第一章? 应力分析与应变分析 教学内容：本章讨论了应力分析和应变分析的方法及各种相关方程。应力分析和应变分析是塑性变形的力学基础。 教学重点：点的应力状态分析，应力张量的分解与几何方程，应力平衡微分方程，点的应变状态，应变增量，应变速度张量，主应变图与变形程度表示。 教学难点：应力平衡微分方程，应变增量，应变速度增量，主应变图与变形程度表示 教学方法：课堂教学为主，结合多媒体教学。 教学要求：重点掌握应力与应变的状态分析，应力平衡微分方程以及应变与位移关系方程，主应变图与变形程度的表示。 1．1??? 应力与点的应力状态 1．1．1??????? 外力 定义：塑性加工是利用材料塑性，在外力作用下使材料发生塑性变形，制备具有一定外形尺寸及组织性能产品的一种加工方法。外力是塑性加工的外因，它可以分成表面力和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力，它有集中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积力则是作用于工件每一质点上的力，如重力、磁力、惯性力等等。在一般的加工过程中，体积力的作用远远小于表面力，因此往往忽略不计。但在加速度较大的场合，体积力不能忽略。 1．1．2??????? 内力 定义：内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整性的力。外界作用可以是外力，也可以是物理作用、化学作用，如冷热不均。内在力则来自于组成物体的众多原子，它们总是试图保持相互之间的距离不变。当外界作用于物体时，迫使原子间距发生变化，而原子则以力的形式与外界抗衡，以恢复稳定位置，保持原有的间距。所以内力是物体抵抗外界作用而产生的于内部各部分之间相互平衡的力。 1．1．3??????? 应力 定义：应力是单位面积上的内力（见图1-1），其定义式为： Sn=dP/dA???????????????????????????? （1.1） ? 1．1．4??????? 点的应力状态 现考察变形体内任一点M某一斜面上的应力情况。设过M点三个坐标面上的应力为已知。设斜面与三个坐标轴的截距为dx、dy、dz，以四面体近似表示点，从而斜面近似通过M点（见图1-3）。斜面外法线n的方向余弦分别为： ????????????????????????????? ? ???????????????????????????? ??? （1.?? 2） ? ? ? ? 1．2?????????? 点的应力状态 1．2．1??????? 主应力与应力张量不变量 ?? 主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或主方向。 设主应力为，当为主方向时，有，，，代入（式1.3），整理，有： ? ? ????????????????????????????????????????????????????????? （1. 9） 解的非零解，必有系数行列式值为零，最终可得 ? ?????????????????????（1. 10） 其中称作应力张量的第一、二、三不变量。 ? ????????????????? ? ? ????????????????????????????????????????????????????????????????? （1. 11） ? 可以证明，式（1. 10）有三个不同的实根设为且它们是相互正交的，习惯上有的约定。 以上分析表明，一定，主应力与I1，I2，I3的大小就完全确定。因此，一点的应力状态也可用主应力来表示。特别是，当坐标轴与主轴相重合时，的表现形式最为简洁。同样I1，I2，I3的形式也可简化。不论坐标系怎样变化，一点的主应力与应力张量不变量保持恒定。 求得主应力之后，代回式（1. 9）中的任意二式，再结合，便可求出相对于轴的方向余弦。 1．2．2??????? 主切应力 改变方向，总有若干方向使为主切应力，其作用面为主切平面。 若以主应力表示，则式（1. 8）为： ? ?????????? （1. 12） ? 求解，结合，可得以下六组解。 1．2．3??????? 八面体应力与等效应力 在主应力空间中，每一掛限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个掛限共有八组，构成正八面体，简称八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力。因为有：  由式（1. 7），式（1.12），有：  借助于I1， I2，又有： ????????????????????????????????? （1. 14）  ??? （1. 15） ? 为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力（应变能相同的条件下），也称相当应力。  ?（1.16） 至此，由引出了三种殊应力面，如图1-4所示。它们是： Ⅰ：三组主平面，应力空间中构成平行六面体。 Ⅱ：六组主切平面，在应力空间构成十二面体。 Ⅲ：四组八面体面，构成正八面体。 ? ? ? 1．3?????????? 应力张量的分解与几何表示 1．3．1??????? 应力张量的分解 ? 塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把分解成与体积变化有关的量和与形状有关的量。前者称应力球张量，后者称应力偏张量。设为平均应力，则有： ??????????????????? （1. 17） 按照应力叠加原理，具有可分解性。因此有：  ?????????????????????? ??????????????????（1. 18） 式中，当时，?；当时，。 上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张量相同。第二项为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同。 值得一提的是，只影响体积变化，不影响形状变化，但它关系到材料塑性的充分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。 应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为。 ?? （1. 19） 表明应力偏张量已不含平均应力成份。与屈服准则有关（见第二章），反映了物体形状变化的程度。反映了变形的类型：表示广义拉伸变形；=0表示广义剪切变形，<0表示广义压缩变形。 1. 3. 2? 主应力图 表示某点六面体各面上各主应力有无及其方向的图叫主应力图。主应力图具有九种可能的组合，如图1-5所示。这九种组合也可从应力球张量与偏张量来加以理解。由，决定了只可能有三种状态，而也有三种可能，即，所以应该有九种可能。 主应力图是定性分析塑性加工时工件受力状况类型的一种手段。 ? 　 　 　 　 　 1. 3. 3? 主应力空间与π面 若以为坐标轴，构成主应力空间，则一点的应力状态可用一矢量来表示，如图1-6所示。     这是为应力偏量对应的矢量，与成等倾角，为应力球张量对应的矢量。可以证明。必正交于下列过原点的平面。 ????????????????????????? （1. 20） 这是一个平均应力为零的平面，称为应力平面。因的三个分量满足下列关系 ?????????????????????????? （1. 21） 所以总是在平面内，可以用二个几何参数来表示。 ，方向：与成等倾角 方向：平面内 的方向可用在平面上投影与的夹角表示。求法如下：将坐标系旋转，使平面成水平面。如图1-7所示。过Q点作以为法线的平面，该平面与O投影面交于AB，显然AB⊥平面。则四面体OQBA为直角△四面体。而  其中，为在空间的方向余弦。由四面体几何关系，有  同理：  所以 ? ???????????????（1. 22） 三式相乘，得： ???????????? ????????? ???????????????????????（1. 23） 于是，只要知道任意一点的应力状态，就可通过下式求出 ??????????????????? （1. 24） 引入应力空间和平面后，使得一点的应力状态表示更为直观。尤其是平面的引入，可以使与塑性变形有关的应力表示和分析更为简单。 1．4?????????? 应力平衡微分方程 应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻二点间关系，可以通过微体沿坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达形式。 1.4.1 直角坐标下的平衡微分方程 假设物体为连续介质。无限邻近二点的应力状态分别为，?（见图1-8）。假设的连续可导则有 假设连续可导，则有  列六面体力平衡，则有 ???????????????????????? （1. 25） 简记作 或??????????????????? （1. 26） ? ??  图1-8 直角坐标系微体受力????????????????????? 图1-9? 柱坐标系下微体受力 ? 1. 4. 2 ?柱坐标系、球坐标系下的平衡微分方程 对柱坐标系（图1-9）平衡微分条件，有： ?????????????? （1. 27） 对球坐标系（图1-10）平衡微分方程，有： ?? ?(1. 28) ? 1．5?????????? 应变与位移关系方程 物体变形时，内部各质点都在运动，质点在不同时刻所走的距离称作位移。而变形则是指二点间距的变化。这种变化有绝对变形与相对变形之分。应变属相对变形，它是由位移引起的。 研究变形通常从小变形着手。小变形是指数量级不超过10-3~10-2的弹塑性变形。大变形可以划分成若干小变形，由小变形叠加而来。? ? 1.5.1? 几何方程 设任意点的位移在三个坐标轴上的投影为。与该点无限接近的相邻点位移分量为。由于物体的连续性，设处连续可导，再考虑到小变形，因此有：  二点间的绝对位移差则为： ??????????????????? （1. 29） 其中表示位移梯度张量，是位移的变化率，它是不对称二阶张量。将分解得： ???? （1. 30） 第一项为一对称张量，正是小变形下的应变张量，记为，即几何方程 ?????????????? （1. 31） 第二项为一反对称张量，对应于单元体的刚体转动张量。 　 　 　 　 　 有明显的几何意义。它的分量分别表示坐标单元体棱边沿坐标轴方向上的相对伸长或缩短（当i = j时）以及二棱边所夹直角改变量的一半（当时）。可以通过考察单元体三个坐标面上的投影变化加以证实。如图1-11所示。棱边ab沿x轴的应变为；同理。  由于小变形，有，故  同理，因此，取，为理论剪应变。 式（1. 31）中的为正应变或线应变，伸长为正，缩短为负，等为切应变，使二棱角减小为正，增大为负。 不同坐标系下的几何方程表达形式有所不同。柱坐标系下的几何方程为： ??????? （1. 32） 球坐标系的几何方程为（ ?????????????? （1. 33） ? 1.5.2? 变形连续方程 如已知一点的，要根据几何方程确定其三个位移分量时，六个应变分量应有一定的关系，才能保证物体的连续性。这种关系为变形连续方程或协调方程。 从几何方程可导出以下二组变形连续方程。 ???????????????????? （1. 34a） ????????????????? （1. 34b） 式（1.34a）是每个坐标平面内应变分量之间应满足的关系；式（1.34b）是不同平面内应变分量之间应满足的关系。 假如已知位移分量Ui，利用几何关系求得，自然满足连续方程。如用其他方法求得的应变分量，则必须按式（1. 34a）或式（1. 34b）检验其连续性。在塑性加工中，有时用体积不变条件作近似检验，从而避免了偏微分运算。 1．6?????????? 点的应变状态 借助于一点的应力状态概念来描述一点的应变状态，即过某一点任意方向上的正应变与切应变的有无情况。可以用一微线段在某方向上的变形来加以描述。 1.6.1? 任意方向上的应变 设过某点三个相互垂直线上的应变均为已知（见图1-12）。则有， ，，。变形后位移差为，则有：  由于，而，则有    ? ???? 所以，????? ?????????????????????????（1. 35） 由图1-12可知 ?????????????????? （1. 36） 将式（1. 35）、式（1. 36）与任意斜面上应力表达式（1. 7）、式（1. 8）比较，形式完全相似。因此应变的有关公式可以借鉴应力的相应表达式。 ? 1.6.2? 应变张量与特征值 从式（1. 35）、式（1. 36）均可看出，取决于与。类似于应力张量，有应变主轴，其上只有正应变，无切应变，称为主应变，用表示。也有主切应变： ??????????????? （1. 37） 八面体上的正应变与切应变： ?????????????????????????????? （1. 38） ????????????? （1. 39） 应变张量可分解成球张量与偏张量： ?????? （1. 40） 相应地，有应变张量不变量： ???????????????? （1. 41） ???? （1. 42） 定义了弹性等效应变与塑性等效应变，使不同应变状态下的变形具备了可比性。 ? （1. 43） 式中，为泊松系数。 ??? （1. 44） 1．7?????????? 应变增量 1. 7. 1? 全量应变与增量应变的概念 前面所讨论的应变是反映单元体在某一变形过程终了时的变形大小，称作全量应变。其度量基准是变形以前的原始尺寸。而增量应变则是指变形过程中某一极短阶段的无限小应变，其度量基准不是原始尺寸，而是变形过程中某一瞬间的尺寸。引入增量应变是由塑性变形量较大的特点所决定的。 从几何学的观点看，塑性变形与弹性变形并无多大差别，但与应力联系起来时，它们就表现出巨大的差别。这一点在第2章将要详细讨论，这里仅作简单说明。弹性变形是线性可逆的，应变状态与应力状态同步，与加载过程无关。而塑性变形是非线性不可逆的。加载时产生新的塑性变形，卸载时已产生的塑性变形不随应力而变。因此塑性变形是历次变形的叠加结果，并不一定是单值地对应于应力状态，或者说与应力状态不同步，因此全量应变在塑性变形中的应用受到很大限制。但是，在加载中，每一瞬间的应力状态一般与增量应变相对应。所以求解塑性加工问题时，通常采用增量应变。 1. 7. 2? 增量应变张量 设变形体中某质点从此瞬间起，经过无限小时间dt的位移量为dUi，由于dt很小，dUi及其对坐标的微分亦必然很小，因此类似于应变张量的定义，有： ????????????????????? （1. 45） 增量应变与小变形应变张量一样，具有三个主方向，三个主应变增量，三个不变量等特殊值，只需用替换即可。 从定义可以看出，是位移增量对坐标的微分，是从瞬时位置起算的微小应变，能更准确地描写物体的变形。描写的是瞬时情况和过程，而只能描写变形的起始近似结果。也正因为二者起点不一样，基准不一样，一般有。只有在小变形情况下才有。 同理，在一般情况下，是求不出来的，并且没有确定的物理意义。如果应变路径已知，则可以求得。在主轴方向始终不变时，具有物理意义，即对数应变。例如单拉时，主方向不变，任一瞬间长度方向上的应变增量为。为瞬时长度，则  在小变形下，二次项以上的高次项可以忽略，这时才有，即小变形下有。 ? ? 1．8?????????? 应变速度张量 应变速度对塑性变形功率及热变形过程中力能参数的计算有着重要意义。 设某一瞬间起dt时间内，产生位移增量dUi，则应有dUi=Vidt。其中Vi为相应位移速度。代入式（1. 45），有：  令 ????????????????????? （1. 46） 称为应变速率张量。式（1. 46）不论大小变形均适合。要求对某一瞬间进行计算，而不是按初始位置计算。对可以类似于求主应变速率，主方向，偏应变速率张量，不变量，八面体应变速率，等效应变速率等等，只要在的对应量上面加上“· ”即可。 注意由于是从初始位置计算的，在一般情形下，有。只有在小变形下，。 1．9?????????? 主应变图与变形程度表示 1. 9. 1? 塑性变形的体积不变条件 在变形体内的某一点处，用垂直于该点应变主轴的三对截面，截取一个六面体，棱长为。变形前体积，变形后体积为?，则体积应变为： ????????????? （1. 47） 实验表明，塑性变形密度变化较小，可以忽略不计。通常认为塑性变形体积不变，即： ??????????????? （1. 48） 塑性变形体积不变条件可以作为塑性变形是否协调的近似判据。 1. 9. 2 ?主变形图 主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。根据塑性变形体积不变条件，主变形图只可能有三种形式，如图1-13所示（设。若已知应力状态，可用判别塑性变形的类型：如对应于广义拉伸变形；对应于广义剪切变形； 对应于广义压缩变形。 ? ? ? ? ? 图1-13? 主应变图 ? 1. 9. 3 ?变形力学图 变形体内一点的主应力图与主应变图结合构成变形力学图。它形象地反映了该点主应力、主应变有无和方向。主应力图有9种可能，主应变有3种可能，二者组合，则有27种可能的变形力学图。但单拉、单压应力状态只可能分别对应一种变形图，所以实际变形力学图应该只有23种组合方式。 ? 1. 9. 4 ?变形程度的表示 通常变形量的计算有三种形式，即绝对变形量、相对变形量、真实变形量。 1．绝对变形量 指工件变形前后主轴方向上尺寸的变化量。如锻造中的压下量，轧制中的宽展量等。绝对变形量由于直观性而广泛应用于现场中，但它不能确切地反映变形强烈程度。不论变形前后尺寸怎样变化，习惯上绝对变形量总量取正值。 2．相对变形量 指绝对变形量与原始尺寸的比值，常称为形变率，它排除了初始尺寸的影响，较绝对变形量科学。习惯上也总是取正值，如压下率，，挤压比、锻造比等，广泛应用于现场中。然而相对变形量把基准看成恒定的，因而不能真实地反映变化基准对变形程度的影响，计算大变形时误差较大。另外它不具备可加性。 3．真实变形量 即变形前后尺寸比值的自然对数。变形前尺寸并不一定是原始尺寸。它可真实地反映变形，尤其是大变形，理论研究常用到，但现场应用不多。真实变形量能真实反映大变形，具备变形量的可加性与可比性，能够真实地反映塑性变形的体积不变。