第 9章 功平衡法和上限
法及其应用
§ 9.1 功平衡法
§ 9.2 极值原理及上限法
§ 9.3 速度间断面及其速度特性
§ 9.4 Johnson上限模式及应用
§ 9.5 Aviztur上限模式及应用
§ 9.1 功平衡法
? 功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原
理来计算变形力的一种近似方法，又称变形功
法。
? 功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位
移方向上所作的外部功（ WP）等于物体塑性变形
所消耗的应变功（ Wd）和接触摩擦功（ Wf）之
和，即 WP = Wd + Wf
对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形
式 dWP = dWd + dWf
? 极值原理包括 上限定理 和 下限定理, 它们都是根据虚
功原理和最大塑性功耗原理得出的, 但各自分析问题的出
发点不同 。
? 上限定理是按运动学许可速度场 （ 主要满足速度边界条
件和体积不变条件 ） 来确定变形载荷的近似解, 这一变形
载荷它总是大于 （ 理想情况下才等于 ） 真实载荷, 即高估
的近似值, 故称上限解；
? 下限定理仅按静力学许可应力场 （ 主要满足力的边界条
件和静力平衡条件 ） 来确定变形载荷的近似解, 它总是小
于 （ 理想情况下才等于 ） 真实载荷, 即高低的近似解, 故
称下限解 。
§ 9.2 极值原理及上限法
稳定平稳状态的变形体中, 当给予变形体一几
何约束所许可的微小位移 （ 因为该位移只是几
何约束所许可, 实际上并未发生, 故称虚位移 ）
时, 则外力在此虚位移上所作的功 （ 称虚功 ）,
必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚
应变功, 其表达式为：
实际应用常用功率形式表达
? ? ? ? ? ? ? ????? kitijijVi AdsdudVddSup sS ????1
? ? ? ? ? ? ? ?????? kitijijViisp NdsvdVdsvp S ??? ?
虚功原理
虚功原理
式中, 左边为外力所作虚功或虚功率, 右边
第一项为虚应变功耗或虚应变功率消耗, 第二
项为接触摩擦与刚性界面上剪切功耗或功率消
耗等 。 （ 为所在界面上的相对滑动速度 ） 。
第三项为裂纹形成等的功耗或功率消耗 。 虚功
原理对于弹性变形, 弹塑性变形或塑性变形力
学问题都是适用的 。
iv?
到目前为止, 上限法中虚拟的运动学许可
速度场模式大体有三种模式：
（ 1） Johnson模式, 通常称为简化滑移线场的刚
性三角形上限模式, 主要适用于平面应变问题 。
（ 2） Avitzur模式, 通常称为连续速度场的上限
模式, 它既可适用平面应变问题, 轴对称问题,
也可用于某些三维问题, 用途比较广泛 。
（ 3） 上限单元技术 （ UBET）, 目前比较实用的
是圆柱坐标系的圆环单元技术 。 它可用于解轴
对称问题, 以及某些非对称轴的三维问题 。
具体实例在硕士阶段将详细分析 。
虚拟的运动学许可速度场模式
§ 9.3 速度间断面及 其 速度特性
(1)
(2)
A
v2
v1
xx
A
B
C
D
φ
H
图 9-4 速度间断面上的速度间断
a）物理平面 b）速度图
§ 9.4 Johnson上限模式及应用
基本思路 是设想塑性变形区由若干个刚性三
角形构成, 塑性变形时完全依靠三角形场间的
相对滑动产生, 变形过程中每一个刚性块是一
个均匀速度场, 块内不发生塑性变形, 于是块
内的应变速度 。 因此, 式 （ 9-6） 的能量基本方
程中, 若不计附加外力及其他功率消耗的话,
其塑性变形功率消耗部分也为零, 则上限功率
表达式变为：
? ? ? ? ??? dsvdsvp itsviisp '' ?
Johnson上限模式求解的基本步骤
1.根据变形的具体情况，或参照该问题
的滑移线场，确定变形区的几何位置
与形状，再根据金属流动的大体趋势，
将变形区划分为若干个刚性三角形块；
2.根据变形区划分刚性三角形块情况，
以及速度边界条件，绘制速端图；
Johnson上限模式求解的基本步骤
3.根据所作几何图形，计算各刚性三角形
边长及速端图计算各刚性块之间的速度
间断量，然后计算其剪切功率消耗；
4.求问题的最佳上限解，一般划分的刚性
三角形块时，几何形状上包含若干个待
定几何参数，所以须对待定参数求其极
值，确定待定参数的具体数值以及最佳
的上限解。
§ 9.5 Aviztur上限模式及应用
基本思路,B,Avitzur上限模式为连续速度
场模式，其基本思路是把整个变形区内金属
质点的流动用一个连续速度场 vi = fi(x,y,
z)来描述。同时考虑塑性区与刚性区界面上
速度的间断性及摩擦功率的影响。因此 Avit
－ zur上限模式的基本能量方程与式（ 9-4）
是一致的，常简化为
N = Nd + Nt + Nf + Nq
式中，
为塑性变形功率消耗
为速度间断面上剪切功率消耗
为接触面上摩擦功率消耗
为附加外力消耗的（取
,+” 号）或向系统输入的附加功率（取
,-”号）
???? dvN ijijvd ?? ?
? ? ??? dsvN ttstt ?
? ? ??? dsvN ifsvf ?
? ?? dsvqN iispq
应用范围
一、直角坐标平面应变问题
—— 考虑侧鼓时板坯的平锤压缩
二、极坐标平面应变问题
—— 宽板的平辊轧制
三、圆柱坐标轴对称问题 —— 圆盘的镦粗
四、球坐标轴对称问题 —— 圆棒的拉拔或挤压
法及其应用
§ 9.1 功平衡法
§ 9.2 极值原理及上限法
§ 9.3 速度间断面及其速度特性
§ 9.4 Johnson上限模式及应用
§ 9.5 Aviztur上限模式及应用
§ 9.1 功平衡法
? 功平衡法是利用塑性变形过程中的功平衡原
理来计算变形力的一种近似方法，又称变形功
法。
? 功平衡原理是指：塑性变形过程外力沿其位
移方向上所作的外部功（ WP）等于物体塑性变形
所消耗的应变功（ Wd）和接触摩擦功（ Wf）之
和，即 WP = Wd + Wf
对于变形过程的某一瞬时，上式可写成功增量形
式 dWP = dWd + dWf
? 极值原理包括 上限定理 和 下限定理, 它们都是根据虚
功原理和最大塑性功耗原理得出的, 但各自分析问题的出
发点不同 。
? 上限定理是按运动学许可速度场 （ 主要满足速度边界条
件和体积不变条件 ） 来确定变形载荷的近似解, 这一变形
载荷它总是大于 （ 理想情况下才等于 ） 真实载荷, 即高估
的近似值, 故称上限解；
? 下限定理仅按静力学许可应力场 （ 主要满足力的边界条
件和静力平衡条件 ） 来确定变形载荷的近似解, 它总是小
于 （ 理想情况下才等于 ） 真实载荷, 即高低的近似解, 故
称下限解 。
§ 9.2 极值原理及上限法
稳定平稳状态的变形体中, 当给予变形体一几
何约束所许可的微小位移 （ 因为该位移只是几
何约束所许可, 实际上并未发生, 故称虚位移 ）
时, 则外力在此虚位移上所作的功 （ 称虚功 ）,
必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚
应变功, 其表达式为：
实际应用常用功率形式表达
? ? ? ? ? ? ? ????? kitijijVi AdsdudVddSup sS ????1
? ? ? ? ? ? ? ?????? kitijijViisp NdsvdVdsvp S ??? ?
虚功原理
虚功原理
式中, 左边为外力所作虚功或虚功率, 右边
第一项为虚应变功耗或虚应变功率消耗, 第二
项为接触摩擦与刚性界面上剪切功耗或功率消
耗等 。 （ 为所在界面上的相对滑动速度 ） 。
第三项为裂纹形成等的功耗或功率消耗 。 虚功
原理对于弹性变形, 弹塑性变形或塑性变形力
学问题都是适用的 。
iv?
到目前为止, 上限法中虚拟的运动学许可
速度场模式大体有三种模式：
（ 1） Johnson模式, 通常称为简化滑移线场的刚
性三角形上限模式, 主要适用于平面应变问题 。
（ 2） Avitzur模式, 通常称为连续速度场的上限
模式, 它既可适用平面应变问题, 轴对称问题,
也可用于某些三维问题, 用途比较广泛 。
（ 3） 上限单元技术 （ UBET）, 目前比较实用的
是圆柱坐标系的圆环单元技术 。 它可用于解轴
对称问题, 以及某些非对称轴的三维问题 。
具体实例在硕士阶段将详细分析 。
虚拟的运动学许可速度场模式
§ 9.3 速度间断面及 其 速度特性
(1)
(2)
A
v2
v1
xx
A
B
C
D
φ
H
图 9-4 速度间断面上的速度间断
a）物理平面 b）速度图
§ 9.4 Johnson上限模式及应用
基本思路 是设想塑性变形区由若干个刚性三
角形构成, 塑性变形时完全依靠三角形场间的
相对滑动产生, 变形过程中每一个刚性块是一
个均匀速度场, 块内不发生塑性变形, 于是块
内的应变速度 。 因此, 式 （ 9-6） 的能量基本方
程中, 若不计附加外力及其他功率消耗的话,
其塑性变形功率消耗部分也为零, 则上限功率
表达式变为：
? ? ? ? ??? dsvdsvp itsviisp '' ?
Johnson上限模式求解的基本步骤
1.根据变形的具体情况，或参照该问题
的滑移线场，确定变形区的几何位置
与形状，再根据金属流动的大体趋势，
将变形区划分为若干个刚性三角形块；
2.根据变形区划分刚性三角形块情况，
以及速度边界条件，绘制速端图；
Johnson上限模式求解的基本步骤
3.根据所作几何图形，计算各刚性三角形
边长及速端图计算各刚性块之间的速度
间断量，然后计算其剪切功率消耗；
4.求问题的最佳上限解，一般划分的刚性
三角形块时，几何形状上包含若干个待
定几何参数，所以须对待定参数求其极
值，确定待定参数的具体数值以及最佳
的上限解。
§ 9.5 Aviztur上限模式及应用
基本思路,B,Avitzur上限模式为连续速度
场模式，其基本思路是把整个变形区内金属
质点的流动用一个连续速度场 vi = fi(x,y,
z)来描述。同时考虑塑性区与刚性区界面上
速度的间断性及摩擦功率的影响。因此 Avit
－ zur上限模式的基本能量方程与式（ 9-4）
是一致的，常简化为
N = Nd + Nt + Nf + Nq
式中，
为塑性变形功率消耗
为速度间断面上剪切功率消耗
为接触面上摩擦功率消耗
为附加外力消耗的（取
,+” 号）或向系统输入的附加功率（取
,-”号）
???? dvN ijijvd ?? ?
? ? ??? dsvN ttstt ?
? ? ??? dsvN ifsvf ?
? ?? dsvqN iispq
应用范围
一、直角坐标平面应变问题
—— 考虑侧鼓时板坯的平锤压缩
二、极坐标平面应变问题
—— 宽板的平辊轧制
三、圆柱坐标轴对称问题 —— 圆盘的镦粗
四、球坐标轴对称问题 —— 圆棒的拉拔或挤压
