第 7章期权的希腊字母
Greeks 2
教学内容
1,Delta
2,Theta
3,Gamma
4,Vega
5,Rho
6,Portfolio Insurance
Greeks 3
希腊字母
1,希腊字母度量期权的风险，用于期权头寸的风险管理期权做市商金融机构地期权交易员
2,期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率、
无风险利率以及执行价格，其中易变的因素有四个：
股价,Delta,Gamma
到期时间,Theta
波动率,Vega
无风险利率,Rho
Greeks 4
Delta
1,Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了期权价值对标的资产价格变化的敏感性
2,图示
S(0)
S
Greeks 5
Delta——欧式股票期权
1,利用 BS公式，可以推导出
2,Delta与股价的关系
1
X
1 10p Nd1c Nd
S(0)
Greeks 6
Delta——欧式股票期权
Delta与到期时间的关系
a t t h e m on e y
i n t h e m on e y
ou t of t h e m on e y
Greeks 7
Delta——其它欧式期权
1,股指期权
2,外汇期权
3,期货期权
4,股票远期
1qTc e N d1 1qTp e N d
1frTc e N d1 1frTp e N d
1rTc e N d1 1rTp e N d
r T tf S K e 1
Greeks 8
Delta——线性考虑一个期权投资组合，其中所有期权的标的资产都是同一种资产，则，组合的 Delta等于每种期权的
Delta的线性和其中,表示组合包含第 I中期权的数量
1
n
ii
i
w
iw
Greeks 9
Delta对冲
1,定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要保护的头寸的 Delta等于零
Delta中性：资产 (或者组合 )的 Delta等于零
2,动态对冲由于资产的 Delta通常是时间的函数，因此，为了实现对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量
3,例子,BSM随机微分方程的推导
1个单位衍生工具空头,份股票
BS采用 Delta对冲方法，建立起包含期权的 Delta中性头寸
f
S
Greeks 10
Delta对冲 ——使用期货
1,实践中，对冲工具多选用期货期货流动性好、交易成本低
2,符号期货到期时间：
Delta对冲需要的标的资产头寸：
Delta对冲需要的期货头寸：
3,期货的 Delta,
期货合约的 Delta v.s,远期合约的 Delta
AH
*T
FH
00 rTF S e
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Greeks 11
Delta对冲 ——使用期货
4,Delta对冲需要的期货头寸标的资产不分红标的资产为股票指数标的资产为外汇
rTFAH H e
r q TFAH H e
fr r TFAH H e
Greeks 12
Theta——定义
1,Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价值随时间衰减的速度
2,与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个完全确定的量，无需进行对冲
t
Greeks 13
Theta——欧式股票期权
1,欧式股票期权的 Theta
买权卖权
01
2
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2
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S N d r X e N d
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2
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Greeks 14
Theta——欧式股票期权
Theta与股价的关系 X
Greeks 15
Theta——欧式股票期权
Theta与时间的关系
i n t h e mon e y
a t t h e mon e y
ou t of t h e mon e y
Greeks 16
Gamma
1,Gamma是期权的 Delta对标的资产价格的偏导数，
也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数
2,Gamma度量了期权 Delta对标的资产价格变化的敏感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸性
3,Gamma中性与 Gamma对冲由于标的资产及其远期、期货合约的 Gamma都等于零，
因此，不能用来改变投资组合的 Gamma
要改变投资组合的 Gamma,必须使用那些价格与标的资产价格呈非线性关系的工具，例如期权
2
2SS
21
2tS
Greeks 17
Gamma——欧式股票期权欧式股票期权的 Gamma
1
0
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cp
Nd
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Greeks 18
Gamma——欧式股票期权
Gamma与股价的关系
X
Greeks 19
Gamma——欧式股票期权
Gamma与到期时间的关系
i n t h e mon e y
a t t h e mon e y
ou t of t h e mon e y
Greeks 20
Delta,Theta,Gamma的关系
1,从 BSM方程容易推导出三者的关系
2,如果投资组合是 Delta中性的，则如果 Theta是较大的正数,Gamma就是很大的负数，
因此,Theta可以作为 Gamma的替代指标使用
2
22
2
1
2r S S rt S S?
221
2rS S r
221
2 Sr
Greeks 21
Vega
1,Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数，度量了期权价值对标的资产波动率的敏感性
2,Vega中性与 Vega对冲由于标的资产及其远期、期货合约的 Vega都等于零，
因此，不能用来改变投资组合的 Vega
要改变投资组合的 Vega,必须使用那些 Vega不等于零的工具，例如期权
3,欧式期权的 Vega
V ega
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Greeks 22
Vega——与股价的关系
X
Greeks 23
Vega——与到期时间的关系
i n t h e mon e y
a t t h e mon e y
ou t of t h e mon e y
Greeks 24
Rho
1,Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期权价值对利率变化的敏感性
2,标的股票不支付红利的欧式期权买权卖权
rh o r
2r h o ( )rTc X T e N d
2r h o ( )rTp X T e N d
Greeks 25
Rho——外汇期权
1,外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两个
rho,一个对应于本币利率 (见上一页 ),另一个对应于外币利率买权卖权
01r h o ( )f
rT
c T e S N d
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Greeks 26
Rho——欧式股票,与股价的关系
Greeks 27
Rho——欧式股票买权,与到期时间的关系
ou t of t h e mon e y
a t t h e mon e y
i n t h e mon e y
Greeks 28
投资组合保险 ——定义
1,投资组合保险：用期权限制表的资产价格下跌的风险
2,股票投资组合 +股票指数卖权
P/L
股价
Greeks 29
投资组合保险 ——合成期权
1,投资组合保险对期权的要求流动性执行价格到期时间
2,基金经理常常创建合成期权进行投资组合保险
3,期权合成技术 ——动态复制似曾相识 ——在推导 BSM过程中采用的 Delta对冲就是用标的股票与买权动态复制无风险资产
4,动态复制标的资产 +无风险资产股指期货 +无风险资产
Greeks 30
投资组合保险 ——标的资产 +无风险资产
1,欧式股票卖权 =标的资产 +无风险资产股票空头头寸，数量等于卖权的 Delta
无风险资产，数量等于卖空股票获得的收入加上卖权的价值股票头寸：
无风险资产头寸：
2,在一定条件下，复制卖权的投资组合是 自融资 的
1 1p p NdS
ppS
Greeks 31
投资组合保险 ——标的资产 +无风险资产
Greeks 32
投资组合保险 ——标的资产 +无风险资产
1,上图有助于理解动态复制技术曲线表示卖权与标的股票价格的关系切线的斜率表示卖权的 Delta
截距表示复制投资组合在无风险资产上的投资额
2,随着股价的涨跌，切线的位置和方向将发生改变，其斜率与截距都将发生变化因此，动态复制需要经常性地调整头寸
2,投资组合保险 (股票 +卖权 )包含两个头寸股票头寸：
无风险资产头寸,
1 p S
ppS
Greeks 33
投资组合保险 ——使用股指期货
1,通过利用股指期货，不用买卖股票进行再平衡通过在投资组合基础上“覆盖”股指期货头寸提供保险
2,指数期货显著降低了交易成本
80年代末，美国股指期货的双向买、卖差价与佣金大约为股票的 1/10 (8bp,80bp)
Greeks 34
投资组合保险 ——缺陷
1,投资组合保险的机制决定了这种策略在股票市场或者股指期货市场上必须“追涨杀跌”
2,动态复制在理论上虽然是“自融资策略”，但是，由于存在交易成本，实际上不可能是“自融资策略”。
基金经理必须在交易成本与复制效果之间进行平衡交易成本越高，在平衡的频率越低
3,在股市出现极端行情的时候，投资组合保险的效果将大打折扣股票、股指期货交易困难组合不是 Vega中性的。然而，在极端行情中，波动率会大幅度上升，因而显著增加复制期权的成本
4,如果采用股指期货进行保险，基点差风险也不容忽视
1987/10，股指期货与 S&P 500出现重大偏差
Greeks 35
投资组合保险 ——股价跳跃
3 100 3.42 (0.16) (15.90) 19.32 3.42
3 125 1.04 (0.05) (6.28) 7.32 1.04
3 125 1.04 (0.05) (13.60) 12.00 (1.60)
T S p delta
复制投资组合 ($)
股票空头 无风险资产 净投资
3 75 10.39 (0.43) (32.49) 42.88 10.39
T S p delta
净现金流股票头寸 无风险资产 净流量
3 75 10.39 (0.43) 20.57 (23.56) (2.99)
Greeks 36
二叉树模型
1,基于 Cox and Ross (1976)提出的风险中性定价思想，
Cox,Ross & Rubinstein (1979)提出了一种简单地定价期权的办法 ——二叉树模型
2,二叉树模型是估计期权价值的主要数值方法之一二叉述模型把股价的连续运动过程离散化
Greeks 37
二叉树模型 ——离散化
1,把期权的期限分成若干等份，每一份的长度计作
delta(t)
2,假设在每个时间段的股价变化存在两种可能性上升到 Su,概率为 p
下降到 Sd,概率为 (1-p)
3,在风险中性世界里，股价的期望收益率为 r
1rtS e p S u p S d
1rte p u p d (1)
Greeks 38
二叉树模型 ——离散化
4,股价做几何布朗运动，在 delta(t)内的方差为
5,两个约束方程,3个未知数 p,u,d
6,添加第三个方程
7,方程组 (1)-(3)的解
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教学内容
1,Delta
2,Theta
3,Gamma
4,Vega
5,Rho
6,Portfolio Insurance
Greeks 3
希腊字母
1,希腊字母度量期权的风险，用于期权头寸的风险管理期权做市商金融机构地期权交易员
2,期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率、
无风险利率以及执行价格，其中易变的因素有四个：
股价,Delta,Gamma
到期时间,Theta
波动率,Vega
无风险利率,Rho
Greeks 4
Delta
1,Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了期权价值对标的资产价格变化的敏感性
2,图示
S(0)
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Delta——欧式股票期权
1,利用 BS公式，可以推导出
2,Delta与股价的关系
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Delta——欧式股票期权
Delta与到期时间的关系
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Delta——其它欧式期权
1,股指期权
2,外汇期权
3,期货期权
4,股票远期
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Delta——线性考虑一个期权投资组合，其中所有期权的标的资产都是同一种资产，则，组合的 Delta等于每种期权的
Delta的线性和其中,表示组合包含第 I中期权的数量
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Delta对冲
1,定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要保护的头寸的 Delta等于零
Delta中性：资产 (或者组合 )的 Delta等于零
2,动态对冲由于资产的 Delta通常是时间的函数，因此，为了实现对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量
3,例子,BSM随机微分方程的推导
1个单位衍生工具空头,份股票
BS采用 Delta对冲方法，建立起包含期权的 Delta中性头寸
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Delta对冲 ——使用期货
1,实践中，对冲工具多选用期货期货流动性好、交易成本低
2,符号期货到期时间：
Delta对冲需要的标的资产头寸：
Delta对冲需要的期货头寸：
3,期货的 Delta,
期货合约的 Delta v.s,远期合约的 Delta
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Delta对冲 ——使用期货
4,Delta对冲需要的期货头寸标的资产不分红标的资产为股票指数标的资产为外汇
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Theta——定义
1,Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价值随时间衰减的速度
2,与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个完全确定的量，无需进行对冲
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Theta——欧式股票期权
1,欧式股票期权的 Theta
买权卖权
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Theta——欧式股票期权
Theta与股价的关系 X
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Theta——欧式股票期权
Theta与时间的关系
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Greeks 16
Gamma
1,Gamma是期权的 Delta对标的资产价格的偏导数，
也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数
2,Gamma度量了期权 Delta对标的资产价格变化的敏感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸性
3,Gamma中性与 Gamma对冲由于标的资产及其远期、期货合约的 Gamma都等于零，
因此，不能用来改变投资组合的 Gamma
要改变投资组合的 Gamma,必须使用那些价格与标的资产价格呈非线性关系的工具，例如期权
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Gamma——欧式股票期权欧式股票期权的 Gamma
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Gamma——欧式股票期权
Gamma与股价的关系
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Gamma——欧式股票期权
Gamma与到期时间的关系
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Greeks 20
Delta,Theta,Gamma的关系
1,从 BSM方程容易推导出三者的关系
2,如果投资组合是 Delta中性的，则如果 Theta是较大的正数,Gamma就是很大的负数，
因此,Theta可以作为 Gamma的替代指标使用
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Greeks 21
Vega
1,Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数，度量了期权价值对标的资产波动率的敏感性
2,Vega中性与 Vega对冲由于标的资产及其远期、期货合约的 Vega都等于零，
因此，不能用来改变投资组合的 Vega
要改变投资组合的 Vega,必须使用那些 Vega不等于零的工具，例如期权
3,欧式期权的 Vega
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Vega——与股价的关系
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Vega——与到期时间的关系
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Rho
1,Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期权价值对利率变化的敏感性
2,标的股票不支付红利的欧式期权买权卖权
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Greeks 25
Rho——外汇期权
1,外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两个
rho,一个对应于本币利率 (见上一页 ),另一个对应于外币利率买权卖权
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Rho——欧式股票买权,与到期时间的关系
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投资组合保险 ——定义
1,投资组合保险：用期权限制表的资产价格下跌的风险
2,股票投资组合 +股票指数卖权
P/L
股价
Greeks 29
投资组合保险 ——合成期权
1,投资组合保险对期权的要求流动性执行价格到期时间
2,基金经理常常创建合成期权进行投资组合保险
3,期权合成技术 ——动态复制似曾相识 ——在推导 BSM过程中采用的 Delta对冲就是用标的股票与买权动态复制无风险资产
4,动态复制标的资产 +无风险资产股指期货 +无风险资产
Greeks 30
投资组合保险 ——标的资产 +无风险资产
1,欧式股票卖权 =标的资产 +无风险资产股票空头头寸，数量等于卖权的 Delta
无风险资产，数量等于卖空股票获得的收入加上卖权的价值股票头寸：
无风险资产头寸：
2,在一定条件下，复制卖权的投资组合是 自融资 的
1 1p p NdS
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Greeks 31
投资组合保险 ——标的资产 +无风险资产
Greeks 32
投资组合保险 ——标的资产 +无风险资产
1,上图有助于理解动态复制技术曲线表示卖权与标的股票价格的关系切线的斜率表示卖权的 Delta
截距表示复制投资组合在无风险资产上的投资额
2,随着股价的涨跌，切线的位置和方向将发生改变，其斜率与截距都将发生变化因此，动态复制需要经常性地调整头寸
2,投资组合保险 (股票 +卖权 )包含两个头寸股票头寸：
无风险资产头寸,
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Greeks 33
投资组合保险 ——使用股指期货
1,通过利用股指期货，不用买卖股票进行再平衡通过在投资组合基础上“覆盖”股指期货头寸提供保险
2,指数期货显著降低了交易成本
80年代末，美国股指期货的双向买、卖差价与佣金大约为股票的 1/10 (8bp,80bp)
Greeks 34
投资组合保险 ——缺陷
1,投资组合保险的机制决定了这种策略在股票市场或者股指期货市场上必须“追涨杀跌”
2,动态复制在理论上虽然是“自融资策略”，但是，由于存在交易成本，实际上不可能是“自融资策略”。
基金经理必须在交易成本与复制效果之间进行平衡交易成本越高，在平衡的频率越低
3,在股市出现极端行情的时候，投资组合保险的效果将大打折扣股票、股指期货交易困难组合不是 Vega中性的。然而，在极端行情中，波动率会大幅度上升，因而显著增加复制期权的成本
4,如果采用股指期货进行保险，基点差风险也不容忽视
1987/10，股指期货与 S&P 500出现重大偏差
Greeks 35
投资组合保险 ——股价跳跃
3 100 3.42 (0.16) (15.90) 19.32 3.42
3 125 1.04 (0.05) (6.28) 7.32 1.04
3 125 1.04 (0.05) (13.60) 12.00 (1.60)
T S p delta
复制投资组合 ($)
股票空头 无风险资产 净投资
3 75 10.39 (0.43) (32.49) 42.88 10.39
T S p delta
净现金流股票头寸 无风险资产 净流量
3 75 10.39 (0.43) 20.57 (23.56) (2.99)
Greeks 36
二叉树模型
1,基于 Cox and Ross (1976)提出的风险中性定价思想，
Cox,Ross & Rubinstein (1979)提出了一种简单地定价期权的办法 ——二叉树模型
2,二叉树模型是估计期权价值的主要数值方法之一二叉述模型把股价的连续运动过程离散化
Greeks 37
二叉树模型 ——离散化
1,把期权的期限分成若干等份，每一份的长度计作
delta(t)
2,假设在每个时间段的股价变化存在两种可能性上升到 Su,概率为 p
下降到 Sd,概率为 (1-p)
3,在风险中性世界里，股价的期望收益率为 r
1rtS e p S u p S d
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Greeks 38
二叉树模型 ——离散化
4,股价做几何布朗运动，在 delta(t)内的方差为
5,两个约束方程,3个未知数 p,u,d
6,添加第三个方程
7,方程组 (1)-(3)的解
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