第九章 功平衡和上限法及其应用 教学内容：本章讨论功平衡法、极值原理及上限法，讲解速度间断面及其速度特性，Johnson上限模式及应用和Avitzur上限模式及应用。 教学重点：功平衡法，极值原理及上限法，速度间断面及其速度特性，Johnson上限模式，Avitzur上限模式。 教学难点：上限法，速度间断面，Johnson上限模式，Avitzur上限模式。 教学方法：课堂教学为主，结合多媒体教学。 教学要求：重点掌握功平衡法，极值原理，上限法，两种上限模式。 9．1 功平衡法 功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原理来计算变形力的一种近似方法，又称变形功法。 功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位移方向上所作的外部功（WP）等于物体塑性变形所消耗的应变功（Wd）和接触摩擦功（Wf）之和，即 WP = Wd + Wf 对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形式 dWP = dWd? + dWf （1）外力所作功的增量dWP 设外力P沿其作用方向产生的位移增量为duP，则 dWp = P × duP （2）塑性变形功增量dWd dWd为变形物体内力所作功增量。当变形物体中某一单元体积为dV，所处主应力状态为、、，相应的主应变增量分别为、、时，则该单元体积的塑性变形功增量为 dWd=ddV=(dV 根据应力应变增量理论方程  ? 可求得、、，考虑到塑性变形时σe=σT代入上式，经整理后得，整个塑性变形体V内所消耗的塑性变形功增量为：  式中，为变形抗力 为等效应变增量 （3）接触摩擦所消耗功的增量dWf 若接触面S上摩擦切应力及其方向的位移增量为duf，则  式中，为摩擦因子。 ??? 于是由功平衡方程，得总的变形力P为 ?????????? （9-1） 由此可见，求解的关键在于能否利用给定的变形条件，求出和。由于塑性变形总是不均匀的，计算是比较困难的，通常可按均匀变形假设确定，故变形功法又称为均匀变形功法。 9. 2? 极值原理及上限法 极值原理包括上限定理和下限定理，它们都是根据虚功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。上限定理是按运动学许可速度场（主要满足速度边界条件和体积不变条件）来确定变形载荷的近似解，这一变形载荷它总是大于（理想情况下才等于）真实载荷，即高估的近似值，故称上限解；下限定理仅按静力学许可应力场（主要满足力的边界条件和静力平衡条件）来确定变形载荷的近似解，它总是小于（理想情况下才等于）真实载荷，即高低的近似解，故称下限解（见图9-2所示）。 由于上限解所确定的载荷是高估的，这对于保证塑性变形过程的顺利进行，有利于选择设备和设计模具，而且设定一个比较接近实际金属流动行为的运动学许可速度场比较易于办到，因为变形区内质点的流动景象直观、形象，也便于通过网格法等直接观察，或用视塑性法等进行测量计算。因此，上限定理在金属塑性加工上得到了广泛应用，不仅用来解平面应变问题和轴对称问题，而且也可以解某些三维问题，如非轴对称型材的挤压、拉拔、轧制与锻压等。此外，还可用于求解高速变形的温度场，以及金属材料的性能与组织关系等，故本章主要叙述上限定理及其应用。 虚功原理：稳定平稳状态的变形体中，当给予变形体一几何约束所许可的微小位移（因为该位移只是几何约束所许可，实际上并未发生，故称虚位移）时，则外力在此虚位移上所作的功（称虚功），必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚应变功，其表达式为： ??????? （9-2） 实际应用常用功率形式表达 ????????? （9-3） 式中，左边为外力所作虚功或虚功率，右边第一项为虚应变功耗或虚应变功率消耗，第二项为接触摩擦与刚性界面上剪切功耗或功率消耗等。（为所在界面上的相对滑动速度），第三项为裂纹形成等的功耗或功率消耗。虚功原理对于弹性变形、弹塑性变形或塑性变形力学问题都是适用的。 ? 　 ???? 　 图9-2? 上限解、下限解与精确解的比较?????????? 图9-3? 最大塑性功耗原理示意图 ? 最大塑性功消耗原理：在一切许可的塑性应变增量（应变速度）或许可的应力状态中，以符合增量理论关系的应力状态或塑性应变增量（应变速度）所耗塑性应变功耗（或功率消耗）最大。