq
r
ds
Qds
ds
dT
??????
???
1
0
即：
0s i n)(c os)(
0
????????
??
?? dds
ds
dT
TdsqK Uh dsdds
ds
dQ
QQ
Q
n
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
略去高阶微量
?ddsdsdT s in
整理得：
TqK V hTrqK V hdsdQ nn ??????? 1
Q
ds
dM
Qdsds
ds
dM
dsds
ds
dQ
Qds
ds
dM
MM
M
??
??
??????
??
0
0)()(
0
将 ds段在内力 T,Q,M作用下产生的位移和 ds段由
于 A端有 时，在 B端产生的相对位移相加去除以 ds，
可得到下列方程组。
?,,vu
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
EJ
M d s
d
u
GE
Q
ds
dv
u
r
ds
ds
GE
Q d s
dv
v
rEF
T
ds
du
v tg d
EF
T d s
du
?
???
???
??
??
?
??
?
?
1
EJ
M
ds
d ??
r dφ
A
B
dφ
vtgdφ
A
r dφ
B
φdsφ
r
dφ
A
B
u
utgdφ=u*ds/r
dφ
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
关于弹性固端
实际无绞拱的支座，都是有一定弹性的，在外因
的影响下拱座会发生移动，无绞拱的支座移动使结构产生
内力。因此，当拱上荷载引起的拱座移动使结构产生的内
力较小而不能忽视时，就要按弹性支座计算；反之，如内
力不大，可以忽略，则按刚性支座计算。
对于支撑在岩基上的混凝土无绞拱，通常不考虑
支座的剪（应力）切变形（ V=0）（即拱脚不产生位移）假
定在拱脚轴向力和弯矩的作用下，地基某点的压缩变形与
该点的压应力成正比。
即,Ky??
式中,? —— 地基在该点的压应力
y—— 地基在该点的法向位移
K—— 地基弹性抗力系数
① 在轴向压力作用下，拱座上各点的应力相同，故各点
位移也相同，拱脚截面平移 u，则：
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
1*** dnuKAT ?? ?
A—— 拱脚截面积,A=dn*1（取单宽）
② 在弯矩作用下，拱座受力面绕中性轴旋转，产生拱座
角位移 ?
a
b
dn
φ
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
000
2
2
22
/)(
???
??
??
??????
?
???
?
?
?
???
????
?
，，刚性固端
），，（此时
vu
JKM
KJ
M
K d n
dn
J
M
dn
y
J
Mydn
J
M
K d n
dn
KK
n
n
n
nn
ba
baba
一、荷载及荷载组合
二、圆形有压隧洞的衬砌计算
三、无压隧洞的衬砌计算
四、渐变段衬砌计算简介
五、衬砌的边值问题及数值解法
前 言
目的,核算在设计规定的荷载组合条件下衬砌的强度，使之
满足规范要求。
计算方法：
★ 一类,1、将围岩与衬砌分开，按文克尔假定考虑围岩的弹
性抗力，衬砌上承受各项有关荷载，然后按超静定
结构解算衬砌内力。
缺点,与实际情况不太吻合。
2、采用衬砌常微分方程边值问题数值解法。
★ 二类：有限元法 将围岩与衬砌视为整体，其准确性取决于
计算模型和原始参数 E,φ,C等。
岩体性态复杂多变，上两者难以准确确定。
一、荷载及荷载组合
作用在水工隧洞衬砌上的荷载有：山岩压力、
内水压力、外水压力、衬砌自重及灌浆压力，温
度荷载、地震力等。
其中内水压力、自重比较明确，而其余的力
只能在一些简化和假定的前提下进行近似计算。
一、荷载及荷载组合
（一）围岩 压力（山岩压力）
隧洞开挖后围岩变形或塌落作用在支护上的
压力。
影响山岩压力大小的因素：围岩的地质条件
和力学特征（强度和变形性能节理，裂隙的分布
和发育情况）；初始应力，地下水，隧洞的走向，
埋深和几何形状；开挖方法；衬护时间，衬护形
式。
影响因素很多且错综复杂，难精确计算。
一、荷载及荷载组合
目前，确定围岩压力的方法：
★ 松散介质理论（塌落拱法）
此方法视岩体为具有一定的凝聚力的松散介质，在
洞室开挖后，由于岩体失去平衡形成“塔落拱”，拱处
的围岩仍保持平衡，拱内岩块重量就是作用再衬砌上的
荷载 —— 山岩压力。
普氏用“坚固系数” （亦称拟摩擦系数），代替岩
石颗粒间的真实摩擦系数,kf
??
? ? c
k tgf ???式中,τ— 岩石抗剪强度,υ— 岩石内摩擦角，
σ— 正应力,c— 粘结力
一、荷载及荷载组合
实际工程中：
100
cR
k Af ??
Rc— 岩石单轴抗压强度 A— 小于 1的修正系数
近似计算为：
100
cR
k Af ??
普氏观测试验资料，制成各种岩石 分类表。
最坚硬的岩石 达 20；最差 (松、软 ) 只有 0.3。
kf
kf kf
一、荷载及荷载组合
普氏推导出坍落拱的形状为抛物线，坍落拱高度 h按下
式计算：
两侧无滑动面时：
两侧有滑动面时：
kf
Bh
2?
h
H
A B
B
O
k
o
k f
tgHB
f
Lh
2
)45(2
2
2
????
??
A‘ B’O
DC h
H
A B
B
垂直山
岩压力
L
45o – υ/2
一、荷载及荷载组合
① 没有侧向山岩压力作用岩体中的隧洞
A）隧洞顶是平的，洞顶受到山岩压力的压强量 q：
B）曲线形洞顶,(认为铅直山岩压力可以减少 30%）
B
h
?
????
r
rhrq
kf
B
2
岩石容重。
kf
Brrhq
27.07.0 ???
一、荷载及荷载组合
② 侧向山岩压力计算
e1, e2 为水平山岩压力强度。
A）在洞顶面处：
B）在洞底面处：
h
H
q
B
L
? ?221 457.0 ?? ???? otghe
垂直压强 系数
? ? ? ?222 457.0 ?? ????? otgHhe
一、荷载及荷载组合
2＞fk
为简化计算，在设计中多采用 e1,e2的平均值，
即 e=（ e1+e2） /2作为均匀侧向水平山岩压力。
对于中等坚硬以上的岩石,即,可以不考虑水
平山岩压力。
普氏理论提出 仅与岩石的强度有关，而并未考
虑到山岩压力有关的其它因素，因而理论上比较粗
糙，实践也证明是很不准确的。
kf
一、荷载及荷载组合
★ 围岩压力系数法
① 1966年, 水工隧洞设计暂行规范, 建议的方法：
用“山岩压力系数法确定山岩压力”：
铅直向强度：
水平向强度：
Ry BSq ????
Rx HSe ????
? ?? ?
? ?
2
2
3
2
2
1
45
5.0
?
??
????
?
o
H
B
x
fy
tgm
mmS
S
k
岩石容重。水平山岩 压平山岩
洞室 开室开挖铅直山岩压力系数洞室 开室开挖
??
???
Rx
y
S
HSB
?，
，，，
一、荷载及荷载组合
,系数随围岩情况不同而异，应用时查表。
山岩压力系数并不是实测成果，而是结合已建成的工
程，对普氏理论中坚固系数 分析整理得出的经验数据，
粗略地反映了节理、裂隙或风化程度的影响，但并未克服
普氏法的根本弱点。
②我国 1983年, 水工隧洞设计规范,
根据全面分析，综合考虑的原则，采用从工程实际出
发用经验估计的方法，即提出首先坝功臣所在的围岩进行
分类，然后按围岩的类别采用经验公式计算围岩压力。
xS yS
kf
一、荷载及荷载组合
★ 弹塑性理论法
此法是在理论化的基础上，简单的地质条件推导出来
的，难以反映实际情况。
岩体的工程地质，水文地质条件错综复杂，山岩压力
显然不能用一个简单的公式予以概括。
一、荷载及荷载组合
（二）围岩的弹性抗力
当衬砌承受荷载向围岩方向变形时，将受到围岩的抵抗，
这个抵抗力叫弹性抗力。
弹性抗力的大小和性质与工程地质条件有密切的关系，
坚固完整的岩石，弹性抗力大；围岩软弱破碎，弹性抗力小，
甚至不能利用。
为了减少山岩压力，有效地利用弹性抗力，常对围岩进
行灌浆加固，并填实衬砌与围岩间的空隙，以保证衬砌与围
岩紧密相接。
弹性抗力的计算：
通常假定岩石为理想弹性体，按文克尔假定，认为岩石
一、荷载及荷载组合
的弹性抗力 P与衬砌的变位 Y成正比，即,P=KY,式中
K— 弹力抗力系数,K表示能够阻止面积为 1cm2的衬砌变位
1cm所需的力，如果 P的单位式 KN/ cm3，则 K的单位 KN/cm2。
附：
对于有衬砌的圆形有压隧洞，可以看作式位于理想弹性
体围岩中一个厚壁圆筒，根据弹性理论可得：
? ?
? ?
隧洞衬砌外半径。??
??
????
??
??
o
r
E
E
r
r
cmKNEK
YYKPP
o
o
，
，：，，
泊松比
/岩石 弹石式中那 么
变形相容
2
1
1
?
??
?
?
一、荷载及荷载组合
经验和分析说明：在同样得围岩中，洞径大,K 值小；
洞径小,K值大，而且大致成反比。为了计算方便，人们采
用半径为 1m的圆形坑道的 K值，作为标准，用 Ko表示 (亦称单
位弹性抗力系数 )，当用 m为单位时：
以 cm为单位时：
— 表示实际开挖半径。
说明,— ① 是坑道的半径，而不是衬砌里壁的半径。
②是半径，不是直径。
③对不是圆形的坑道,
B — 坑道水平向最大净宽度。
? ? ? ? eoKeo KmmKK ?? ??,即:1:
? ? ? ? ? ?31 0 0 /:1 0 0,cmKNKcmcmKK e oKeo ?? ??,即
e?
e?
2Be ??
一、荷载及荷载组合
K0值可以, 查表,,, 类比,,, 按上式计算求得,,最
好的办法是现场实测。
影响弹力抗力系数的因素很多，而且整个隧洞不一定用同
一个 K0值。
在隧洞的衬砌计算中，考虑了弹性抗力，可抵消一部分作
用于衬砌上的荷载，因而降低计算出来断面中的拉应力，设计
结果，衬砌厚度可以减小，节约建材。
在什么情况下可考虑弹性抗力？
※ 有压隧洞：
①围岩厚度大于隧洞开挖直径的 3倍。
②洞周没有不利的滑动面，在内水压力作用下不致产生滑动
和抬动。
③衬砌和围岩的空隙，必须回填结实。
一、荷载及荷载组合
④ 围岩厚度大于内水压力水头的 0.4倍。
※ 无压隧洞：
弹性抗力只存在于衬砌变位向着围岩 的部分，而不产生
于背着围岩部分，因此，它在外周的分布形成，随着衬砌的
不同而不同。
一、荷载及荷载组合
（三）内水压力及外水压力
★ 内水压力
(1)无压隧洞：只要算出洞内的水面曲线，即可确定内
水压力。
(2)有压隧洞：内水压力式有压隧洞中的重要荷载，常
对衬砌的计算起控制作用。
为了使计算简单，将有压隧洞中的内水压力分解为两部
分：均匀内水压力 +非均匀无水头满水压力。
均匀内水压力的强度是：洞顶内壁到设计水位先之间水
头引起的（ ）。
无水头满水头压力是指洞内刚刚充满水的情况：洞顶压
力为 0，洞底压力为 。
h??
?? ??? dr2
一、荷载及荷载组合
有压引水发电隧洞：内水压力 =全水头 +水击引起的压
力
增值。
一、荷载及荷载组合
★ 外水压力（地下水压力）
外水压力是地下水头引起的，规范规定：外水压力是作用
在衬砌外表的边界力。
外水压力 对无压隧洞经常引起控制作用；
对有压隧洞径则对内水压力有抵消的作用。
地下渗流的情况十分复杂，影响因素也多，准确值无法
确定，常用的方法：
1、规范：将地下水面以上的水柱高乘以折减系数 β 作为
外水压力值。
β 值 视地质、水文地质及防渗、排水等情况而言。
本方法简单方便，在工程上一直广泛应用（虽然近似粗
略）。
一、荷载及荷载组合
2,围岩于衬砌组成一个紧密结合的整体，两者又都是
不同程度的透水材料，因此内外水是连通的，不能截然的
分为内、外水压力，即不应将外水压力视为一种边界力，
而应视为在一定边界条件下，隧洞在地下水位以下的空间
渗透力，通过渗流场计算，可以求得作用在衬砌外表面得
水压力。
如果视钢板衬砌，外水压力才是边界力。
一、荷载及荷载组合
（四）衬砌自重
衬砌自重是指沿隧洞轴线 1m长的衬砌的自重，均匀作
用于衬砌厚度的平均线上，计算的厚度应考虑平均超挖回
填部分，其平均厚度可取 0.1～ 0.3m。
单位面积上的自重强度 g为：
式中,— 衬砌材料的容重（ KN/m3），
— 包括超挖在内的衬砌厚度 。
? ?K P ahg c ?? ?
c?
h
一、荷载及荷载组合
（五）灌浆压力
★ 回填灌浆
产生原因,衬砌在施工时，其顶部与围岩之间难于填满而留有空
隙，需要进行回填灌浆。
荷载性质,主要是存在于施工完建时期的荷载，完建以后，即逐
渐减少（因水流的凝固，灌浆压力即逐渐消失）属施工情况的临
时荷载。
分布规律,与地质条件、施工方法关系很大。通常认为：分布载
顶部中心角 900-1200以内。沿衬砌背部均匀分布，并与背部正交
（径向分布）。
施工灌浆压力值,一般为 2— 3kg/cm2。
★ 固结灌浆
均匀分布于整个隧洞断面周围。
一、荷载及荷载组合
（六）温度压力
产生的原因,衬砌之外的围岩阻碍衬砌自由胀缩，所以在衬
砌内部产生温度应力。
施工期,混凝土的水化热和干缩。
运用期,水温的变化，气温的变化对洞的影响小。
升温时产生压应力,降温时产生拉应力。混凝土耐压不耐
拉,故温降为控制情况,隧洞衬砌混凝土能承受的降温度只有
7～ 10℃,超过则产生裂缝。
减小温度应力的工程设施：
施工期,选择适宜的水泥（低热），控制水灰比，加强养
护，缩短浇筑的长度（洞线轴向），配置适量的温度钢筋。
如何考虑，如何计算？
非寒冷地区，影响较小，一般不考虑。
一、荷载及荷载组合
寒冷地区：
①有压圆形隧洞，根据弹性理论折算为等效内水压力。
例：有压圆形隧洞，内直径 4米，花岗岩 γ =2.5T/m3，衬
砌厚 0.40米，岩石原始温度 T=12℃,冬季平均最低温度 0.2℃,
混凝土浇筑温度 T1=12℃,混凝土在水中的膨胀值相当于 T/=5℃,
求衬砌温度应力相当于多少内水压力？
△ T使坑道半径减小
P—— 衬砌温度应力，相当于内水压力 16m水头。
②无压隧洞，在确定温差后，用结构力学的方法计算内力。
? ?温降8.652.012'01 CTtTT o?????????
2/6 0 7.1 cmKgP ?
一、荷载及荷载组合
（七）地震力
地震力对埋置在地下建筑物的影响远小于对地面建筑物
的影响。埋置较深的比埋置较浅的要小。
隧洞埋在地下深处，与围岩紧密结合的衬砌，地震对其
影响很小，洞身设计时一般不予考虑。但当隧洞通过设计烈
度高于 8度，特别是地基较弱，围岩破碎和节理发育地区，
则应进行抗震计算。
对隧洞进出口建筑物，应按规定进行抗震设计。
（八）荷载组合
基本荷载,山岩压力、衬砌自重、正常水位或宣泄设计洪水
时的内水压力和外水压力。
一、荷载及荷载组合
特殊荷载,校核水位时内、外水压力、灌浆压力、温度荷
载、地震力、施工荷载等。
衬砌计算时常采用下列荷载组合：
基本组合,1、正常运行情况：山岩压力 +衬砌自重 +宣泄设
计洪水时内水压力 +外水压力。
不同地段岩 计弹性抗力 北方 考虑温度荷载
石情况不同 不考虑弹性抗力 非寒冷地区 不考虑温度荷载
特殊组合,2、施工、检修情况：山岩压力 +衬砌自重 +可能出
现的最大外水压力。
3、非常运用情况：山岩压力 +衬砌自重 +宣泄校核
洪水时的内水压力 +外水压力。
正常运用情况，用以设计衬砌的尺寸和进行配筋，其它情
况用来校核。
二
圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
有压隧洞多圆形断面。在大多数情况下，它的主要荷
载是内水压力，此外尚考虑山岩压力、衬砌自重、外水压
力等。
由于内水压力比较大，更应充分利用围岩的承载能力，
为充分利用围岩弹性抗力，应尽量使衬砌与围岩紧密贴结。
计算步骤：指各种荷载单独作用下，求出衬砌中的弯
矩和轴力，然后根据荷载组合进行迭加。
本书介绍的方法：弹性特征因素法 —— 根据弹力厚壁
管公式，推导出来设计混凝土和钢筋混凝土，有压圆形衬
砌的方法。
本方法适用：埋深度大于三倍洞径。
岩体坚固系数 >6(仅均匀内水压力作用 )
内水压力在 20m以下，用素混凝土。
超过 20m，宜用钢筋混凝土。
二
圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
计算方法的基本原理,将衬砌视为无限弹性介质中的
厚壁圆管，根据衬砌和围岩接触面的径向变位相容的条件，
求出以内水压力 P所表示的弹性抗力 Po，再利用轴对称受力
圆管的弹性力学厚壁管公式计算衬砌的内力。
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算
nh
t?
t?
r?
r?
环向（切向）
轴向
衬砌在均匀内水压力作用下的应力计算图
二
圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
如图所示，在内水压力 P 的作用和弹性抗力 Po作用下，
按图衬砌在均匀水压力弹性理论平面变形情况，求得厚壁管
管壁任意半径 r处的径向变位 u为：
取,得衬砌外缘的径向变位 为：
式中 E —— 衬砌材料的弹性模量；
—— 衬砌材料的泊松比；
—— 衬砌外半径之比，
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算
]
1
)21(1
1
1)21([)1(
02
2
2 pt
tp
tE
ru e
e ?
???
?
???? ???
]
1
)21()(
1
)()21(
[)1( 02
22
2
2
p
t
t
r
r
p
t
r
r
E
ru
ee
?
??
?
?
???
?
???
err? eu
?
t
ii
i
i
e
r
h
r
hr
r
rt ????? 1
二
圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
当开挖的洞壁作用有 po时，按文克尔假定，洞壁的径向变
位,此处,K为岩石的弹性抗力系数,Ko
为单位弹性抗力系数。根据变形相容条件,整理后可
得围岩的弹性抗力为,
A为弹性特征因素，式中的 E,Ko分别以 kPa和 kg/cm2计；
若以和为单位，则需要将式中的 E 改为 0.01E。
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算
000 100 K
rpKpy e??
euy?
p
At
Ap
?
??
20
1
)21)(1(
)1(
0
0
uuKE
uKE
A
???
??
?
（ 8—— 18）
（ 8—— 19）
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
按弹性理论的解答，厚壁管在均匀内水压力 p和弹性抗
力 po作用下，管壁厚度内任意半径 r处的切向正应力 σ t为,
将式（ 8— 18）代入式（ 8— 20），分别令,
即可得到单层衬砌在均匀内水压力 p作用下边缘切向拉应
力 σ i和外边缘切向拉应力 σ e为,
ei rrrr ??,
02
22
2
2
1
)(
1
)(1
p
t
r
r
t
p
t
r
r ee
t
?
?
?
?
?
??
p
At
At
i ?
??
2
2
? p
At
A
e ?
??
2
1?
(8— 20)
(8— 22)(8— 21)
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
因为,显然 >,这表明衬砌内壁的切向应
力恒大于外壁的切向应力。当不考虑弹性抗力时,即 Ko=0,则
A=1。
如果 1、围岩厚度大于 3倍开挖洞径 衬砌计算只考
2,洞径 D>6时 虑内水压力
★ 混凝土衬砌
求混凝土的衬砌厚度 h，在 8— 21式中，令
为混凝土允许轴心抗拉强度。
——— 抗拉极限强度。
—— 抗拉安全系数。
1??
i
e
r
rt
6?Kf
i? e?
][ hli ?? ?
? ? ilKRhl ??
lR
iK
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
]1
][
][
[
1
?
?
?
??
???
P
P
Arh
r
h
r
r
t
hl
hl
i
ii
e
?
?
?
为虚数时，
时，
hp
hp
hl
hl
?
???
][
][
?
?
解出 t得：
P
PAt
hl
hl
?
??
][
][2
?
?
（ 8—— 23）
（ 8— 23）式存在缺点：当 [σ hl]与 P的数值逐渐接近时，
h逐渐扩大到不合理程度。
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
][
1
][
2
2
2
hle
hli
p
At
A
p
At
At
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
i
l
hl
e
i K
R
F
N
W
M ????? ?? ][???
6
2bh
为了不使混凝土衬砌过厚，对坚固岩体内的混凝土衬砌，
一般限制水头不大于 20m，超过时，宜用钢筋混凝土。混凝
土应力校核：
除内水压力外，还有其它的荷载作用，计算各种荷载
单独作用时产生的轴向力和弯矩，再按下式校核混凝土衬
砌的切向拉应力：
式中,W—— 抗力矩（ ） F—— 断面积，即 F=bh
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
如需求出在均匀水压力作用下的断面内力，可先算 σ i、
σ e,然后近似按直线分布，求出轴向拉力 N和弯矩。
2
)
32
()(
2
hh
h
I
M
hN
ei
ei
??
??
?
?
??
?
?
??
σi
σe
h
(一 )均匀内水压力作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
★ 钢筋砼衬砌
用 [σ gh]代替 σhl即得：
]1][
][
[ ??
?
? p
p
Arh
gh
gh
i ?
? （ 8—— 25）
gh? —— 钢筋混凝土的允许轴心抗拉强度
如果（ 8— 25）式中，求出 h为负值，或小于结
构的最小厚度时，则应采用结构的最小厚度，
钢筋采用最小配筋率，对称配置。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
???????
?
???
?
?
?
22
2
c o ss in,
2
c o s,
24
ba
a
KKK
KK
????
????
aK? bK?
★ 考虑弹性抗力作用下的内力计算
(1)基本假定和计算方法,如
果围岩较好,在围岩压力、衬砌自
重、无水头洞内满水压力作用下，
应考虑弹性抗力的存在。根据研究，
约在顶拱中心角 90o范围以下部分，
衬砌变形指向围岩，作用有弹性抗
力（如图 8— 29），其分布规律为：
???? ??,2其中, 分别为处衬砌受到的弹性抗力。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
ba ??,
现以铅直围岩压力为例，说明内力的计算方法和步骤
[8— 29（ d） ]。
自洞顶切开，引刚臂至圆心，亦即弹性中心，由于荷载
及结构左右对称，故切力 X3=0。取一半计算，力法方程为：
p1? p2?
0
0
2222
1111
???
???
p
p
X
X
?
? （ 8—— 27）
),(
),(
22
11
ba
ba
fX
fX
??
??
?
? （ 8—— 28）
和 都包含有特定的,解之得,
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
根据向下的总荷载与向上的弹性抗力合力相平衡
（ ∑ Y=0）及在 X1,X2和外力作用下,φ =π/2处的变位
应为 δ a的两个补充条件，可以解得 δ a和 δ b。将 δ a和 δ b
代入公式（ 8— 28），即可求出 X1,X2，从而可解出各断
面的弯矩和轴向力。计算中忽略了轴向力对压缩变形的
影响以及衬砌与围岩间的摩擦力，弯矩 M以内缘手拉力为
正，轴向力 N以受压为正。
（ 2）各种荷载作用下的内力计算。按上述方法，可
求得圆形隧洞衬砌在各种荷载作用下考虑弹性抗力时的
内力计算公式。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
关于在各种荷载作用下，圆形衬砌各断面的弯矩和轴
力有现成的解答。（弯矩以衬砌内缘受拉为正，轴力以受
压为正）
①铅直山岩压力作用下的内力计算 (计算简图见前页 )
式中符号见书
系数 A,B,C,D,F及 G查表。
)]1(021 0.0)1(212 1.0[
)]1(014 0.0125.0375.0[
2
1
aaqrX
anaqr rX
e
e
????
????
)]1([
)]1([
??
??
????
????
GnFDqrN
cnBAqr rM
e
e (8—— 29）
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
② 衬砌自重作用下的内力计算
g—— 1m衬砌的重量，衬砌厚度为 h时，则 chg ??
c? —— 混凝土的容重，系数见表。
③ 无水头洞内满水压力作用下的内力计算
)06592.061(
)04392.017803.0(
2
2
1
ngrX
ngrX
???
??
)(
)(
11
112
nDCgrN
nBAgrM
??
??
)(
)(
)03294.058335.0(
)02197.041098.0(
2
2
22
2
2
1
nDCrN
nBArrM
nrX
nrrX
i
i
e
e
??
??
???
???
?
?
?
?
—— 水的容重 （ T/m3）,系数见表。?
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
)(22 grqrr ee ??? ??
④ 外水压力作用下的内力计算
? 不考虑内水压力时
Ⅰ ）当 时
（衬砌所受的浮力 <铅直山岩压力 +衬砌重量）
r —— 衬砌中心半径。
ewe
e
rhnDCrN
nBArrM
??
?
????
???
)(
)(
22
22
2
wh
—— 均匀外水压力水头，即计算水位在拱顶以
上的高度。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
er
可以看到，在外水压力的计算公式与无水头满水压力
的差别：
A 以外半径 代替内半径 。
ir
B 符号相反：原因是由于
内水压力作用在衬砌内表面 作用方向相反，
外水压力作用在衬砌外表面 所以符号相反。
Ⅱ ）当 时，应按不考虑弹性抗力的公
式计算内力，表 8— 9中第五项 条件下
的公式 。
)(22 grqrr ee ??? ??
)(22 grqrr ee ??? ??
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
? 当荷载组合中包括内水压力
A 当荷载组合中包括内水压力，浮力通常小于自重，计算
外水压力作用下不受 条件的限制。 )(22 grqrr
ee ??? ??
（实际这个条件已不存在，满洞内水重量 +衬砌自重 >浮
力，此处尚未计入山岩压力）
迭加后衬砌变形指向围岩，弹性抗力为止，因此都要
计算弹性抗力。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
B 当均匀内水压力 P和均匀外水压力组合时
如 作为均匀水压力，不再计
算均匀外水压力产生的内力,
i
ew
ewi r
rhPrh ?? ?? 以,Pr
如 作为均匀外水压力，计算
内力，不再计算均匀内水压力所产生的内力。
e
i
wewi rhrh
Pr,Pr ?? ?? 以
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
★ 不考虑弹性抗力作用下的内力计算
对外水压力很大时，或岩石软弱，不考虑弹性抗力。
当岩石坚固系数的时，不仅考虑弹性抗力；而且尚需计
入侧向山岩压力的影响。
(二 )其他荷载作用下的内力计算二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
此时不计入弹性抗力但计地基反力（与其它荷载相平
衡）并认为地基反力以余弦分布（见上图）。作用范围：
下半部与直径等宽。
计算方法,同考虑抗力，只是更简单些。
①最大反力 R 由 即可求得。
（考虑弹性抗力时有两项 ）
②分布规律也简单些（此考虑弹性抗力时）
0?? iy
ba ??,
(三 )隧洞衬砌设计中的几个问题二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
▲ 水工隧洞沿线的地质条件及计算参数常是变化的，
内、外水压力同样也随断面位置的不同而不同。要使
衬砌设计达到安全和经济的目的，应当根据变化情况
将隧洞沿轴线分成若干段落，分段进行设计。
▲ 一般有压隧洞的内水压力是主要的荷载，当内水
压力较大时，断面多属小偏心受拉情况，可布置同一
直径的环向受拉钢筋。但如洞径、围岩压力均较大，
而内水压力相对较小时，包括无压隧洞，断面内的正
负弯矩变化较大，应力分布很不均匀。此时，应按应
力分段配筋，将几段不同直径的环向钢筋焊轧起来。
▲ 目前工程设计中，在设计钢筋混凝土，混凝土衬
砌时，有控制抗裂稳定性和允许开裂而限制裂缝开展
宽度两种不同的考虑和要求。对于无压隧洞和围岩较
厚而渗水不会对附近围岩、岸坡和建筑物产生有害
(三 )隧洞衬砌设计中的几个问题二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
影响的有 压 隧洞，可按允许开裂限制裂缝开展宽度设
计。否则应按控制混凝土的抗裂稳定性要求设计。按
限裂设计，裂缝的最大允许值，根据水力梯度和水质
有无侵蚀性，一般限制在 0.15～ 0.30mm。限裂设计可
以大量节省混凝土和钢筋用量，而对混凝土的耐久性
和钢筋的锈蚀不会产生影响，所以，目前在水工隧洞
设计中已广泛应用。
▲ 对高水头的有压隧洞，当围岩条件较差，单层衬
砌需要的厚度过大时，可采用外层为混凝土或钢筋混
凝土，内层为钢板的组合式双层衬砌。我国冯家山水
库有压泄洪洞出口段 [图 8— 8（ g）、图 8— 13（ a） ]
及西南地区一些高压引水道斜井均采用这种衬砌。如
外层混凝土不开裂，且围岩有一定承载能力时，内水
压力将又内层衬砌、外层混凝土和围岩共同承受，设
(三 )隧洞衬砌设计中的几个问题二圆
形
有
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
计中只要能求出内、外层衬砌之间的均布压力计算。如
外层混凝土开裂，外层衬砌只起向围岩 传力的作用，而
内水压力将由内层和围岩来承担，但应考虑混凝土受压
后径向压缩的影响，外层衬砌厚度可按施工要求或按施
工期荷载用单层衬砌计算确定。因此，双层衬砌计算的
主要问题，在于确定在内水压力作用下两层衬砌之间的
作用力，其值可根据外层内边缘和内层外边缘径向变位
一致的条件来确定。
三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
2?Kf
岩石坚硬完整的泄水、引水、导流隧洞，常常只
衬砌顶拱，而边墙和底板只做护面，甚至不加衬砌。
这样，只有顶拱是承重结构，承受围岩压力、衬砌自
重或灌浆压力等。
无压隧洞一般多采用城门洞型封闭式整体衬砌，在
岩石坚固系数 的情况下，也可采用马蹄形。
只衬砌顶拱的衬砌计算：一般不考虑弹性抗力，
计
算同无绞拱。（具体解法见天大 81年版、下册 P158，
或汪胡桢, 水工隧洞设计理论与计算, ）
(一 )顶拱衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
? ?KP ?
假定拱座弹性固结于岩石上，认为拱座垂直于地基面
的变位 与法向应力 P成正比，即 。 K—— 为岩
层的弹性抗力系数（具体求解计算见书 P412～ 413）。
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
为了便于计算，可得衬砌由边墙和底板的结合处分
成直墙拱（城门洞型）或曲墙拱（马蹄型）和底板两个
部分。在计算中要考虑它们之间的弹性联接作用，并将
底板视为弹性地基上的梁。
计算直墙拱（曲墙拱）
■ 受荷载变形特点：
①直墙拱（曲墙拱）在顶部山岩压力和自重荷
载作用下，根据衬砌的变形观测和理论计算表明：
如衬砌和围岩无相对垂直位移，则在顶部部分中
心角约 90o的范围向下变位。
②墙基摩擦力大，认为没有水平位移。
③侧面边墙的变位与结构形式及其刚度有关。
■ 利用文克尔假定：衬砌受到的弹性抗力 P与该点
衬砌的法向变位 δ 成正比即 δ K=P（ K—— 岩层弹
性抗力系数）
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
??KT ?
在有弹性抗力的部位，应考虑弹性抗力而产生的摩阻
力, —— 衬砌与围岩的摩擦系数，方向向上。
但摩阻力影响很小，略去不计。 ?
nK?
nK?
■ 弹性抗力分布与假定
㈠ 分布（最大值与零点）
向围岩方向变形的部分有弹性抗力，而脱离围岩没有
弹性抗力
弹性抗力最大值,城门洞形在边墙顶部 b点为
马蹄形在水平直径处为
弹性抗力零点：
I）边墙部位抗力零点
直墙边墙上抗力为零的点 a的位置：
边墙刚度大 — a点与墙底 A点结合。
边墙刚度小 — a点愈高。
马蹄形：边墙零点与墙底 A点重合。
不同边墙
刚度不同
a试算
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
II）顶拱上抗力零点
顶拱为半圆形或接近半圆形，认为零点在倾角
处。
顶拱为非半圆，认为在 0.7倍最大弦长处。
045??
■ 分布规律的假定
I） 顶拱部分（城门洞、马蹄共用）弹性抗力零点约在
处00 45??
)s i n(
s i n)
c o sc o s
c o sc o s
(
2
0
2
2
0
2
hhh
h
h
h
KK
KK
?????
?
??
??
??
??
?
?
?
，则如取
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
h
h
KKK
???
?
????
??
????
0
2
,
2c o s)c o s21(
为断面与铅直面的夹角—式中
2
?? ?
h
和 为同一值，如,同一点
nK? hnK ?? s in
2
?? ?
h
则同一点为不同值。
090?? 045??
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
无底板城门洞形衬砌变位及计算图
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
Ⅱ ） 圆拱直墙断面，水平直径以下，假定为直线分布
)1( 1
a
h y
yKK ?? ??
到此时为止，弹性抗力的分布及零点已定，但
的数值仍然为未知。
Ⅲ ） 马蹄型侧墙假定为抛物线分布
)1( 1
a
h y
yKK ?? ??
h?
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
的
以下的结构计算与一般超静定结构基本相同，但墙基
的变位应考虑到墙与基岩连结的影响。
按结力法，求弹性中心：
?
?
?
?
2
0
2
0
s
s
EJ
ds
ds
EJ
y
C
式中,y? —— 由顶拱算起的纵坐标
s
—— 顶拱中心轴线的长度
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
设拱座（墙底）角变位为 ?,力法方程可写成
角变位水平位移
0
0
2222
1111
????
????
cP
P
yX
X
??
?? （ 8— 38）
???
??
??
?????
?
??
??
2
0
2
0
2
2
2
0
1
2
0
2
2
0
2
2
22
2
0
2
2
0
2
1
11
,
)1(
1
s
P
s
P
P
s
P
P
ss
ss
EJ
y d sM
EJ
dsMM
EJ
dsM
EJ
dsy
EJ
dsM
EJ
ds
EJ
dsM
?
?
式中,—— 在静定系统中包括弹性抗力在内的外
荷载对任一断面引起的弯矩。
22?
和 忽略在轴向变形的影响。
p2?
pM
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
x＇
x
y ‘ y
yc
β
X1
X2
β
y
βyc
拱座变位示意图
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
令 为 为墙底承受单位弯矩时，所产生的角变位，则当
墙底 A的弯矩为 时，其角变位为
（ 8— 39）
式中,—— 在静定系统中包括弹性抗力在内的外荷载对
墙底 A所引起的弯矩。
1?
0M ?
12112101 )( ?????? cPcii yxxyxxMM ????????
?0M
P? —— 由于 ?
0M
对墙底 A所引起的角变位。
将（ 8— 39）代入（ 8— 38）可得：
2
1
2
1111
2
22
111211
2
2
1
2
1111
2
22
1
2
22112
1
))((
))(()(
))((
))(()(
?????
?????
?????
?????
cc
PcPcPP
cc
cPPccPP
yy
yy
x
yy
yyy
x
???
??????
?
???
??????
?
（ 8— 40）
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
的
（包括, ）作用下 可以表示为：
式中
P1?, P2?
及
P? 均包含有弹性抗力的作用，为了计
算弹性抗力，可根据 h点的变位条件求出
h?
，在全部荷载
1x 2x
h?
???? hhhhPh xx ?????? 21 21
21 hhhP ??,，式中,?
—— 分别为荷载（包括弹性抗力），
1,1 21 ?? xx
1?hx
在 h点所引起的
位移，这些位移可
由下列各式求出：
在 h点处施加
的力（力法
中求某一点位移的
方法）
x
y
xh
x1
x2
ycyh
y1
h
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
1
0 0
1
0 0
12
0 0
11
1
1
1
1
1 1
y
ds
EJ
My
ds
EJ
MM
ds
EJ
yy
ds
EJ
MM
ds
EJ
y
ds
EJ
MM
hP
s s
PPh
s s
h
s s
h
?
?
?
?
??
??
??
??
? ?
? ?
? ?
对 h点以下任一断面的弯矩
hM
=1*y，
yMx *1,1 22 ??式中：
1S —— 自 h点至墙底 A衬砌的轴线长度
求出
h?
后，即可求出弹性抗力，将算得的
P1? P2?
及
P?
代入（ 8— 40）式,即可求得
1x 2x
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
的
边墙与顶拱任意断面的弯矩和轴力可按下式计算：
?c os2
21
xNN
yxxMM
P
P
??
??? （ 8— 20）
以下介绍如何求得：
1? —— 单位弯矩作用下的角变位（对底板端点）
P? —— 外荷载（包括弹性抗力）作用下的角变位
（对底板端点）
计算方法：
取单宽底板作为弹性地基梁上的直梁（扁平底板也可
按直梁计算）
（ 8— 43）
?
??
?
0140
2
3
3
1
2
2
MGP
Kb
G
Kb
P ?
?
?
?
? p
0 p0m0 m
0
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
的
底板中点的弯矩可用下式计算
102
0
2
GMGPM l ?? ?
（ 8— 44）
式中,?
0M
—— 静定系统中外荷载（包括弹性抗力 )
在墙底产生的弯矩
b —— 底板计算宽度，可取 b=1m
K —— 岩石的弹性抗力系数。
4 4 EJKb??
E—— 材料懂得弹模
J—— 断面的惯性矩
41 ~ GG
—— 双曲三角函数，可根据
2
L?
值
L—— 为底板的跨度
值查书中附表。
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
如果底板与边墙分离或无底板时，可将墙底与岩石视为
1?
、
P?
可按下式直接求出：弹性固接。
A
P
A KJ
M
KJ
?
?? 01,1 ??
AJ
—— 边墙底面截面惯性矩
下面介绍上两式的来源：
弹性固端在外荷载作用下，由于支撑地基的弹性作用，
? ?,线变位分解为拱座断面必然要产生角变位,及线变位
ur ??,
。垂直和水平两分量即
三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
假定拱座断面在外荷载作用时产生的应力是按直线分布
的。
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算
)*( naa
n
a K
K ??
? ?a点将沉降
其中
nK
代表基岩弹性抗力系数。
克尔假定。那么，拱座断面在受到外荷载后：
b点将沉降
n
b
K
?；设拱座 a,b的沉 降符合文拱座断面对铅直线的倾角为 ?
的。如下图，设拱座端面两端点 a,b的应力分别为
ba ??,
假定拱座断面在外荷载作用时产生的应力是按直线分布
hn
α
a
b
hn
σa
σb
拱
座
变
位
图
a
b
n
bK?
Δv
n
aK? Δu
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
拱座断面的角变位为：
nn
ba
hK *
??? ?? （ 1）
式中：
nh
—— 拱座断面的厚度
拱座断面的线变位为：
n
ba
K2
?? ??? （ 2）
其水平与铅直分量为：
拱座断面里的内力
bann NM ??,与和的关系式为：
?
??
?
??
s in
2
c o s
2
n
ba
v
n
ba
u
K
K
?
??
?
?? （ 3）
（ 4）
A
nn
n
n
b
A
nn
n
n
a
J
hM
h
N
J
hM
h
N
2
2
??
??
?
? （ 5）
（ 6）
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
AJ
式中 —— 拱座断面对其形心的惯性矩
将（ 5）（ 6）代入（ 1）（ 2） 式中，解得：
（ 7）式当 1,1
1 ?? nMx 则
An JK
1
1 ??
此处
nK
即前式中 K
cn yMx ??,12
当
?
?
?
s in
c o s
An
n
v
An
n
u
An
n
Kh
N
Kh
N
JK
M
??
??
?
(7)
(8)
(9)
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算
三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
An
P
P
Pn
c
An
c
JK
M
MM
y
JK
y
?
?
??
?
??
时当
12
封闭式衬砌结构计算步骤归纳如下：
常数中包括有弹性抗力的作用。弹性抗力以 K
h?
的函数表示之。
③ 计算底板的特征系数
4 4EJKb??
并由附表中查出双曲三角函数
41 ~ GG
的数值。
① 计算墙拱部分的弹性中心位置
② 计算出形常数
212211,,,hh ????
及载常数
hPPP ???,,21
,这时载
从而按（ 8— 43）式计算出 1?,
P?
，其中
P? 也为 Kh?
的函数
0M
）（式中有
(二 )城门洞型及马蹄型衬砌计算三
无
压
隧
洞
的
衬
砌
计
算
，
，
、
任意断面的弯矩和轴力即可按（ 8— 42）式计算。
⑤ 将
1x
、
2x 代入（ 8— 39）式中算出 ? 及 hh y?? ??,然后一并
h?
代入（ 8— 41）式，解出
⑥ 求出
h?
后，即可代回各式，最后求出
1x, 2x,边墙和顶拱
⑦ 由（ 8— 44）式计算底板中点的弯矩，底板的轴向力，可
、，
代入（ 8— 40）式求出弹性中心处④ 将 1?
P?pp 212211,,,???? 的
1x 2x 1x 2x h?的超静定力 此时 也以 K 的函数表示之。
根据 y轴左侧衬砌水平力平衡条件求得。
四
渐
变
段
衬
砌
计
算
简
介
，
，
、
由于渐变段不长，且某些假定，如山岩压力、弹性抗
力也常与实际有出入，故工程设计中常只进行首尾两个断面
(矩形和圆形）设计，中间的渐变段断面采内插法以简化计算
计算中是否考虑弹性抗力，应视渐变段处的围岩厚度、
强度、灌浆程度等因素而定。
不考虑弹性抗力时的计算，按结构力学方法进行。、，
当荷载只对称于纵轴时，可用弹性中心法求解。
当结构及荷载均对称于通过形心的纵、横断轴，取结构
弯矩
功能原理确定。然后，可求出其它截面内力。
四分之一计算，剪力为零，只有轴力
0N 0N0M
可由最小、
四
渐
变
段
衬
砌
计
算
简
介
地基反力 地基反力
(a)山岩压力作用 (b)自重、水重作用
山岩压力
x1 x1x2 x2
No=x1
Mo=x2
Mo
No
Ks
rr
r
a a
b
b
r
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
拱形衬砌的微分段 ds上作用有切向荷载，径向荷载其内
力及变位的正向规定如图。
采用文克尔假定，根据 ds段上静力的切向平衡，法向平
衡条件和弯矩平衡条件。（略去高阶微量）可得如下方程组：
Q M
T
ψ
u
v
s
r φ φn
qy
r dφ
M
T
Q
Q+dQ/ds*ds
M+dM/ds*ds
T+dT/ds*ds
A
B
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
r
ds
dtgddd
dsqdds
ds
d
dds
ds
dT
TT
T
?????
???????
??
????
?
?
??
?
s i n,1c o s
0s i n)(c o s)(
0
略去高阶微量
r
dsds
ds
d??
??
?
? qQqQ
rds
dT
dsq
r
ds
Qds
ds
dT
??????
???
1
0
即：
0s i n)(c os)(
0
????????
??
?? dds
ds
dT
TdsqK Uh dsdds
ds
dQ
Q
n
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
略去高阶微量
?ddsdsdT s in
整理得：
TqK V hTrqK V hdsdQ nn ??????? 1
Q
ds
dM
Qdsds
ds
dM
dsds
ds
dQ
Qds
ds
dM
MM
M
??
??
??????
??
0
0)()(
0
将 ds段在内力 T,Q,M作用下产生的位移和 ds段由
于 A端有 时，在 B端产生的相对位移相加去除以 ds，
可得到下列方程组。
?,,vu
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
EJ
M d s
d
u
GE
Q
ds
dv
u
r
ds
ds
GE
Q d s
dv
v
rEF
T
ds
du
v tg d
EF
T d s
du
?
???
???
??
??
?
??
?
?
1
EJ
M
ds
d ??
r dφ
A
B
dφ
vtgdφ
A
r dφ
B
φdsφ
r
dφ
A
B
u
utgdφ=u*ds/r
dφ
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
关于弹性固端
实际无绞拱的支座，都是有一定弹性的，在外因
的影响下拱座会发生移动，无绞拱的支座移动使结构产生
内力。因此，当拱上荷载引起的拱座移动使结构产生的内
力较小而不能忽视时，就要按弹性支座计算；反之，如内
力不大，可以忽略，则按刚性支座计算。
对于支撑在岩基上的混凝土无绞拱，通常不考虑
支座的剪（应力）切变形（ V=0）（即拱脚不产生位移）假
定在拱脚轴向力和弯矩的作用下，地基某点的压缩变形与
该点的压应力成正比。
即,Ky??
式中,? —— 地基在该点的压应力
y—— 地基在该点的法向位移
K—— 地基弹性抗力系数
① 在轴向压力作用下，拱座上各点的应力相同，故各点
位移也相同，拱脚截面平移 u，则：
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
1*** dnuKAT ?? ?
A—— 拱脚截面积,A=dn*1（取单宽）
② 在弯矩作用下，拱座受力面绕中性轴旋转，产生拱座
角位移 ?
a
b
dn
φ
五
衬
砌
的
边
缘
问
题
及
数
值
解
法
000
2
2
22
/)(
???
??
??
??????
?
???
?
?
?
???
????
?
，，刚性固端
），，（此时
vu
JKM
KJ
M
K d n
dn
J
M
dn
y
J
Mydn
J
M
K d n
dn
KK
n
n
n
nn
ba
baba
