第二章 金属塑性变形的物性方程 教学内容：物性方程又称本构方程，是关系的数学表达形式。本章讨论金属塑性变形过程和力学特点、塑性条件方程、塑性变形的应力应变关系、变形抗力曲线与加工硬化以及影响变形抗力的因素。 教学重点：塑性变形过程和力学特点，塑性条件方程，应力应变关系以及变形抗力曲线与加工硬化。 教学难点：塑性条件方程，变形曲线与加工硬化。 教学方法：课堂教学为主，结合多媒体教学。 教学要求：重点掌握塑性变形过程和力学特点，塑性变形方程，塑性变形的应力应变关系，变形抗力曲线与加工硬化。 2．1 金属塑性变形过程与力学特点 2．1．1 变形过程与特点 以单向拉伸为例说明塑性变形过程与特点，如图2-1所示。金属变形分为弹性、均匀塑性变形、破裂三个阶段。塑性力学视为弹塑性变形的分界点。当时，与存在统一的关系，即。 当以后，变形视作塑性阶段。是非线性关系。当应力达到之后，变形转为不均匀塑性变形，呈不稳定状态。点的力学条件为或dP=0。经短暂的不稳定变形，试样以断裂告终。 　 　 若在均匀塑性变形阶段出现卸载现象，一部分变形得以恢复，另一部分则成为永久变形。卸载阶段呈线性关系。这说明了塑性变形时，弹性变形依然存在。弹塑性共存与加载卸载过程不同的关系是塑性变形的两个基本特征。 由于加载、卸载规律不同，导致关系不唯一。只有知道变形历史，才能得到一一对应的关系，即塑性变形与变形历史或路径有关。这是第3个重要特征。 事实上，以后的点都可以看成是重新加载时的屈服点。以g点为例，若卸载则关系为弹性。卸载后再加载，只要点，关系仍为弹性。一旦超过g点，呈非线性关系，即g点也是弹塑性变形的交界点，视作继续屈服点。一般有，这一现象为硬化或强化，是塑性变形的第4个显著特点。 在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩与拉伸基本相同。但是若将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先压后拉也有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的现象称作Bauschinger效应。这是金属微观组织变化所致。一般塑性理论分析不考虑Bauschinger效应。 Bridgman等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试验。结果表明：静水压力只引起物体的体积弹性变形，在静水压力不很大的情况下（与屈服极限同数量级）所得拉伸曲线与简单拉伸几乎一致，说明静水压力对塑性变形的影响可以忽略。 ? 2.1.2 基本假设 （1）材料为均匀连续，且各向同性。 （2）体积变化为弹性的。塑性变形时体积不变。 （3）静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性变化。 （4）不考虑时间因素，认为变形为准静态。 （5）不考虑Banschinger效应。 2．2 塑性条件方程 塑性条件是塑性变形的起始力学条件。 2.2.1? 屈服准则 单向拉伸时，材料由弹性状态进入塑性状态时的应力值称为屈服应力或屈服极限，它是初始弹塑性状态的分界点。复杂应力状态下的屈服怎样表示？一般说来，它可以用下列式表示： S）=0 其中为应力张量，为应变张量，t为时间，T为变形温度，S为变形材料的组织（Structure）特性。 2. 2. 2? Tresca屈服准则 最早的屈服准则是1864年Tresca根据库伦在土力学中的研究结果，并从他自己做的金属挤压试验中提出以下假设：当最大切应力达到某一极限k时，材料发生屈服。即： ??????????????????????????? （2. 1） 用主应力表示时，则有： ???????????? （2. 2） 当有约定时，则有： ?????????????????????????????????????????????????????????? （2. 3） ? 2. 2. 3 ?Von Mises屈服准则 Tresca屈服准则不考虑中间主应力的影响；另外当应力处在两个屈服面的交线上时，数学处理将遇到一些困难；在主应力未知时，Tresca准则计算十分复杂。因此Von Mises在1913年研究了实验结果后，提出了某一屈服准则，即当： ?????????????????????????????? （2. 5） 时材料就进入屈服，其中C为常数。由于与，以及材料的弹性形状改变能有关，因此具有不同的物理意义。 2. 2. 4? 两种屈服条件的实验验证 以上两种屈服条件最主要的差别在于中间主应力是否有影响。以下介绍的两个实验结果均表明Von Mises条件比Tresca条件更接近于实际。 2. 2. 5? 硬化材料的屈服条件 从单向拉伸曲线可以看到，进入塑性变形以后的应力都可以视作屈服点，称作后继屈服点，而且其值总是大于初始屈服点。对于三维应力空间，初始屈服条件为一曲面。对于硬化材料，是否也可类推出后继屈服面？该曲面形状如何？大小如何？实验表明，硬化材料确实存在后继屈服曲面，也称加载曲面。但其形状、大小不容易用实验方法完全确定，尤其是随着塑性变形的增长，材料变形的各向异性效应愈益显著，问题变得更为复杂。因此，为了便于应用，不得不对强化条件进行若干简化假设，其中最简单的模型为等向强化模型。该模型要点为：后继屈服曲面或加载曲面在应力空间中作形状相似地扩大，且中心位置不变。在平面上，加载曲面变为曲线，它与初始屈服曲线相似。等向强化模型忽略了由于塑性变形引起的各向异性。在变形不是很大，应力偏量之间相互比例改变不大时，结果比较符合实际。因此，Tresca准则的加载曲面是一系列的同心六棱柱面，Von Mises准则的加载曲面是一系列的同心圆柱面。 2．3 塑性变形的应力应变关系 2. 3. 1? 加载与卸载准则 从单拉实验可以看到，进入塑性变形以后，加载则有新的塑性变形产生；卸载的关系为弹性关系，那么复杂应力状态下的加载与卸载怎样表示？可以从等效应力、加载曲面方面加以阐述（图2-5）。 若，应力点保持在加载曲面上变动，称作加载。此时有新的塑性变形发生，关系为塑性的。对于理想塑性材料，这一条不成立；若，应力点向加载曲面内侧变动，称作卸载，不会产生新的塑性变形，关系为弹性关系；若，应力点在原有屈服曲面上变动，对于强化材料而言为中性变载，没有新的塑性变形，关系为弹性关系。对于理想塑性材料仍为加载过程。如果以表示屈服曲面，则可以把上述加载与卸载准则因屈服曲面形式来表示。 　 ? 弹性状态 　  ?????????????????????? 强化材料加载，理想材料不成立 ???????????????????????????? （2. 10） ?????????????????????? 强化材料变载，理想材料加载 ???????? 卸载 当应力点处在及二个屈服曲面“交线”处时，应有： ? 　  　 强化材料加载，理想材料不成立 ?????????????????? （2.11） 强化材料变载，理想材料加载 ??? 卸载 2. 3. 2 加载路径与加载历史 从单拉实验可以看到，屈服后加载才有新的塑性变形发生。但是怎样加载？是一直加载还是加载、卸载、再加载？这里存在一个路径问题，也即应力点在应力空间或平面变动的轨迹问题。不同的路径或者历史会产生不同的塑性变形。以金属薄壁管拉扭复合作用为例。设其屈服曲面为图2-6所示。路径1为OACE，先拉伸至C点，然后扭矩逐步增大，拉力逐步减小，使应力点沿CE变载至E点。这时总的塑性变形为。路径2为OFE，从原点加载路径F点到达E点，塑性变形为（。尽管路径1与路径2都有相同的最终应力状态，但产生的塑性变形不相同。因此，欲求关系，就必须弄清是哪条路径下的关系。 路径可分成简单加载和复杂加载二大类。简单加载是指单元体的应力张量各分量之间的比值保持不变，按同一参量单调增长。不满足上述条件的为复杂加载。很明显，简单加载路径在应力空间中为一直线，如图2-6中的OFE。 　 　 　 　 2. 3. 3? 增量理论（流动理论） Saint与Venant早在1870年就提出在一般加载条件下应力主轴和应变增量主轴相重合，而不是与全应变主轴相重合的见解，并发表了应力-应变速度（塑性流动）方程。M. Levy于1871年提出了应力-应变增量关系，1913年Mises独立地提出了与Levy相同的方程，称之为Levy-Mises方程。它适用于服从Mises塑性条件的理想刚塑性体。L. Prandtl于1924年提出了平面应变问题的理想弹塑性体的增量理论，并由A. Reuss推广至一般应力状态，称作Prandtl-Reuss方程。现在二个增量理论已推广至强化材料。 2. 3. 4? 增量理论的实验验证 增量理论的实验验证目的，在于证明Levy-Mises方程与Prandtl-Reuss方程关于应变增量与应力偏量成比例假设的正确性。W. Lode引入了塑性应变Lode参数 ???????????????????? （2. 17） 若增量理论是正确的，则应有。为此做了薄壁圆管受轴向拉伸与内压同时作用的实验。实验结果表明大致成立。理论与实验的差异可能是材料各向异性所致，也可能是与理论值有误差。1931年G. I. Taylor与H. Quinney对铝、铜及软钢的簿壁管施加拉伸与扭转组给载荷实验，证明了与的主轴方向的误差不超过2°,但。实验指出了与理论的偏差很小。 H. L. D. Pugh于1953年提出薄壁管不具备各向同性。R. Hill建议采用带缺口的条状试样来验证。因此此法能很好地控制各向异性的程度。B. B. Hundy与A. P. Green于1954年用这种方法验证，结果与理论相符。 1976年Ohashi又重新做了薄壁圆管拉扭实验，设法考虑了管中的各向异性影响。实验结果肯定了的结论。 2. 3. 5? 全量理论（形变理论） 若已知应变变化历史，即知道了加载路径，则沿这个路径可以积分得出应力与应变全量之间的关系，建立全量理论或形变理论，尤其是简单加载下，把增量理论中的增量符号“d”取消即可。 在简单加载条件不成立的情况下全量理论照理是不能使用的。但由于全量理论解题的方便性，在简单加载条件不成立的情况下，也经常使用全量理论求解。最令人奇怪的是象板材的塑性失稳问题，在失稳时刻，应力分量之间的比例变化激烈，而实验结果却更接近于全量理论的计算结果。这就使人们估计全量理论的适应范围比简单加载宽得多，因此提出了所谓偏离简单加载问题，探讨应力路径可以偏离简单加载路径多远而仍能应用全量理论的问题。至于为什么在失稳问题中全量理论计算结果比增量理论好，目前仍未很好解决，还在继续研究之中。 2. 3. 6? 塑性势与流动法则 以上关于塑性状态本构关系的论述都与Mises屈服准则相关。其他屈服准则是否也有相应的本构关系？借助塑性势的概念可以回答这个问题。 Mises在1928年类比了弹性应变增量可用弹性势函数对应力求偏导的表达式，指出了“塑性势”的概念。其数学表达式为： ????????????????????????? （2. 18） 此处G为“塑性势”，为一种非负系数。G应是一个怎样的函数？它与屈服表面有何关系？这里先考察一下Drucker强化公设 　 2．4 变形抗力曲线与加工硬化 在关系中含有系数，要确定，必须知道关系曲线，即等效应力应变曲线。 变形抗力是指材料在一定温度、速度和变形程度条件下，保持原有状态而抵抗塑性变形的能力。它是一个与应力状态有关的量。不同的应力状态，有不同的变形抗力，如单拉、单压下的变形抗力的（也称流动应力），平面应变压缩下的变形抗力为Kf，纯剪状态下的剪切变形抗力的k等，其中。实际变形抗力还与接触条件有关。 2. 4. 1? 变形抗力曲线与等效应力应变曲线 不同的应力状态，会有不同的变形抗力曲线。单拉曲线已在前面叙述过，在此对单压、平面应变压缩、双向等拉与扭转试验曲线加以介绍。 2. 4. 2? 等效应力的确定 在塑性加工力学的分析中，简单起见，总是假设材料为理想塑性体，但实际材料总是有加工硬化。适当地考虑加工硬化，可以近似地应用理想塑性体的分析结果。 1．? 稳态变形时等效应力的求法 稳态变形特点是变形区大小、形状、应力与应变分布不随时间而变，如板带轧制、管棒挤压与拉拔等，但变形区内各点的应力与应变不一样，则的取法有以下二种： （1） （2） 经处理后，可以应用理想塑性体的分析结果。 2．非稳态变形时等效应力的求法 视变形为均匀变形，得到平均等效应的值，然后查材料的曲线，找到与相对应的作为平均等效应力。这样就可以把问题当作理想塑性问题来处理。 2．5 影响变形抗力的因素 变形抗力的大小与材料、变形程度、变形温度、变形速度、应力状态有关、而实际变形抗力还与接触界面条件有关。 2. 5. 1? 化学成份的影响 化学成份对变形抗力的影响非常复杂。一般情况下，对于各种纯金属，因原子间相互作用不同，变形抗力也不同。同一种金属，纯度愈高，变形抗力愈小。组织状态不同，抗力值也有差异，如退火态与加工态，抗力明显不同。 2. 5. 2? 组织结构的影响 1．结构变化 金属与合金的性质取决于结构，即取决于原子间的结合方式和原子在空间排布情况。当原子的排列方式发生变化时，即发生了相变，则抗力也会发生一定的变化。 2．单组织和多组织 当合金的单相组织时，单相固溶体中合金元素的含愈高，变形抗力则愈高，这是晶格畸变的后果。当合金为多相组织时第二相的性质、大小、形状、数量与分布状况，对变形抗力都有影响。一般而言，硬而脆的第二相在基体相晶粒内呈颗粒状弥散分布，合金的抗力就高。第二相越细，分布越均匀，数量越多，则变形抗力越高。 3．晶粒大小 金属和合金的晶粒愈细，同一体积内的晶界愈多。在室温下由于晶界强度高于晶内，所以金属和合金的变形抗力就高。 2. 5. 3? 变形温度的影响 由于温度升高，降低了金属原子间的结合力，金属滑移的临界切应力降低，几乎所有金属与合金的变形抗力都随温度升高而降低。对于那些随着温度变化产生物理-化学变化和相变的金属与合金，则存在差例外。 2. 5. 4? 变形速度的影响 变形速度的提高，单位时间内的发热率增加，有利于软化的产生，使变形抗力降低。另一方面，提高变形速度缩短了变形时间，塑性变形时位错运动的发生与发展不足，使变形抗力增加。一般情况下，随着变形速度的增大，金属与合金的抗力提高，但提高的程度与变形温度密切相关。冷变形时，变形速度的提高，使抗力有所增加，或者说抗力对速度不是非常敏感。而在热变形时，变形速度的提高，会引起抗力明显增大。 2. 5. 5? 变形程度的影响 无论在室温或高温条件下，只要回复和再结晶过程来不及进行，则随着变形程度的增加必然产生加工硬化，使变形抗力增大。通常变形程度在30%以下时，变形抗力增加显著。当变形程度较大时，变形抗力增加变缓，这是因为变形程度的进一步增加，使晶格畸变能增加，促进了回复与再结晶过程的发生与发展，也使变形热效应增加。 2. 5. 6? 应力状态的影响 变形抗力是一个与应力状态有关的量。例如，假设棒材挤压与拉拔的变形量一样，但变形力肯定不一样。从主应力图与主应变图上可知，挤压抗力为，拉拔抗力也为J1，由Tresca屈服准则，或，不难看出：挤压变形抗力在叠加一同号压应力之后，变得更负，即绝对值增加；而拉拔变形抗力在叠加一异号压应力之后，有所减小，即绝对值减小。再如，平面应变压缩的抗力为Kf，而单向压缩的抗力为，而纯剪的变形抗力为k，它们均不相同。因此，不同的应力状态，变形抗力必不相同。 2. 5. 7? 接触摩擦的影响 ?? 实际变形抗力还受接触摩擦影响，一般摩擦力愈大，实际变形抗力愈大。