第六章期权定价期权 2
教学内容
1,股价过程
2,BSM随机微分方程
3,风险中性定价
4,B-S期权定价公式
5,标的资产支付连续红利情况下的期权定价
6,欧式指数期权,外汇期权和期货期权期权 3
马尔科夫过程 (Markov process)
1,无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关
2,如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜市场股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性期权 4
Wiener过程 (布朗运动 )——定义
1,瞬时增量为增量的均值等于 0
增量的标准差等于
zt
2,在任意两个微小时间段内的改变量是独立的
Wiener过程是 Markov过程
t?
期权 5
Wiener过程 (布朗运动 )——基本性质
1,Wiener过程 (长时间段内 )的增量增量的均值等于 0
增量的标准差等于
2,在任意时间段内的期望路径长度为无穷大
3,在任意时间段内,z取某一给定值的期望次数等于无穷大
1
0
N
i
i
z T z t
N T t
T
期权 6
广义 Wiener过程
1,x是广义 Wiener过程，如果漂移速度 a是常数
b是常数
2,x是广义 Wiener过程增量 为正态分布，均值等于标准差为
d x a d t b d z
0x T x?
bT
aT
期权 7
Ito引理
1,x是 Ito过程，如果
2,Ito引理,G是 x与 t的函数，在一定的正则条件下，
因此,G也是 Ito过程
2
2
2
1
2
G G G Gd G a b d t b d z
x t x x
,,d x a x t d t b x t d z
期权 8
Ito引理 ——应用于股票远期价格
1,标的资产为不分红的股票，则远期价格为
2,运用 Ito引理，得到，
00 rTF S e?
r T tF S e
d F r F d t F d z
期权 9
股价过程
1,股价过程：几何布朗运动
，
：单位时间内股价的期望收益率 (瞬时 )
：股价的波动率
.
2,S为股价过程，则
dS d t d z
S
d S S d t S d z
,S ttS
2
22
2
1
2
G G G Gd G S S d t S d z
S t S S
期权 10
股价过程 ——对数正态分布
1,股价对数过程，
2,称股价呈对数正态分布
2ln 2d G d S S d t d z
lnGS?
20l n,2TS S T T
20l n l n,2TS S T T
0 TTE S S e
2220v a r 1TTTS S e e
期权 11
股价过程 ——收益率分布
1,股票收益率 (长时间尺度 )
2,与瞬时期望收益率的差异
3,约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时期望收益率
0 TTS S e
0
1 ln TS
TS或 者,
2,
2 T
,S ttS
期权 12
BSM随机微分方程 ——假设
1,股价过程为 Ito过程
2,卖空无限制
3,没有交易成本、税收，证券是无限可分的
4,衍生工具在到期之前不产生红利
5,不存在套利机会
6,证券可以连续交易
7,所有期限的无风险利率同为常数期权 13
BSM随机微分方程 ——推导
1,f表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数
2,离散形式
d S S d t S d z
2
22
2
1
2
f f f fd f S S d t S d z
S t S S
S S t S z
2
22
2
1
2
f f f ff S S t S z
S t S S
期权 14
BSM随机微分方程 ——推导
3,由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可以消除掉 Wiener过程。
1个单位衍生工具空头,份股票
4,把上述投资组合的价值记作
f
S
ffS
S
2
22
2
1
2
f f ff S S t
S t S
期权 15
BSM随机微分方程 ——推导
5,组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的
6,股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现在边界条件上欧式买权：当 t=T时，
欧式卖权：当 t=T时，
rt
2
22
2
1
2
f f fS t r f S t
t S S
2
22
2
1
2
f f fr S S r f
t S S?
m a xf S X
m a xf X S
期权 16
BSM随机微分方程 ——应用于股票远期股票远期的价格满足 BSM方程
r T tf S K e
2
2,1,0
r T tf f frKe
t S S
222
2
1
2
r T tf f fr S S r K e r S r f
t S S?
期权 17
BSM随机微分方程
1,BSM的任何解 都是某种可以交易的衍生工具的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会
2,如果 不满足 BSM方程，它是某种衍生工具的价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利机会
,f S t
,f S t
期权 18
风险中性定价 (risk-neutral valuation)
1,Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，说明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此，
在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别地，
可以假设投资者是风险中性的在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无风险利率
2,风险中性定价的一般程序假设标的资产的期望收益率等于无风险利率计算衍生工具在到期日的期望支付 (payoff)
把期望支付按无风险利率贴现
3,风险中性定价是求解 BSM方程的一种人造方法，用该方法求得的解适用于任何投资者 (不仅限于风险中性的投资者 )
期权 19
风险中性定价 ——应用于股票远期
1,边界条件：
2,根据风险中性定价原则,TT
f S K
r T t
Tf e E S K
r T t r T t
Te E S e K
r T t r T t r T te e S e K
r T tS e K
期权 20
欧式期权定价
1,期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在 20世纪的前面 70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。
在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在 1973年 ——金融学家 F,Black与 M,
Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文
2,该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式 ——
Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是,它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法
3,M,Scholes主要因为这一工作与 R,Merton一道荣膺了 1997年的诺贝尔经济学奖期权 21
BS期权定价公式
0 1 2( ) ( )rTc S N d X e N d
2 0 1( ) ( )rTp X e N d S N d
20
1
2ln
S rT
X
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T
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21
2
ln S rTX
d d T
T
r T t
Tf e E S K
期权 22
欧式期权定价 ——轶事
1,巧合的是，国际上第一个期权交易所 ——芝加哥期权交易所于 1973年 4月底挂牌营业，略早于 B-S公式的正式发表（ 5-6月号）
2,两位作者最先把论文投给 JPE,遭到了编辑的拒绝，
而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：
金融太多，经济学太少
3,他们于是向 经济学与统计学评论 投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝
4,在芝加哥人 E,Fama和 M,Miller与 JPE杂志的编辑打了招呼以后,JPE才最终发表了这篇论文
5,这一番波折导致他们检验 B-S公式的论文发表在先期权 23
BS期权定价公式 ——离散红利
1,不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、
无风险利率以及标的股票的波动率
2,如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用 B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个问题的办法是：用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分配的红利的现值作为股价代入到 B-S公式中，从而得到欧式期权的价值期权 24
美式买权的执行问题 ——股票分红
1,分红前夕：
2,相应的分红数量：
3,如果在最后一次分红前夕执行期权，投资者得到的价值为
4,如果在最后一次分红前夕不执行期权，那么，期权的下界告诉我们，
5,所以，如果,即
‘,那么，在最后一次分红前夕执行期权不是最优方案
6,如果,可以证明，在股价充分高的情况下，执行期权是最优方案
120 nt t t T
0,1,2iD i n
nS t X?
nr T tnnC c S t D Xe
nr T tn n nS t D Xe S t X
1 nr T tnD X e
1 nr T tnD X e
期权 25
美式买权的执行问题 ——股票分红
1,一般地，如果,那么在第 I次分红前夕执行期权不是最优方案
2,总结美式买权如果提前执行，通常发生在最后一次分红的前夕如果 对 i=1,2…n ( ) 成立，
那么，提前执行不是最优方案
11 iir t tiD X e
11 iir t tiD X e 1ntT?
期权 26
美式卖权的执行问题 ——股票分红
1,美式卖权在分红之前的一段时间里执行不是最优方案
2,如果 对 i=1,2…n ( ) 成立，
那么，卖权不应该提前执行11 iir t tiD X e 1n
tT?
期权 27
欧式股票期权 ——连续红利
1,下述两种股票在 T时刻的价格分布相同当前股价为,支付连续红利，红利率为 q
当前股价为,不支付红利
2,定价原则：在定价标的股票支付连续红利的欧式期权时，可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权，
只要用 替代当前股价
0S
0 qTSe?
0 qTSe?
期权 28
欧式股票期权 ——连续红利
1,期权下界
2,平价关系
0m a x,0rTc S Xe
0m ax,0
qT rTc S e X e
0m ax,0rTp X e S
0m a x,0
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r T q Tc X e p S e
00 rTS X C P S X e
00
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期权 29
欧式股票期权 ——连续红利
1,BSM随机微分方程
2,风险中性定价
222 212f f fr q S S r ft S S
d S r S d t S d z
d S r q S d t S d z
期权 30
欧式股票期权 ——连续红利
0 1 2 ( ) ( )q T r Tc S e N d X e N d
2 0 1( ) ( )r T q Tp X e N d S e N d
20
1
2ln
S r q T
X
d
T
21d d T
期权 31
股票指数期权与外汇期权连续红利的 BS定价公式可以直接用于股票指数期权与外汇期权的定价期权 32
期货期权 ——支付
1,期货期权的到期时间通常稍早于标得期货得到期时间
2,最活跃的期货期权
CBOT交易的中长期国债期货期权 (美式 )
CME交易的欧洲美元期货期权 (美式 )
3,买权期货合约多头头寸 +相当于期货最新结算价的现金 -期权执行价
Max(F-X,0),其中 F表示期权执行时的期货价格
4,卖权期货合约空头头寸 -相当于期货最新结算价的现金 +期权执行价
Max(X-F,0),其中 F表示期权执行时的期货价格期权 33
期货期权 ——平价关系
1,欧式期权
2,美式期权
0
r T r Tc X e p S e
00r T r TS e X C P S X e
期权 34
期货期权 ——风险中性下的期望增长率
1,在风险中性条件下，支付连续红利的股票的期望增长率为 (r-q),其中 r为无风险利率,q为红利率
2,签订期货合约不需要支付，因此期货价格的期望增长率为零 (参见第 8页 )
如果把期货看作支付连续红利的股票，那么该股票的红利率等于无风险利率期货价格等于期货到期日即期价格的期望值
0
r q T t
TTTF e E F E F E S
期权 35
期货期权 ——定价
1,假设期货价格过程为
2,在连续红利的期权定价公式中，用期货价格代替股票价格，并且用无风险利率 r 替代红利率 q,就得到期货期权的定价公式
d F F d t F d z
0 1 2( ) ( )rTc e F N d X N d
2 0 1( ) ( )rTp e X N d F N d
20
1
2ln F X Td
T
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2ln F X Td d T
T
教学内容
1,股价过程
2,BSM随机微分方程
3,风险中性定价
4,B-S期权定价公式
5,标的资产支付连续红利情况下的期权定价
6,欧式指数期权,外汇期权和期货期权期权 3
马尔科夫过程 (Markov process)
1,无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关
2,如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的技术分析不能战胜市场股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性期权 4
Wiener过程 (布朗运动 )——定义
1,瞬时增量为增量的均值等于 0
增量的标准差等于
zt
2,在任意两个微小时间段内的改变量是独立的
Wiener过程是 Markov过程
t?
期权 5
Wiener过程 (布朗运动 )——基本性质
1,Wiener过程 (长时间段内 )的增量增量的均值等于 0
增量的标准差等于
2,在任意时间段内的期望路径长度为无穷大
3,在任意时间段内,z取某一给定值的期望次数等于无穷大
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期权 6
广义 Wiener过程
1,x是广义 Wiener过程，如果漂移速度 a是常数
b是常数
2,x是广义 Wiener过程增量 为正态分布，均值等于标准差为
d x a d t b d z
0x T x?
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期权 7
Ito引理
1,x是 Ito过程，如果
2,Ito引理,G是 x与 t的函数，在一定的正则条件下，
因此,G也是 Ito过程
2
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期权 8
Ito引理 ——应用于股票远期价格
1,标的资产为不分红的股票，则远期价格为
2,运用 Ito引理，得到，
00 rTF S e?
r T tF S e
d F r F d t F d z
期权 9
股价过程
1,股价过程：几何布朗运动
，
：单位时间内股价的期望收益率 (瞬时 )
：股价的波动率
.
2,S为股价过程，则
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S
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,S ttS
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期权 10
股价过程 ——对数正态分布
1,股价对数过程，
2,称股价呈对数正态分布
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lnGS?
20l n,2TS S T T
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0 TTE S S e
2220v a r 1TTTS S e e
期权 11
股价过程 ——收益率分布
1,股票收益率 (长时间尺度 )
2,与瞬时期望收益率的差异
3,约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时期望收益率
0 TTS S e
0
1 ln TS
TS或 者,
2,
2 T
,S ttS
期权 12
BSM随机微分方程 ——假设
1,股价过程为 Ito过程
2,卖空无限制
3,没有交易成本、税收，证券是无限可分的
4,衍生工具在到期之前不产生红利
5,不存在套利机会
6,证券可以连续交易
7,所有期限的无风险利率同为常数期权 13
BSM随机微分方程 ——推导
1,f表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数
2,离散形式
d S S d t S d z
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1
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S t S S
期权 14
BSM随机微分方程 ——推导
3,由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可以消除掉 Wiener过程。
1个单位衍生工具空头,份股票
4,把上述投资组合的价值记作
f
S
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期权 15
BSM随机微分方程 ——推导
5,组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的
6,股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现在边界条件上欧式买权：当 t=T时，
欧式卖权：当 t=T时，
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期权 16
BSM随机微分方程 ——应用于股票远期股票远期的价格满足 BSM方程
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2
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222
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1
2
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期权 17
BSM随机微分方程
1,BSM的任何解 都是某种可以交易的衍生工具的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会
2,如果 不满足 BSM方程，它是某种衍生工具的价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利机会
,f S t
,f S t
期权 18
风险中性定价 (risk-neutral valuation)
1,Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，说明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此，
在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别地，
可以假设投资者是风险中性的在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无风险利率
2,风险中性定价的一般程序假设标的资产的期望收益率等于无风险利率计算衍生工具在到期日的期望支付 (payoff)
把期望支付按无风险利率贴现
3,风险中性定价是求解 BSM方程的一种人造方法，用该方法求得的解适用于任何投资者 (不仅限于风险中性的投资者 )
期权 19
风险中性定价 ——应用于股票远期
1,边界条件：
2,根据风险中性定价原则,TT
f S K
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Tf e E S K
r T t r T t
Te E S e K
r T t r T t r T te e S e K
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期权 20
欧式期权定价
1,期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在 20世纪的前面 70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。
在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工作出现在 1973年 ——金融学家 F,Black与 M,
Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文
2,该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式 ——
Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是,它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法
3,M,Scholes主要因为这一工作与 R,Merton一道荣膺了 1997年的诺贝尔经济学奖期权 21
BS期权定价公式
0 1 2( ) ( )rTc S N d X e N d
2 0 1( ) ( )rTp X e N d S N d
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期权 22
欧式期权定价 ——轶事
1,巧合的是，国际上第一个期权交易所 ——芝加哥期权交易所于 1973年 4月底挂牌营业，略早于 B-S公式的正式发表（ 5-6月号）
2,两位作者最先把论文投给 JPE,遭到了编辑的拒绝，
而且没有得到审稿意见。拒绝的理由：
金融太多，经济学太少
3,他们于是向 经济学与统计学评论 投稿，同样在没有得到审稿意见的情况下遭到拒绝
4,在芝加哥人 E,Fama和 M,Miller与 JPE杂志的编辑打了招呼以后,JPE才最终发表了这篇论文
5,这一番波折导致他们检验 B-S公式的论文发表在先期权 23
BS期权定价公式 ——离散红利
1,不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、
无风险利率以及标的股票的波动率
2,如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用 B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个问题的办法是：用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分配的红利的现值作为股价代入到 B-S公式中，从而得到欧式期权的价值期权 24
美式买权的执行问题 ——股票分红
1,分红前夕：
2,相应的分红数量：
3,如果在最后一次分红前夕执行期权，投资者得到的价值为
4,如果在最后一次分红前夕不执行期权，那么，期权的下界告诉我们，
5,所以，如果,即
‘,那么，在最后一次分红前夕执行期权不是最优方案
6,如果,可以证明，在股价充分高的情况下，执行期权是最优方案
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期权 25
美式买权的执行问题 ——股票分红
1,一般地，如果,那么在第 I次分红前夕执行期权不是最优方案
2,总结美式买权如果提前执行，通常发生在最后一次分红的前夕如果 对 i=1,2…n ( ) 成立，
那么，提前执行不是最优方案
11 iir t tiD X e
11 iir t tiD X e 1ntT?
期权 26
美式卖权的执行问题 ——股票分红
1,美式卖权在分红之前的一段时间里执行不是最优方案
2,如果 对 i=1,2…n ( ) 成立，
那么，卖权不应该提前执行11 iir t tiD X e 1n
tT?
期权 27
欧式股票期权 ——连续红利
1,下述两种股票在 T时刻的价格分布相同当前股价为,支付连续红利，红利率为 q
当前股价为,不支付红利
2,定价原则：在定价标的股票支付连续红利的欧式期权时，可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权，
只要用 替代当前股价
0S
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期权 28
欧式股票期权 ——连续红利
1,期权下界
2,平价关系
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欧式股票期权 ——连续红利
1,BSM随机微分方程
2,风险中性定价
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欧式股票期权 ——连续红利
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期权 31
股票指数期权与外汇期权连续红利的 BS定价公式可以直接用于股票指数期权与外汇期权的定价期权 32
期货期权 ——支付
1,期货期权的到期时间通常稍早于标得期货得到期时间
2,最活跃的期货期权
CBOT交易的中长期国债期货期权 (美式 )
CME交易的欧洲美元期货期权 (美式 )
3,买权期货合约多头头寸 +相当于期货最新结算价的现金 -期权执行价
Max(F-X,0),其中 F表示期权执行时的期货价格
4,卖权期货合约空头头寸 -相当于期货最新结算价的现金 +期权执行价
Max(X-F,0),其中 F表示期权执行时的期货价格期权 33
期货期权 ——平价关系
1,欧式期权
2,美式期权
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00r T r TS e X C P S X e
期权 34
期货期权 ——风险中性下的期望增长率
1,在风险中性条件下，支付连续红利的股票的期望增长率为 (r-q),其中 r为无风险利率,q为红利率
2,签订期货合约不需要支付，因此期货价格的期望增长率为零 (参见第 8页 )
如果把期货看作支付连续红利的股票，那么该股票的红利率等于无风险利率期货价格等于期货到期日即期价格的期望值
0
r q T t
TTTF e E F E F E S
期权 35
期货期权 ——定价
1,假设期货价格过程为
2,在连续红利的期权定价公式中，用期货价格代替股票价格，并且用无风险利率 r 替代红利率 q,就得到期货期权的定价公式
d F F d t F d z
0 1 2( ) ( )rTc e F N d X N d
2 0 1( ) ( )rTp e X N d F N d
20
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