利率与久期 1
课程说明 ——目的
1,基础：无套利定价，风险中性定价
2,衍生工具定价：远期、期货、期权、互换
3,应用：运用衍生工具进行对冲
4,构建新产品利率与久期 2
课程说明 ——课程准备课前阅读教材的相关章节和老师指定的其它材料；如果是案例讨论课，要求做好案例准备
John C,Hull (2000) Options,Futures,and
Other Derivative Securities,4th Edition,
Prentice Hall International,ISBN 0-13-
015822-4
金融工程案例 (Cases in Financial Engineering,
Applied Studies of Financial Innovation)，
中国人民大学出版社,1999
利率与久期 3
课程说明 ——评估
1,期末闭卷考试,60%
2,案例作业与讨论,30%
3,平时成绩,10%
利率与久期 4
课程说明 ——课程内容
1,本课程分为两部分，前半部分是衍生工具基础理论，
后半部分为衍生工具的应用 ——案例讨论
2,前半部分：远期、期货、互换、期权
3,后半部分：套利与风险管理第 2章利率与久期利率与久期 6
教学目的
1,学习利率的基础知识
2,了解利率期限结构的理论
3,掌握利率风险度量指标利率与久期 7
教学内容
1,利率的基础知识
连续复合利率,零息利率与债券的定价,债务工具的报价习惯,基准利率
2,利率期限结构理论
理性预期理论,流动性偏好理论,对冲压力理论
3,久期
定义,久期与弹性,线性性质,凸性利率与久期 8
连续复合利率
1,按每年 n次复合的利率：
2,连续复合利率：
3,不同付息频率的利率之间的换算
11
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1 1 1lim c
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Rc
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1
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m
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利率与久期 9
连续复合利率连续复合利率的优点：
1,连续复合利率反映了利率的本质特征
2,在衍生工具定价中，采用连续复合利率可以简化表达
Black-Scholes期权定价公式利率与久期 10
零息利率与债券的定价
1,零息利率 (zero rates)是指在到期之前不付息的债务工具的利率
简单、精确
2,中长期债券定价
1
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利率与久期 11
零息利率与债券的定价
1,从债券报价中导引出零息利率
bootstrap method
利率与久期 12
到期收益率 (yield to maturity)
1,到期收益率是购买债券并持有到期将实现的内部收益率
2,债券的价格与到期收益率是等价的
1
1
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利率与久期 13
浮动利率债券的定价
1,在每一个付息日，浮动利率债券的价格等于面值
2,在息票期的中间,100美元面值的浮动利率债券的价格等于：
1 0 0 1flo a tB C r t
Cr
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其 中 表 示 下 一 期 的 利 息,表 示 贴 现 率,
表 示 距 离 下 一 个 付 息 日 的 时 间 。
利率与久期 14
中长期债券的报价习惯
1,净价交易现金价格 =报价 +应计利息
2,报价的格式面值的百分比，小数点后采用 32进制。
3,计息方式国债：实际天数 /实际天数公司债与市政债券,30天 /360天
3,收益率报价
“等效债券收益率” （ Bond Equivalent Yield,
BEY） 或简称为“债券制”收益率，它是债券持有到期的半年期内部收益率的两倍。
利率与久期 15
中长期债券的报价习惯例：投资者于 2002年 8月 5日购买了息票利率为 10%
的国债，上一个付息日为 2月 15日，下一个付息日是
8月 15日。当前的息票期为 181天，到 8月 5日息票期已经过了 171天，因此该投资者应该向卖方支付的应计利息为 171/181*5%=4.724%;
如果投资者购买的不是国债，而是市政债券或者公司债，其它一切与国债完全相同，那么，投资者应该支付的应计利息为 170/180*5%=4.722%。
利率与久期 16
中长期债券的报价习惯例,2002年 2月 16日，票面利率为 10%、将于
2003年 8月 15日到期的国债的报价为 108-14，如果持有该债券到期，那么半年期的内部收益率为 2.07%，
因此，该国债在 5月 15日的 BEY制收益率为 4.14%。
2
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32 11 tt yy?
利率与久期 17
短期国债的报价习惯
1,计息方式实际天数 /360天
2,报价
“银行贴现制收益率” (Bank Discount Yield,
BDY)
100
1 0 0 3 6 0
c a s hP nB D Y
3,美国短期国债的收益率报价低于债券的实际收益率
定义中高估了投资额，初始投资应该是，而不是 100
1年的实际为 365天，而不是定义中的 360天利率与久期 18
短期国债的报价习惯例：一种距离到期日还有 60天的美国短期国债的报价为 3%，根据上述公式，我们可以计算出其现金价格为 99.5。因此,60天的实际收益率为 0.503%，折合成年有效收益率为
365 601 0,5 0 3 % 1 3,1 0 %
利率与久期 19
其它货币市场工具的报价习惯
1,计息方式实际天数 /360天
2,报价
“货币市场收益率” (Money Market Yield,MMY)
100
360
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c a s h
P nMMY
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利率与久期 20
国债利率
1,国债利率是政府以其一般信用条件在国内发行的本币债务的利率，政府用其财政收入为债务的偿还担保
2,国债没有违约风险，是信用等级最高的债券
3,几乎所有的衍生工具的定价都涉及无风险利率这个参数，在实际应用中，常常把无风险利率取作国债利率利率与久期 21
LIBOR利率
1,LIBOR是“伦敦银行同业拆借利率” (the London
Interbank Offer Rate) ——具有很高信用等级的大型跨国银行之间的大额贷款的平均利率报价
2,LIBOR利率一般都高于同币种的国债利率
3,LIBOR利率由英国银行家协会向全球公布，
该机构发布七种货币的 LIBOR利率：澳元、加元、瑞士法郎、欧元、英镑、日元与美元
该机构就每一币种指定了 8家以上的大型跨国银行作为该币种利率报价的提供者，取中间两个利率报价的平均值作为 LIBOR利率
4,LIBOR利率主要是短期利率，期限包括 1天,1周,2
周,1个月,2个月一直到 1年，期限结构非常齐全利率与久期 22
LIBOR利率
5,LIBOR利率在国际债务融资中具有独特的地位，绝大部分浮动利率债券、利率互换、远期利率协议以及多期利率期权都用 LIBOR利率作为基准利率或者参考利率
6,与 LIBOR利率类似的利率有 LIBID利率 (the London
Interbank Bid Rate)与 LIMEAN利率，它们都是由英国银行家协会公布的
LIBID是借款方的平均出价利率，而 LIMEAN则是
LIBOR利率与 LIBID利率的平均值
从历史来看,LIBOR利率比 LIBID利率平均高 1/8%，
LIMEAN利率则比 LIBID利率高 1/16%
利率与久期 23
回购利率
1,回购：用证券作抵押进行短期融资，并且在融资期结束的时候按照既定的价格把抵押出去的证券买回来
2,回购利率：从交易对手的角度来看，回购业务是短期投资。抵押证券的买卖差价就是投资者的利息收入，
相应的利率称为回购利率
3,风险：由于采用证券作抵押，而且回购期限通常比较短，因此，对交易双方来说回购业务的风险都很小。
回购利率通常稍高于同期限的国债利率
4,类型：隔夜回购、定期回购与开放式回购
5,回购方：主要银行与其它金融机构
6,投资方：主要是拥有富余资金的公司。对于公司来说，
投资于回购市场的主要吸引力在于投资期限的灵活性利率与久期 24
回购利率
1,在美国，除了用作短期投资以外，回购协议还是美联储实施货币政策的重要机制。当美联储需要对货币供给进行微调时，它可以作为回购方参与交易，从而减少货币供给；也可以作为投资方进行反向交易，从而增加货币供给
2,银行与储蓄机构用回购协议来筹集临时性的资本金
3,在一些发达国家，回购市场的交易量非常大，流动性很好，回购利率是一种主要的基准利率利率与久期 25
远期利率的确定
1,远期利率是由即期利率推导出来的未来一段时间的利率
2,确定远期利率的方法是把它看作弥补即期市场上不同到期日之间的,缺口”的工具。该方法的理论基础是
“理性预期”
3,2000年 3月 1日，某人有一笔资金需要投资一年，当时 6个月期的利率为 9%,1年期的利率为 10%。投资者有两种选择：
直接投资一年获取 10%的利息收入
先投资半年获取 9%的利率，同时卖出一份 6X12 FRA，
半年后再投资半年
4,显然，要铲除套利的话,6X12 FRA的协议利率应该等于 11%
利率与久期 26
远期利率的确定如果市场上不存在套利机会，那么，
1 1 2 1 2 21 1 1FR T R T T R T
即期日 (0) 交割日 ( ) 到期日 ( )
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利率与久期 27
利率期限结构理论 ——定义
1,到期期限是影响债券收益率的主要因素
假定违约风险不变，集中考察到期期限对债券收益率
2,债务工具的到期期限与收益率的关系称为利率的期限结构 (term structure)
如果用二维平面图来描述这种关系，那么相应的曲线称为收益率曲线 (yield curve)
利率与久期 28
利率期限结构理论 ——理性预期理论
1,长期利率是现在的与未来的预期短期利率的几何平均值，即
001 1 1,,,t s t st s t t t sr r r
2,根据理性预期理论，如果收益率曲线呈单调增长形态，
那么预期利率水平将上升；反之，如果收益率曲线呈单调下降形态，那么预期利率水平将下降。
利率与久期 29
利率期限结构理论 ——流动性偏好理论
1,即使预期利率不发生变化，由于长期债券的流动性不如短期债券，长期利率也应该高于短期利率
2,长期债券的价格对利率变化的敏感性比短期债券高，
流动性差，因此，长期债券的投资人承受的利率风险与流动性风险高于短期债券持有者承受的风险。即使预期利率不发生变化，如果长期利率等于短期利率，
投资者也更愿意投资于短期债券，而不是长期债券。
但是，从融资方来看，它们当然愿意发行长期债券，
而不是短期债券。这样，债券的供需出现不平衡。因此，借款方为了筹集到长期资金，必须把长期债券的利率提高到短期债券的利率之上，补偿投资者因投资长期债券牺牲的资产流动性。
利率与久期 30
利率期限结构理论 ——对冲压力理论
1,尽管流动性对商业银行来说是必须考虑的关键因素，
但是，并非所有的投资者都偏好短期债券
由于负债具有长期性，人寿保险公司与养老基金等机构投资者为了对冲风险更加偏好投资于长期债券
2,要使偏好长期（短期）债券的投资者投资于短期（长期）债券，那么短期（长期）利率必须比长期（短期）
利率更具吸引力
3,在预期利率不变的情况下，收益率曲线的形态取决于偏好长期债券的投资者与偏好短期债券的投资者的力量对比
4,对冲压力理论的极端形式为：短期债券市场与长期债券市场是完全分割的，长期债券与短期债券的收益率取决于各自市场的供需状况利率与久期 31
市政债券市场分割的证据
1,假设市政债券与应税债券的收益率满足下述关系：
市政债券收益率 =应税债券收益率 x(1-边际税率 )
2,边际投资者的税率隐含边际税率
1年期 长期
1965 42% 30%
1970 40% 24%
1975 43% 28%
1980 48% 35%
1984 44% 25%
利率与久期 32
市政债券市场分割的证据
1,在短期的一端，隐含边际税率一致地接近于公司税率
(46%左右 )
2,在长期的一端，隐含边际税率相当低，看起来随着保险周期变化
在 PC公司盈利的年份，它们购买免税债券的数量增加，长期市政债券相对于国债的收益率下降
当 PC公司从市政债券市场撤退时，长期市政债券相对于国债的收益率上升，以吸引边际税率较低的个人投资者进入市场利率与久期 33
久期 ——定义
1,度量利率风险的常用指标是麦考利（ Frederick
Macaulay） 在 1938年提出的久期（ duration）
2,一种债务工具的久期是其现金流序列的到期期限的加权平均，权重为单个现金流的现值占债务工具总现值的比例
3,债务性金融工具对利率的敏感性是由现金流发生的时间和相对大小决定的。在其它条件相同的情况下，期限越长，就越敏感；期限越短，就越不敏感
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利率与久期 34
久期 ——定义
1,零息债券的久期等于它的到期期限
2,就同一种债券而言，收益率越大，久期越短；反之，
收益率越小，久期越长
3,修正久期定义为：
1
* DD y
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利率与久期 35
久期 ——弹性当收益率曲线作很小的平行移动时，债券价格的变化率等于修正久期乘以收益率的改变量的反数。因此，久期度量了债券价格在局部对收益率的敏感性
1
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利率与久期 36
久期 ——线性
1,当利率期限结构处于水平状态并且收益率曲线平行移动时，多种债务工具构成的资产（或负债）组合的久期和修正久期分别等于单种资产（或负债）的久期和修正久期的加权平均，权重为单种资产（或负债）的现值占资产（或负债）组合现值的比例
2,线性性质对于利率组合管理非常重要。在确定了资产和负债的类型以后，我们可以通过调整各种资产和负债的投资比例来实现资产组合和负债组合的久期匹配。
如果资产组合和负债组合的久期是相同的，而且收益率曲线的变动是平行移动，那么，净资产对利率的变化不敏感利率与久期 37
久期 ——凸性凸性是指债券的现值（也就是价格）作为到期收益率的函数是凸函数，即，
2
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P
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利率与久期 38
久期 ——凸性
1,债券价格对收益率的敏感性在局面只依赖于债券的久期或修正久期。但是，当收益率的变化幅度比较大时，
这一结论久不再成立
2,C度量了债券价格对收益率的凸性，它的值越大，仅仅用久期度量的债券价格对收益率的敏感性的误差越大。因此，当收益率的变化幅度比较大时，在久期的基础上，需要对凸性进行调整
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课程说明 ——目的
1,基础：无套利定价，风险中性定价
2,衍生工具定价：远期、期货、期权、互换
3,应用：运用衍生工具进行对冲
4,构建新产品利率与久期 2
课程说明 ——课程准备课前阅读教材的相关章节和老师指定的其它材料；如果是案例讨论课，要求做好案例准备
John C,Hull (2000) Options,Futures,and
Other Derivative Securities,4th Edition,
Prentice Hall International,ISBN 0-13-
015822-4
金融工程案例 (Cases in Financial Engineering,
Applied Studies of Financial Innovation)，
中国人民大学出版社,1999
利率与久期 3
课程说明 ——评估
1,期末闭卷考试,60%
2,案例作业与讨论,30%
3,平时成绩,10%
利率与久期 4
课程说明 ——课程内容
1,本课程分为两部分，前半部分是衍生工具基础理论，
后半部分为衍生工具的应用 ——案例讨论
2,前半部分：远期、期货、互换、期权
3,后半部分：套利与风险管理第 2章利率与久期利率与久期 6
教学目的
1,学习利率的基础知识
2,了解利率期限结构的理论
3,掌握利率风险度量指标利率与久期 7
教学内容
1,利率的基础知识
连续复合利率,零息利率与债券的定价,债务工具的报价习惯,基准利率
2,利率期限结构理论
理性预期理论,流动性偏好理论,对冲压力理论
3,久期
定义,久期与弹性,线性性质,凸性利率与久期 8
连续复合利率
1,按每年 n次复合的利率：
2,连续复合利率：
3,不同付息频率的利率之间的换算
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利率与久期 9
连续复合利率连续复合利率的优点：
1,连续复合利率反映了利率的本质特征
2,在衍生工具定价中，采用连续复合利率可以简化表达
Black-Scholes期权定价公式利率与久期 10
零息利率与债券的定价
1,零息利率 (zero rates)是指在到期之前不付息的债务工具的利率
简单、精确
2,中长期债券定价
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利率与久期 11
零息利率与债券的定价
1,从债券报价中导引出零息利率
bootstrap method
利率与久期 12
到期收益率 (yield to maturity)
1,到期收益率是购买债券并持有到期将实现的内部收益率
2,债券的价格与到期收益率是等价的
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利率与久期 13
浮动利率债券的定价
1,在每一个付息日，浮动利率债券的价格等于面值
2,在息票期的中间,100美元面值的浮动利率债券的价格等于：
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其 中 表 示 下 一 期 的 利 息,表 示 贴 现 率,
表 示 距 离 下 一 个 付 息 日 的 时 间 。
利率与久期 14
中长期债券的报价习惯
1,净价交易现金价格 =报价 +应计利息
2,报价的格式面值的百分比，小数点后采用 32进制。
3,计息方式国债：实际天数 /实际天数公司债与市政债券,30天 /360天
3,收益率报价
“等效债券收益率” （ Bond Equivalent Yield,
BEY） 或简称为“债券制”收益率，它是债券持有到期的半年期内部收益率的两倍。
利率与久期 15
中长期债券的报价习惯例：投资者于 2002年 8月 5日购买了息票利率为 10%
的国债，上一个付息日为 2月 15日，下一个付息日是
8月 15日。当前的息票期为 181天，到 8月 5日息票期已经过了 171天，因此该投资者应该向卖方支付的应计利息为 171/181*5%=4.724%;
如果投资者购买的不是国债，而是市政债券或者公司债，其它一切与国债完全相同，那么，投资者应该支付的应计利息为 170/180*5%=4.722%。
利率与久期 16
中长期债券的报价习惯例,2002年 2月 16日，票面利率为 10%、将于
2003年 8月 15日到期的国债的报价为 108-14，如果持有该债券到期，那么半年期的内部收益率为 2.07%，
因此，该国债在 5月 15日的 BEY制收益率为 4.14%。
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利率与久期 17
短期国债的报价习惯
1,计息方式实际天数 /360天
2,报价
“银行贴现制收益率” (Bank Discount Yield,
BDY)
100
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3,美国短期国债的收益率报价低于债券的实际收益率
定义中高估了投资额，初始投资应该是，而不是 100
1年的实际为 365天，而不是定义中的 360天利率与久期 18
短期国债的报价习惯例：一种距离到期日还有 60天的美国短期国债的报价为 3%，根据上述公式，我们可以计算出其现金价格为 99.5。因此,60天的实际收益率为 0.503%，折合成年有效收益率为
365 601 0,5 0 3 % 1 3,1 0 %
利率与久期 19
其它货币市场工具的报价习惯
1,计息方式实际天数 /360天
2,报价
“货币市场收益率” (Money Market Yield,MMY)
100
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利率与久期 20
国债利率
1,国债利率是政府以其一般信用条件在国内发行的本币债务的利率，政府用其财政收入为债务的偿还担保
2,国债没有违约风险，是信用等级最高的债券
3,几乎所有的衍生工具的定价都涉及无风险利率这个参数，在实际应用中，常常把无风险利率取作国债利率利率与久期 21
LIBOR利率
1,LIBOR是“伦敦银行同业拆借利率” (the London
Interbank Offer Rate) ——具有很高信用等级的大型跨国银行之间的大额贷款的平均利率报价
2,LIBOR利率一般都高于同币种的国债利率
3,LIBOR利率由英国银行家协会向全球公布，
该机构发布七种货币的 LIBOR利率：澳元、加元、瑞士法郎、欧元、英镑、日元与美元
该机构就每一币种指定了 8家以上的大型跨国银行作为该币种利率报价的提供者，取中间两个利率报价的平均值作为 LIBOR利率
4,LIBOR利率主要是短期利率，期限包括 1天,1周,2
周,1个月,2个月一直到 1年，期限结构非常齐全利率与久期 22
LIBOR利率
5,LIBOR利率在国际债务融资中具有独特的地位，绝大部分浮动利率债券、利率互换、远期利率协议以及多期利率期权都用 LIBOR利率作为基准利率或者参考利率
6,与 LIBOR利率类似的利率有 LIBID利率 (the London
Interbank Bid Rate)与 LIMEAN利率，它们都是由英国银行家协会公布的
LIBID是借款方的平均出价利率，而 LIMEAN则是
LIBOR利率与 LIBID利率的平均值
从历史来看,LIBOR利率比 LIBID利率平均高 1/8%，
LIMEAN利率则比 LIBID利率高 1/16%
利率与久期 23
回购利率
1,回购：用证券作抵押进行短期融资，并且在融资期结束的时候按照既定的价格把抵押出去的证券买回来
2,回购利率：从交易对手的角度来看，回购业务是短期投资。抵押证券的买卖差价就是投资者的利息收入，
相应的利率称为回购利率
3,风险：由于采用证券作抵押，而且回购期限通常比较短，因此，对交易双方来说回购业务的风险都很小。
回购利率通常稍高于同期限的国债利率
4,类型：隔夜回购、定期回购与开放式回购
5,回购方：主要银行与其它金融机构
6,投资方：主要是拥有富余资金的公司。对于公司来说，
投资于回购市场的主要吸引力在于投资期限的灵活性利率与久期 24
回购利率
1,在美国，除了用作短期投资以外，回购协议还是美联储实施货币政策的重要机制。当美联储需要对货币供给进行微调时，它可以作为回购方参与交易，从而减少货币供给；也可以作为投资方进行反向交易，从而增加货币供给
2,银行与储蓄机构用回购协议来筹集临时性的资本金
3,在一些发达国家，回购市场的交易量非常大，流动性很好，回购利率是一种主要的基准利率利率与久期 25
远期利率的确定
1,远期利率是由即期利率推导出来的未来一段时间的利率
2,确定远期利率的方法是把它看作弥补即期市场上不同到期日之间的,缺口”的工具。该方法的理论基础是
“理性预期”
3,2000年 3月 1日，某人有一笔资金需要投资一年，当时 6个月期的利率为 9%,1年期的利率为 10%。投资者有两种选择：
直接投资一年获取 10%的利息收入
先投资半年获取 9%的利率，同时卖出一份 6X12 FRA，
半年后再投资半年
4,显然，要铲除套利的话,6X12 FRA的协议利率应该等于 11%
利率与久期 26
远期利率的确定如果市场上不存在套利机会，那么，
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即期日 (0) 交割日 ( ) 到期日 ( )
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利率期限结构理论 ——定义
1,到期期限是影响债券收益率的主要因素
假定违约风险不变，集中考察到期期限对债券收益率
2,债务工具的到期期限与收益率的关系称为利率的期限结构 (term structure)
如果用二维平面图来描述这种关系，那么相应的曲线称为收益率曲线 (yield curve)
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利率期限结构理论 ——理性预期理论
1,长期利率是现在的与未来的预期短期利率的几何平均值，即
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2,根据理性预期理论，如果收益率曲线呈单调增长形态，
那么预期利率水平将上升；反之，如果收益率曲线呈单调下降形态，那么预期利率水平将下降。
利率与久期 29
利率期限结构理论 ——流动性偏好理论
1,即使预期利率不发生变化，由于长期债券的流动性不如短期债券，长期利率也应该高于短期利率
2,长期债券的价格对利率变化的敏感性比短期债券高，
流动性差，因此，长期债券的投资人承受的利率风险与流动性风险高于短期债券持有者承受的风险。即使预期利率不发生变化，如果长期利率等于短期利率，
投资者也更愿意投资于短期债券，而不是长期债券。
但是，从融资方来看，它们当然愿意发行长期债券，
而不是短期债券。这样，债券的供需出现不平衡。因此，借款方为了筹集到长期资金，必须把长期债券的利率提高到短期债券的利率之上，补偿投资者因投资长期债券牺牲的资产流动性。
利率与久期 30
利率期限结构理论 ——对冲压力理论
1,尽管流动性对商业银行来说是必须考虑的关键因素，
但是，并非所有的投资者都偏好短期债券
由于负债具有长期性，人寿保险公司与养老基金等机构投资者为了对冲风险更加偏好投资于长期债券
2,要使偏好长期（短期）债券的投资者投资于短期（长期）债券，那么短期（长期）利率必须比长期（短期）
利率更具吸引力
3,在预期利率不变的情况下，收益率曲线的形态取决于偏好长期债券的投资者与偏好短期债券的投资者的力量对比
4,对冲压力理论的极端形式为：短期债券市场与长期债券市场是完全分割的，长期债券与短期债券的收益率取决于各自市场的供需状况利率与久期 31
市政债券市场分割的证据
1,假设市政债券与应税债券的收益率满足下述关系：
市政债券收益率 =应税债券收益率 x(1-边际税率 )
2,边际投资者的税率隐含边际税率
1年期 长期
1965 42% 30%
1970 40% 24%
1975 43% 28%
1980 48% 35%
1984 44% 25%
利率与久期 32
市政债券市场分割的证据
1,在短期的一端，隐含边际税率一致地接近于公司税率
(46%左右 )
2,在长期的一端，隐含边际税率相当低，看起来随着保险周期变化
在 PC公司盈利的年份，它们购买免税债券的数量增加，长期市政债券相对于国债的收益率下降
当 PC公司从市政债券市场撤退时，长期市政债券相对于国债的收益率上升，以吸引边际税率较低的个人投资者进入市场利率与久期 33
久期 ——定义
1,度量利率风险的常用指标是麦考利（ Frederick
Macaulay） 在 1938年提出的久期（ duration）
2,一种债务工具的久期是其现金流序列的到期期限的加权平均，权重为单个现金流的现值占债务工具总现值的比例
3,债务性金融工具对利率的敏感性是由现金流发生的时间和相对大小决定的。在其它条件相同的情况下，期限越长，就越敏感；期限越短，就越不敏感
11
1 1
tm T m T
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tt
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利率与久期 34
久期 ——定义
1,零息债券的久期等于它的到期期限
2,就同一种债券而言，收益率越大，久期越短；反之，
收益率越小，久期越长
3,修正久期定义为：
1
* DD y
m
利率与久期 35
久期 ——弹性当收益率曲线作很小的平行移动时，债券价格的变化率等于修正久期乘以收益率的改变量的反数。因此，久期度量了债券价格在局部对收益率的敏感性
1
PPD
yy
m
ln* PP PD P y y
yP
1
PD
y D y
yP
m
利率与久期 36
久期 ——线性
1,当利率期限结构处于水平状态并且收益率曲线平行移动时，多种债务工具构成的资产（或负债）组合的久期和修正久期分别等于单种资产（或负债）的久期和修正久期的加权平均，权重为单种资产（或负债）的现值占资产（或负债）组合现值的比例
2,线性性质对于利率组合管理非常重要。在确定了资产和负债的类型以后，我们可以通过调整各种资产和负债的投资比例来实现资产组合和负债组合的久期匹配。
如果资产组合和负债组合的久期是相同的，而且收益率曲线的变动是平行移动，那么，净资产对利率的变化不敏感利率与久期 37
久期 ——凸性凸性是指债券的现值（也就是价格）作为到期收益率的函数是凸函数，即，
2
2 0
P
y
利率与久期 38
久期 ——凸性
1,债券价格对收益率的敏感性在局面只依赖于债券的久期或修正久期。但是，当收益率的变化幅度比较大时，
这一结论久不再成立
2,C度量了债券价格对收益率的凸性，它的值越大，仅仅用久期度量的债券价格对收益率的敏感性的误差越大。因此，当收益率的变化幅度比较大时，在久期的基础上，需要对凸性进行调整
21
1 2 1
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2
1
1
1
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