第 7章 金属塑性加工变形力的工
程法解析
§ 7.1 工程法及其要点
§ 7.2 直角坐标平面应变问题解析
§ 7.3 圆柱坐标轴对称问题
§ 7.4 极坐标平面应变问题解析
§ 7.5 球坐标轴对称问题的解析
?解析对象
主要是求解 变形力,此外可以求解变形量和变形速度等
?解析方法
工程法（ slab法，主应力法）
滑移线法（ slip line）
上限法（ upper bound）（下限法）、上限单元法
有限单元法（ FEM,Finite Element Method）
金属塑性加工时，加工设备可动工具使金属产生塑性
变形所需加的外力称为变形力。变形力是确定设备能
力、正确设计工模具、合理拟订加工工艺规程和确定
毛坯形状尺寸的必要的基本力学参数。
§ 7.1 工程法及其要点
? 求解原理
—— 工作应力，一般它在工作面上是不均匀的，
常用单位压力 表示
S—— 工作面积,按, 工作面投影代替力的投影,
法则 求解
? ? ???? SpdsP nS ?
n?
p
求解要点
?工程法 是一种近似解析法，通过对物体应力状态
作一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡
微分方程和塑性条件。
? 这些简化和假设如下：
1,把实际变形过程视具体情况的不同看作是 平
面应变问题和轴对称问题 。 如平板压缩, 宽板轧
制, 圆柱体镦粗, 棒材挤压和拉拔等 。
2,假设变形体内的应力分布是均匀的, 仅是一
个坐标的函数 。 这样就可获得 近似的应力平衡微
分方程, 或直接在变形区内截取单元体切面上的
正应力假定为主应力且均匀分布, 由此建立该单
元体的应力平衡微分方程为常微分方程 。
3,采用 近似的塑性条件 。 工程法把接触面上的正应力
假定为主应力, 于是对于平面应变问题, 塑性条件
可简化为 或
对于轴对称问题, 塑性条件
可简化为
222 44)( kxyyx ??? ???
??
???
??
??
0
2
yx
yx k
??
?? yx dd ?? ?
222 3)( Tzrzr ???? ???
0?? zr dd ??
4,简化接触面上的摩擦 。 采用以下二种近似关系
库仑摩擦定律,（ 滑动摩擦 ）
常摩擦定律,（ 粘着摩擦 ）
式中：
—— 摩擦应力 k—— 屈服切应力 （ ）
—— 正应力 f —— 摩擦系数
5．其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为
均质和各向同性等。
nk f?? ?
kk ??
k?
n?
3/sk ??
? 例题一
1,滑动摩擦条件下的薄板平锤压缩变形（ 直角坐标平
面应变问题 ）
高为 b，宽为 W，长为 l
的薄板，置于平锤下压
缩。如果 l 比 b大得多，
则板坯长度方向几乎没
有延伸，仅在 x方向和 y
方向有塑性流动，即为
平面应变问题,适用于
直角坐标分析。 矩形工件的平锤压缩
§ 7.2 直角坐标平面应变问题解析
单元体 x方向的力平衡方程为：
整理后得：
由近似塑性条件
或, 得：
将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
代入上式得：
上式积分得：
02)( ?????? dxhdh kxxx ????
02 ?? hdxd kx ??
fyx k?? ?? 0?? dydx hdx
d ky ?? 2??
yk f?? ?
h
f
dx
d yy ?? 2??
??????? xhfCy 2e x p1?
在接触边缘处, 即 时,,
由近似塑性条件得
于是
因此接触面上正应力分布规律
最后求得板坯单位长度 （ Z向单位长度 ） 上的变形
力 P可求得为：
2/Wx ? 0?x?
fy k???
???????? hfWKC f e x p
?????? ??? h xWfK fy )5.0(2e x p?
?????? ??????? ????? ? 1e x p)(2
2/
0 h
Wf
f
hKdxP
f
W
y?
下面讨论混合摩擦条件下，平锤均匀镦粗圆柱体
时变形力计算。圆柱体镦粗时，如果锻件的性能和
接触表面状态没有方向性，则内部的应力应变状态
对称于圆柱体轴线（ z轴），即
在同一水平截面上, 各点的应力应变状态与 ?坐
标无关, 仅与 r坐标有关 。 因此是一个典型的 圆柱体
坐标轴对称问题 。
§ 7.3 圆柱坐标轴对称问题
圆柱坐标
轴对称问题
工件的受力情况如
右图所示 。 分析它的
一个分离单元体的静
力平衡条件, 得：
02s i n22)()( ?????????? ????????? ? ddrhdrrdddrrhdrdh krrr
由于很小 d?，,
忽略高阶微分, 整理得：
对于均匀变形,, 上式即为：
将近似的塑性条件
代入上式得：
22s in
?? dd ??
02 ???? rhdrd rkr ?????
??? ?r 2 0krd
dr h
?? ??
zr dd ?? ?
02 ?? hdrd kz ??
接触面上正应力 的分布规律
1,滑动区
上式积分得：
当 r=R时,, 将近似塑性条件
代入上式, 得积分常数 C1
因此：
z?
zk f?? ? 02 ???
h
f
dr
d zz ??
?????? ?? hfrCz 2e x p1?
0?r? Tz ?? ??
?????? ??? h RfC T 2e x p1 ?
?????? ??? )(
2e x p rR
h
f
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2,粘着区
将 代入平衡方程得：
上式积分得：
设滑动区与粘着区分界点为 rb。
由, 得此处
利用这一边界条件, 得积分常数
因此得：
3/Tk ?? ?? 032 ?? hdrd Tz ??
23
2 Cr
hTz ????
??
3/??? ??? Zbk f fTzb 3/?? ??
)21(3/2 hfC bT ?? ???
)](1[3 rrhff bTz ????? ??
3,停滞区
一般粘着区与停滞区的分界面可近似取,
于是得：
积分得：
当 时,, 代入上式得：
于是
式中
hrc?
hrhr Tck /3// ????? ??? 0/
3
2 2 ?? hr
dr
d Tz ??
322 /3/ ChrTz ??? ??
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3 TzcC ?? ??
)(3 222 rhhTZCz ??? ???
?????? ???? )(213 0 hrhffTZC
??
4．滑动区与粘着区的分界位置
滑动区与粘着区的分界位置可由滑动区在
此点的 与粘着区在此点的 相等这一条
件确定, 因此在 rb点上有：
因此得：
z?z?
?????? ????????? ?? )(213)(2e x p bbTbT rrh ffrRh f ??
f
fhDr
b 2
3ln
2 ??
5,平均单位压力
圆柱体平锤压缩时的平均单位压力
式中 视接触面上的分区状况而异 。
p
drrRr d rRp R ZR z ?? ????? 0202 221 ????
z?
§ 7.4 极坐标平面应变问题解析
不变薄拉深 （ 极坐标平面应
变问题 ） 。 不变薄拉深时,
由于板厚不变化, 变形区主
要是在凸缘部分, 发生周向
的压缩及径向延伸的变形,
因而凸缘部分的变形是一种
适用于极坐标描述的平面应
变问题 。 由于变形的对称性,
,均为主应力 。
r? ??
因此平衡微分方程为：
将塑性条件 代入上式得
然后利用边界条件进行拉深力的求解 。
0??? rdrd rr ????
fr K?? ???
CrK fr ???? ln?
单孔模正挤压圆棒
（ 球坐标轴对称问题 ）
分四个区进行求解 。
图 7-7 圆棒正挤压受力情况
§ 7.5 球 坐标轴对称问题的解析
程法解析
§ 7.1 工程法及其要点
§ 7.2 直角坐标平面应变问题解析
§ 7.3 圆柱坐标轴对称问题
§ 7.4 极坐标平面应变问题解析
§ 7.5 球坐标轴对称问题的解析
?解析对象
主要是求解 变形力,此外可以求解变形量和变形速度等
?解析方法
工程法（ slab法，主应力法）
滑移线法（ slip line）
上限法（ upper bound）（下限法）、上限单元法
有限单元法（ FEM,Finite Element Method）
金属塑性加工时，加工设备可动工具使金属产生塑性
变形所需加的外力称为变形力。变形力是确定设备能
力、正确设计工模具、合理拟订加工工艺规程和确定
毛坯形状尺寸的必要的基本力学参数。
§ 7.1 工程法及其要点
? 求解原理
—— 工作应力，一般它在工作面上是不均匀的，
常用单位压力 表示
S—— 工作面积,按, 工作面投影代替力的投影,
法则 求解
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求解要点
?工程法 是一种近似解析法，通过对物体应力状态
作一些简化假设，建立以主应力表示的简化平衡
微分方程和塑性条件。
? 这些简化和假设如下：
1,把实际变形过程视具体情况的不同看作是 平
面应变问题和轴对称问题 。 如平板压缩, 宽板轧
制, 圆柱体镦粗, 棒材挤压和拉拔等 。
2,假设变形体内的应力分布是均匀的, 仅是一
个坐标的函数 。 这样就可获得 近似的应力平衡微
分方程, 或直接在变形区内截取单元体切面上的
正应力假定为主应力且均匀分布, 由此建立该单
元体的应力平衡微分方程为常微分方程 。
3,采用 近似的塑性条件 。 工程法把接触面上的正应力
假定为主应力, 于是对于平面应变问题, 塑性条件
可简化为 或
对于轴对称问题, 塑性条件
可简化为
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4,简化接触面上的摩擦 。 采用以下二种近似关系
库仑摩擦定律,（ 滑动摩擦 ）
常摩擦定律,（ 粘着摩擦 ）
式中：
—— 摩擦应力 k—— 屈服切应力 （ ）
—— 正应力 f —— 摩擦系数
5．其它。如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为
均质和各向同性等。
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n?
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? 例题一
1,滑动摩擦条件下的薄板平锤压缩变形（ 直角坐标平
面应变问题 ）
高为 b，宽为 W，长为 l
的薄板，置于平锤下压
缩。如果 l 比 b大得多，
则板坯长度方向几乎没
有延伸，仅在 x方向和 y
方向有塑性流动，即为
平面应变问题,适用于
直角坐标分析。 矩形工件的平锤压缩
§ 7.2 直角坐标平面应变问题解析
单元体 x方向的力平衡方程为：
整理后得：
由近似塑性条件
或, 得：
将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
代入上式得：
上式积分得：
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由近似塑性条件得
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在同一水平截面上, 各点的应力应变状态与 ?坐
标无关, 仅与 r坐标有关 。 因此是一个典型的 圆柱体
坐标轴对称问题 。
§ 7.3 圆柱坐标轴对称问题
圆柱坐标
轴对称问题
工件的受力情况如
右图所示 。 分析它的
一个分离单元体的静
力平衡条件, 得：
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忽略高阶微分, 整理得：
对于均匀变形,, 上式即为：
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接触面上正应力 的分布规律
1,滑动区
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因此：
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2,粘着区
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由, 得此处
利用这一边界条件, 得积分常数
因此得：
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3,停滞区
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4．滑动区与粘着区的分界位置
滑动区与粘着区的分界位置可由滑动区在
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§ 7.4 极坐标平面应变问题解析
不变薄拉深 （ 极坐标平面应
变问题 ） 。 不变薄拉深时,
由于板厚不变化, 变形区主
要是在凸缘部分, 发生周向
的压缩及径向延伸的变形,
因而凸缘部分的变形是一种
适用于极坐标描述的平面应
变问题 。 由于变形的对称性,
,均为主应力 。
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因此平衡微分方程为：
将塑性条件 代入上式得
然后利用边界条件进行拉深力的求解 。
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单孔模正挤压圆棒
（ 球坐标轴对称问题 ）
分四个区进行求解 。
图 7-7 圆棒正挤压受力情况
§ 7.5 球 坐标轴对称问题的解析
