第 8章 滑移线理论及应用
§ 8.1 平面应变问题和滑移线场
§ 8.2 汉盖（ Hencky）应力方程 —— 滑
移线的沿线力学方程
§ 8.3 滑移线的几何性质
§ 8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制
§ 8.5 三角形均匀场与简单扇形场组合
问题及实例
§ 8.6 双心扇形场问题及实例
§ 8.1 平面应变问题和滑移线场
（ a）塑性流动平面（物理平面），（ b）正交曲线坐标系的应力特点，（ c）应力莫尔圆
图 8-1 平面应变问题应力状态的几何表示
平面应变问题
根据平面流动的塑性条件，
（对 Tresca塑性条件 ；
对 Mises塑性条件 ）
于是，由图 8-1c的几何关系可知，有
式中 —— 静水压力
—— 定义为最大切应力 方向
与坐标轴 Ox的夹角。
???? 2s i nkpx?
???? 2s i nkpy?
?? 2c o skxy?
k?max?
2/Tk ??
3/Tk ??
)2/)(( yxmp ??? ?????
? )(m ax k??
平面应变问题
对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零
（设 duZ=0），故只有三个应变分量（,, ），也称
平面应变问题。根据塑性流动法则，可知
式中,为平均应力； p称为静水压力。
根据塑性变形增量理论，平面塑性流动问题独立的应力分量
也只有三个（,, ），于是平面应变问题的最大切应力
为：
xd? yd? xyd?
pmyxZ ?????? ????? 2/)(2
m?
x? y? xy?
2231m a x ]2/)[(2/)( xyyx ?????? ?????
对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力 k为常数。
因此塑性变形区内各点莫尔圆半径（即最大切应
力 ）等于材料常数 k。如图 8-2所示，在 x-y坐标平
面上任取一点 P1，其 的，即 方向为,
沿 方向上取一点 P2，其 方向为,
依此取点 a2，其 线方向为,依次连续取下去，
直至塑性变形区的边界为止 ……,最后获得一条折线
P1-P2-P3-P4……,称为 线。按正、负两最大切
应力相互正交的性质，由 P点沿与 的垂直方向上，
即在 P点的 的，即 方向上取点，也可得
到一条折线 ……,称为 线。 ?
max?
?
0??
0??
?
1???
2??
?
??
)( max?? ?
4321 ''' PPPP ???
k?max?
绘制滑移线
由图 8-2可知，滑移线的微分方程为：
对 线
对 线
图 8-2 x-y坐标系与滑移经网络
?? tgdxdy
?
?????? ct gtgdxdy /)( ?
?
?
?
滑移线理论法 是一种图形绘制与数值计算相结合
的方法, 即根据平面应变问题滑移线场的性质绘
出滑移线场, 再根据精确平衡微分方程和精确塑
性条件建立汉盖 （ Hencky） 应力方程, 求得理想
刚塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及
变形力的一种方法 。
滑移线理论法
§ 8.2 汉盖（ Hencky）应力方程 ——
滑移线的沿线力学方程
推导：
有平面应变问题的微分平衡方程
将式（ 8-3）代入上式，得
0?????? yx yxx ?? 0?????? yx yxy ??
02co s22s i n2
02s i n22co s2
?
?
??
??
?
??
??
?
?
?
?
??
??
?
??
??
?
?
y
k
x
k
y
p
y
k
x
k
x
p
整理得表达成
对 线取, +”号
对 线取, -”号
式中，
上式表明，沿滑移线的静水压力差（ ）与滑移线
上相应的倾角差（ ）成正比。故式表明了滑移线的
沿线性质。
汉盖应力方程不仅体现了微分平衡方程，同时也满足
了塑性条件方程。
abab kp ????? 2
?
?
baab ppp ???
baab ??????
abp?
ab??
§ 8.3 滑移线的几何性质
一、汉盖第一定理
同族的两条滑移线与加族任意一条滑移线相
交两点的倾角差和静水压力变化量均保持不变。
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该
动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变
化量等于该点所移动的路程
§ 8.4 应力边界条件和滑
移线场的绘制
应力边界条件
1）自由表面
2）光滑（无摩擦）接触表面
4）滑动摩擦接触表面
3）粘着摩擦接触表面
滑移线场绘制的
数值计算方法
1）特征线问题
这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移
线网的边值问题，即所谓黎曼（ Riemann）问题。
2）特征值问题
这是已知一条不为滑移线的边界 AB上任一点的应力分
量（,, ）的初始值，求作滑移线场的问题，即
所谓柯西（ Cauchy）问题。
3）混合问题
这是给定一条 α 线 OA，和与之相交的另一条不是滑移
线的某曲线 OB（可能是接触边界线或变形区中的对称
轴线）上倾角值
x? y? xy?
§ 8.1 平面应变问题和滑移线场
§ 8.2 汉盖（ Hencky）应力方程 —— 滑
移线的沿线力学方程
§ 8.3 滑移线的几何性质
§ 8.4 应力边界条件和滑移线场的绘制
§ 8.5 三角形均匀场与简单扇形场组合
问题及实例
§ 8.6 双心扇形场问题及实例
§ 8.1 平面应变问题和滑移线场
（ a）塑性流动平面（物理平面），（ b）正交曲线坐标系的应力特点，（ c）应力莫尔圆
图 8-1 平面应变问题应力状态的几何表示
平面应变问题
根据平面流动的塑性条件，
（对 Tresca塑性条件 ；
对 Mises塑性条件 ）
于是，由图 8-1c的几何关系可知，有
式中 —— 静水压力
—— 定义为最大切应力 方向
与坐标轴 Ox的夹角。
???? 2s i nkpx?
???? 2s i nkpy?
?? 2c o skxy?
k?max?
2/Tk ??
3/Tk ??
)2/)(( yxmp ??? ?????
? )(m ax k??
平面应变问题
对于平面塑性流动问题，由于某一方向上的位移分量为零
（设 duZ=0），故只有三个应变分量（,, ），也称
平面应变问题。根据塑性流动法则，可知
式中,为平均应力； p称为静水压力。
根据塑性变形增量理论，平面塑性流动问题独立的应力分量
也只有三个（,, ），于是平面应变问题的最大切应力
为：
xd? yd? xyd?
pmyxZ ?????? ????? 2/)(2
m?
x? y? xy?
2231m a x ]2/)[(2/)( xyyx ?????? ?????
对于理想刚塑材料，材料的屈服切应力 k为常数。
因此塑性变形区内各点莫尔圆半径（即最大切应
力 ）等于材料常数 k。如图 8-2所示，在 x-y坐标平
面上任取一点 P1，其 的，即 方向为,
沿 方向上取一点 P2，其 方向为,
依此取点 a2，其 线方向为,依次连续取下去，
直至塑性变形区的边界为止 ……,最后获得一条折线
P1-P2-P3-P4……,称为 线。按正、负两最大切
应力相互正交的性质，由 P点沿与 的垂直方向上，
即在 P点的 的，即 方向上取点，也可得
到一条折线 ……,称为 线。 ?
max?
?
0??
0??
?
1???
2??
?
??
)( max?? ?
4321 ''' PPPP ???
k?max?
绘制滑移线
由图 8-2可知，滑移线的微分方程为：
对 线
对 线
图 8-2 x-y坐标系与滑移经网络
?? tgdxdy
?
?????? ct gtgdxdy /)( ?
?
?
?
滑移线理论法 是一种图形绘制与数值计算相结合
的方法, 即根据平面应变问题滑移线场的性质绘
出滑移线场, 再根据精确平衡微分方程和精确塑
性条件建立汉盖 （ Hencky） 应力方程, 求得理想
刚塑性材料平面应变问题变形区内应力分布以及
变形力的一种方法 。
滑移线理论法
§ 8.2 汉盖（ Hencky）应力方程 ——
滑移线的沿线力学方程
推导：
有平面应变问题的微分平衡方程
将式（ 8-3）代入上式，得
0?????? yx yxx ?? 0?????? yx yxy ??
02co s22s i n2
02s i n22co s2
?
?
??
??
?
??
??
?
?
?
?
??
??
?
??
??
?
?
y
k
x
k
y
p
y
k
x
k
x
p
整理得表达成
对 线取, +”号
对 线取, -”号
式中，
上式表明，沿滑移线的静水压力差（ ）与滑移线
上相应的倾角差（ ）成正比。故式表明了滑移线的
沿线性质。
汉盖应力方程不仅体现了微分平衡方程，同时也满足
了塑性条件方程。
abab kp ????? 2
?
?
baab ppp ???
baab ??????
abp?
ab??
§ 8.3 滑移线的几何性质
一、汉盖第一定理
同族的两条滑移线与加族任意一条滑移线相
交两点的倾角差和静水压力变化量均保持不变。
二、汉盖第二定理
一动点沿某族任意一条滑移线移动时，过该
动点起、始位置的另一族两条滑移线的曲率变
化量等于该点所移动的路程
§ 8.4 应力边界条件和滑
移线场的绘制
应力边界条件
1）自由表面
2）光滑（无摩擦）接触表面
4）滑动摩擦接触表面
3）粘着摩擦接触表面
滑移线场绘制的
数值计算方法
1）特征线问题
这是给定两条相交的滑移线为初始线，求作整个滑移
线网的边值问题，即所谓黎曼（ Riemann）问题。
2）特征值问题
这是已知一条不为滑移线的边界 AB上任一点的应力分
量（,, ）的初始值，求作滑移线场的问题，即
所谓柯西（ Cauchy）问题。
3）混合问题
这是给定一条 α 线 OA，和与之相交的另一条不是滑移
线的某曲线 OB（可能是接触边界线或变形区中的对称
轴线）上倾角值
x? y? xy?
