金属塑性成形原理
Principle of Metal Forming
2000.9
绪 论
?研究内容
?几个基本概念
?弹性、塑性变形的力学特征
研究内容
塑性力学是研究物体变形规律的一门学科，是
固体力学的一个分支。研究变形体受外界作用
（外载荷、边界强制位移、温度场等）时在变形
体内的反应（应力场、应变场、应变速度场等）。
与其它工程力学（理论力学、材料力学、结构
力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。
弹塑性力学的研究对象是整体（而不是分离体）
变形体内部的应力、应变分布规律（而不是危险
端面）。
? 弹性 (elasticity)：卸载后变形可以恢复特性，
可逆性
? 塑性 (plasticity)：物体产生永久变形的能力，
不可逆性
? 屈服 (yielding)：开始产生塑性变形的临界状态
? 断裂 (fracture)：宏观裂纹产生、扩展到变形体
破断的过程
几个基本概念
? 可逆性：弹性变形 —— 可逆；塑性变形 —— 不可逆
? ?-?关系：弹性变形 —— 线性；塑性变形 —— 非线性
? 与加载路径的关系：弹性 —— 无关；塑性 —— 有关
? 对组织和性能的影响：弹性变形 —— 无影响；塑性变形 ——
影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形成织构等）
? 变形机理：弹性变形 —— 原子间距的变化；
塑性变形 —— 位错运动为主
? 弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；塑性变
形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程中，工件的塑
性变形与工模具的弹性变形共存 。
弹性、塑性变形的力学特征
第 1章 应力分析与应变分析
§ 1.1 应力与点的应力状态
§ 1.2 点的应力状态分析
§ 1.3 应力张量的分解与几何表示
§ 1.4 应力平衡微分方程
§ 1.5 应变与位移关系方程
§ 1.6 点的应变状态
§ 1.7 应变增量
§ 1.8 应变速度张量
§ 1.9 主应变图与变形程度表示
§ 1.1 应力与点的应力状态
外力 (load)与内力 (internal force)
外力 P：施加在变形体
上的外部载荷 。
内力 Q：变形体抗衡外
力机械作用的体现。
应力 （ stress）
? 应力 S 是内力的集度
? 内力和应力均为矢量
? 应力的单位,1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2
1MPa=106 N/m2
? 应力是某点 A的坐标的函数，即受力体内不同点
的应力不同。
? 应力是某点 A在坐标系中的方向余弦的函数，即
同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
0limA
PS
A??
??
?
? 应力可以进行分解 Sn ?? n, ?n （ n— normal,法向 ）
某截面 （ 外法线方向为 n） 上的应力：
或者
（ 求和约定的缩写形式 ）
全应力 (stress)
正应力 (normalsress)
剪应力 (shear stress)
n n n
n x y z
n x y z
S ??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ?
22
n ij i j
n ij i
n n n
ll
Sl
S
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?
??
? ?
??
??
?
????
? 一点的应力状态,是指通过变形体内某点的单元体所有
截面上的应力的有无, 大小, 方向等情况 。
? 一点的应力状态的描述：
数值表达,?x=50MPa,?xz=35MPa
图示表达：在单元体的三个正交面上标出 （ 如图 1-2）
张量表达,(i,j=x,y,z)
（对称张量,9个分量,6个独立分量。）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
yzy
xzxyx
ij
?
??
???
?
..
.
一点的应力状态及应力张量
? 应力分量图示
图 1-2 平行于坐标面上应力示意图
? 应力的分量表示及正负符号的规定
?ij ? ?xx, ?xz …… （便于计算机应用）
i—— 应力作用面的外法线方向 (与应力作用面的外
法线方向平行的坐标轴 )
j—— 应力分量本身作用的方向
当 i=j 时为正应力 ?
i,j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）
当 i≠j 时为剪应力 ?
i,j同号为正，异号为负
?应力的坐标变换 （ 例题讲解 ） *
实际应用：晶体取向, 织构分析等
?应力莫尔圆 **：
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆
掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书 ）
§ 1.2 点的应力状态分析
§ 1.2.1 主应力及应力张量不变量
§ 1.2.2 主剪应力和最大剪应力
§ 1.2.3 八面体应力与等效应力
§ 1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力
均为零）的存在，可得应力特征方程：
032213 ???? III ??? )0( 32213 ???? III ???
0))()(( 321 ???? ??????
? 应力不变量
321 ????
z
yzy
xzxyx
I
?
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???
..
.3 ?
133221
222
??????
?????????
???
?????? zxyzxyxzzyyx
xxz
zxz
zzy
yzy
yyx
xyxI
??
??
??
??
??
?? ???
2
3211 ?????? ?????? zyxI
式中
? 讨论,
1,可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的；
2,三个主平面是相互正交的；
3,三个主应力均为实根, 不可能为虚根；
4,应力特征方程的解是唯一的；
5,对于给定的应力状态, 应力不变量也具有唯一性；
6,应力第一不变量 I1反映变形体体积变形的剧烈程
度, 与塑性变形无关； I3也与塑性变形无关； I2与塑性
变形无关 。
7,应力不变量不随坐标而改变, 是点的确定性的判据 。
? 主应力的求解（略，见彭大暑, 金属塑性加工力学, 教材）
? 主应力的图示
§ 1.2.2 主剪应力和最大剪应力
? 主剪应力 (principal shear stress)：极值剪应力 （ 不为零 ）
平面上作用的剪应力 。 主应力空间的 ｛ 110｝ 面族 。
? 最大剪应力 (maximun shear stress)：
321 ??? ??
通常规定：
2
31m a x ??? ??
则有最大剪应力,
0
2
,
2
,
2
},,m a x {
312312
13
31
32
23
21
12
312312m a x
???
?
??
?
??
?
??
?
???
??
?
??
?
??
?
????或者：
其中：
且有,
§ 1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛ 111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
正应力
剪应力
总应力
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有
关。
'4454
3
1
o
zyx lll
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????
???
2
13
2
32
2
218
13218
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3
1
3
1
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3
1
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????
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???? I
28288 ?? ??P
? 八面体应力的求解思路：
88321,,,),,,( ?????? ??? zyxjiij
???? 21,II
2
8 1 2
2 ( 3 )
3 II? ??
因为
等效应力
讨论,1,等效的实质？
是 （ 弹性 ） 应变能 等效 （ 相当于 ） 。
2,什么与什么等效？
复杂应力状态 （ 二维和三维 ） 与简单应力状态 （ 一维 ） 等效
3,如何等效？
等效公式 （ 注意：等效应力是标量, 没有作用面 ） 。
4,等效的意义？
屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
])()()[(21 213232221 ??????? ??????e 82/3 ??
2 2 2 2 2 21 [ ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ]
2e x y y z z x x y y z z x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
§ 1.3 应力张量的分解与几何表示
(i,j=x,y,z)
其中 即平均应力, 为柯氏符号 。
即
mijijij ???? ??
'
)(31 zyxm ???? ???
?
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100
010
001
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.
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'
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z
yzy
xzxyx
z
yzy
xzxyx
?
?
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???
?
??
???
,' mxx ??? ?? myy ??? ??' mzz ??? ??'
? 讨论,
? 分解的依据：静水压力实验证实, 静水压力不会引起变形体形
状的改变, 只会引起体积改变, 即对塑性条件无影响 。
? 为引起形状改变的偏应力张量 (deviatoric stress tensor)，
为引起体积改变的球张量 (spherical stress tensor)（ 静水
压力 ） 。
? 与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：
0'3'2'1''''1 ??????? ?????? zyxI
'1'3'3'2'2'1'2 ?????? ???I
c o n s tI ?? '3'2'1'3 ???
（ 体现变形体形状改变的程度 ）
§ 1.4 应力平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程 *
即
（ 不计体力 ）
物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态
0???
i
ij
?
? ),,,( zyxji ?
0
0
0
xyx x z
y x y y z
zyzx z
x y z
x y z
x y z
???
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?
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?
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? ? ???
的关系 。 对弹性变形和塑性变形均适用 。
? 推导原理：
静力平衡条件：
静力矩平衡条件：
泰勒级数展开,
? ? ? ??? 0,0,0 ZYX
? ? ? ??? 0,0,0 zyx MMM
......)(!21)(!11)()( 22 ????????? x xfx xfxfdxxf
x
xfxf
?
??? )()(
x xxdxx ?
???
?
???
? 圆柱坐标下的应力平衡微分方程
? 球坐标下的应力平衡微分方程？
0
1
0
21
0)(
11
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zrr
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zrrr
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§ 1.5 应变与位移关系方程
§ 1.5.1 几何方程
§ 1.5.2 变形连续方程
§ 1.5.1 几何方程
z
u
y
u
x
u z
zzz
y
yyy
x
xxx ?
???
?
???
?
??? ??????,,
)(2121 xuyu yxxyyxxy ???????? ???
)(2121 zuyu yzyzzyyz ???????? ???
)(2121 zuxu xzxzxzzx ???????? ???
? 讨论,
1.物理意义：表示位移 (displacement)
与应变 (strain) 之间的关系；
2.位移包含变形体内质点的相对位移
（产生应变）和变形体的刚性位移
（平动和转动）；
3.工程剪应变
理论剪应变：
)(2121 xuyu yxxyyxxy ???????? ???
x
u
y
utgtg yx
xy ?
??
?
?????? ?????
4.应变符号规定：
正应变或线应变 ( )：
伸长为正，缩短为负；
剪应变或切应变（ ）：
夹角减小为正，增大为负；
5.推导中应用到小变形假设、连续性假设
及泰勒级数展开等。
,,xxx???
,,xy yz zx???
§ 1.5.2 变形连续方程
?
?
?
?
?
?
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?
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2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
2
22
2
1
2
1
2
1
zxxz
yzzy
xyyx
xzzx
zyyz
yxxy
???
???
???
?
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?
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?
?
yxzyxz
zxyxzy
zyxzyx
zxyzxyz
yzxyzxy
xyzxyzx
????
????
????
2
2
2
讨论：
1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系, 连续
协调, 即变形体在变形过程中不开裂, 不堆积；
2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中
有两个确定, 则第三个也就能确定；在三维空间内
三个切应变分量如果确 定, 则正应变分量也就可以
确定；
3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量
自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分
量，则必须校验其是否满足连续性条件。
§ 1.6 点的应变状态
指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间
夹角的变化情况 。
可表示为张量形式：
应变张量（ strain tensor）也可进行与应力张
量类似的分析。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zyzxz
yxy
x
ij
???
??
?
?,
..
( i,j = x,y,z )
§ 1.7 应变增量
全量应变与增量应变的概念
前面所讨论的应变是反映单元体在某一变
形过程终了时的变形大小，称作全量应变
增量应变张量
???
?
???
?
?
??
?
?? )d()dU(
2
1d
i
j
j
i
ij Uxx?
§ 1.8 应变速度张量
设某一瞬间起 dt时间内，产生位移增量
dUi，则应有 dUi=Vidt。其中 Vi为相应位移
速度。代入 增量应变张量,有：
令 即为 应变速率张量
txVxVtVxtVx
i
i
j
i
i
j
j
i
ij d2
1)d()d(
2
1d
???
?
???
?
?
??
?
??
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?
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???
???
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??
i
j
j
i
ij x
V
x
V
2
1??
§ 1.9 主应变图与变形程度表示
主变形图 是定性判断塑性变形类型的图示方法。
主变形图只可能有三种形式
? 主应力, 主应变 图示：
主应力 — 9种； 主应变 — 3种
[但只有 23种可能的应力应变组合 （ 塑性变形力
学图 ）, 为什么？ ]
变形程度表示
?绝对变形量
—— 指工件变形前后主轴方向上尺寸
的变化量
?相对变形
—— 指绝对变形量与原始尺寸的比值，
常称为形变率
?真实变形量
—— 即变形前后尺寸比值的自然对数
应力应变分析的相似性与差异性
? 相似性,张量表示、张量分析、张量关系相似
mijij IIIzyxji ?????????,,,,,,,),,,( '88m ax321321 ?????
mijij JJJzyxji ?????????,,,,,,,),,,( '88m ax321321 ?????
? 差异性,
? 概念：应力 ? 研究面元 ds 上力的集度
应变 ? 研究线元 dl 的变化情况
? 内部关系：应力 — 应力平衡微分方程
应变 — 应变连续 （ 协调 ） 方程
弹性变形：相容方程
塑性变形：体积不变条件
? 等效关系,
?等效应力 — 弹性变形和塑性变形表达式相同
?等效应变 — 弹性变形和塑性变形表达式不相同
对于弹性变形：
（ —— 泊松比 ）
对于塑性变形：
2
13
2
32
2
21 )()()(()1(2
2 ??????
?? ???????e
?
2
13
2
32
2
21 )()()((3
2 ??????? ??????
e
? 真实应力和真实应变含义：
)()( tAtptr ?? 表示某瞬时的应力值
)ln ( 0llttr ?? 表示对某瞬时之前的应变的积分
Principle of Metal Forming
2000.9
绪 论
?研究内容
?几个基本概念
?弹性、塑性变形的力学特征
研究内容
塑性力学是研究物体变形规律的一门学科，是
固体力学的一个分支。研究变形体受外界作用
（外载荷、边界强制位移、温度场等）时在变形
体内的反应（应力场、应变场、应变速度场等）。
与其它工程力学（理论力学、材料力学、结构
力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。
弹塑性力学的研究对象是整体（而不是分离体）
变形体内部的应力、应变分布规律（而不是危险
端面）。
? 弹性 (elasticity)：卸载后变形可以恢复特性，
可逆性
? 塑性 (plasticity)：物体产生永久变形的能力，
不可逆性
? 屈服 (yielding)：开始产生塑性变形的临界状态
? 断裂 (fracture)：宏观裂纹产生、扩展到变形体
破断的过程
几个基本概念
? 可逆性：弹性变形 —— 可逆；塑性变形 —— 不可逆
? ?-?关系：弹性变形 —— 线性；塑性变形 —— 非线性
? 与加载路径的关系：弹性 —— 无关；塑性 —— 有关
? 对组织和性能的影响：弹性变形 —— 无影响；塑性变形 ——
影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形成织构等）
? 变形机理：弹性变形 —— 原子间距的变化；
塑性变形 —— 位错运动为主
? 弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；塑性变
形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程中，工件的塑
性变形与工模具的弹性变形共存 。
弹性、塑性变形的力学特征
第 1章 应力分析与应变分析
§ 1.1 应力与点的应力状态
§ 1.2 点的应力状态分析
§ 1.3 应力张量的分解与几何表示
§ 1.4 应力平衡微分方程
§ 1.5 应变与位移关系方程
§ 1.6 点的应变状态
§ 1.7 应变增量
§ 1.8 应变速度张量
§ 1.9 主应变图与变形程度表示
§ 1.1 应力与点的应力状态
外力 (load)与内力 (internal force)
外力 P：施加在变形体
上的外部载荷 。
内力 Q：变形体抗衡外
力机械作用的体现。
应力 （ stress）
? 应力 S 是内力的集度
? 内力和应力均为矢量
? 应力的单位,1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2
1MPa=106 N/m2
? 应力是某点 A的坐标的函数，即受力体内不同点
的应力不同。
? 应力是某点 A在坐标系中的方向余弦的函数，即
同一点不同方位的截面上的应力是不同的。
0limA
PS
A??
??
?
? 应力可以进行分解 Sn ?? n, ?n （ n— normal,法向 ）
某截面 （ 外法线方向为 n） 上的应力：
或者
（ 求和约定的缩写形式 ）
全应力 (stress)
正应力 (normalsress)
剪应力 (shear stress)
n n n
n x y z
n x y z
S ??
? ? ? ?
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22
n ij i j
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n n n
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????
? 一点的应力状态,是指通过变形体内某点的单元体所有
截面上的应力的有无, 大小, 方向等情况 。
? 一点的应力状态的描述：
数值表达,?x=50MPa,?xz=35MPa
图示表达：在单元体的三个正交面上标出 （ 如图 1-2）
张量表达,(i,j=x,y,z)
（对称张量,9个分量,6个独立分量。）
?
?
?
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?
?
?
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..
.
一点的应力状态及应力张量
? 应力分量图示
图 1-2 平行于坐标面上应力示意图
? 应力的分量表示及正负符号的规定
?ij ? ?xx, ?xz …… （便于计算机应用）
i—— 应力作用面的外法线方向 (与应力作用面的外
法线方向平行的坐标轴 )
j—— 应力分量本身作用的方向
当 i=j 时为正应力 ?
i,j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）
当 i≠j 时为剪应力 ?
i,j同号为正，异号为负
?应力的坐标变换 （ 例题讲解 ） *
实际应用：晶体取向, 织构分析等
?应力莫尔圆 **：
二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆
掌握如何画、如何分析（工程力学已学，看书 ）
§ 1.2 点的应力状态分析
§ 1.2.1 主应力及应力张量不变量
§ 1.2.2 主剪应力和最大剪应力
§ 1.2.3 八面体应力与等效应力
§ 1.2.1 主应力及应力张量不变量
设想并证明主应力平面（其上只有正应力，剪应力
均为零）的存在，可得应力特征方程：
032213 ???? III ??? )0( 32213 ???? III ???
0))()(( 321 ???? ??????
? 应力不变量
321 ????
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133221
222
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3211 ?????? ?????? zyxI
式中
? 讨论,
1,可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的；
2,三个主平面是相互正交的；
3,三个主应力均为实根, 不可能为虚根；
4,应力特征方程的解是唯一的；
5,对于给定的应力状态, 应力不变量也具有唯一性；
6,应力第一不变量 I1反映变形体体积变形的剧烈程
度, 与塑性变形无关； I3也与塑性变形无关； I2与塑性
变形无关 。
7,应力不变量不随坐标而改变, 是点的确定性的判据 。
? 主应力的求解（略，见彭大暑, 金属塑性加工力学, 教材）
? 主应力的图示
§ 1.2.2 主剪应力和最大剪应力
? 主剪应力 (principal shear stress)：极值剪应力 （ 不为零 ）
平面上作用的剪应力 。 主应力空间的 ｛ 110｝ 面族 。
? 最大剪应力 (maximun shear stress)：
321 ??? ??
通常规定：
2
31m a x ??? ??
则有最大剪应力,
0
2
,
2
,
2
},,m a x {
312312
13
31
32
23
21
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????或者：
其中：
且有,
§ 1.2.3 八面体应力与等效应力
即主应力空间的｛ 111｝等倾面上的应力。
这组截面的方向余弦为：
正应力
剪应力
总应力
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有
关。
'4454
3
1
o
zyx lll
???
????
???
2
13
2
32
2
218
13218
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3
1
3
1
)(
3
1
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????
??????
???? I
28288 ?? ??P
? 八面体应力的求解思路：
88321,,,),,,( ?????? ??? zyxjiij
???? 21,II
2
8 1 2
2 ( 3 )
3 II? ??
因为
等效应力
讨论,1,等效的实质？
是 （ 弹性 ） 应变能 等效 （ 相当于 ） 。
2,什么与什么等效？
复杂应力状态 （ 二维和三维 ） 与简单应力状态 （ 一维 ） 等效
3,如何等效？
等效公式 （ 注意：等效应力是标量, 没有作用面 ） 。
4,等效的意义？
屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
])()()[(21 213232221 ??????? ??????e 82/3 ??
2 2 2 2 2 21 [ ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ]
2e x y y z z x x y y z z x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
§ 1.3 应力张量的分解与几何表示
(i,j=x,y,z)
其中 即平均应力, 为柯氏符号 。
即
mijijij ???? ??
'
)(31 zyxm ???? ???
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010
001
..
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..
.
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'
'
m
z
yzy
xzxyx
z
yzy
xzxyx
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???
,' mxx ??? ?? myy ??? ??' mzz ??? ??'
? 讨论,
? 分解的依据：静水压力实验证实, 静水压力不会引起变形体形
状的改变, 只会引起体积改变, 即对塑性条件无影响 。
? 为引起形状改变的偏应力张量 (deviatoric stress tensor)，
为引起体积改变的球张量 (spherical stress tensor)（ 静水
压力 ） 。
? 与应力张量类似，偏应力张量也存在相应的不变量：
0'3'2'1''''1 ??????? ?????? zyxI
'1'3'3'2'2'1'2 ?????? ???I
c o n s tI ?? '3'2'1'3 ???
（ 体现变形体形状改变的程度 ）
§ 1.4 应力平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程 *
即
（ 不计体力 ）
物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态
0???
i
ij
?
? ),,,( zyxji ?
0
0
0
xyx x z
y x y y z
zyzx z
x y z
x y z
x y z
???
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? ? ???
的关系 。 对弹性变形和塑性变形均适用 。
? 推导原理：
静力平衡条件：
静力矩平衡条件：
泰勒级数展开,
? ? ? ??? 0,0,0 ZYX
? ? ? ??? 0,0,0 zyx MMM
......)(!21)(!11)()( 22 ????????? x xfx xfxfdxxf
x
xfxf
?
??? )()(
x xxdxx ?
???
?
???
? 圆柱坐标下的应力平衡微分方程
? 球坐标下的应力平衡微分方程？
0
1
0
21
0)(
11
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§ 1.5 应变与位移关系方程
§ 1.5.1 几何方程
§ 1.5.2 变形连续方程
§ 1.5.1 几何方程
z
u
y
u
x
u z
zzz
y
yyy
x
xxx ?
???
?
???
?
??? ??????,,
)(2121 xuyu yxxyyxxy ???????? ???
)(2121 zuyu yzyzzyyz ???????? ???
)(2121 zuxu xzxzxzzx ???????? ???
? 讨论,
1.物理意义：表示位移 (displacement)
与应变 (strain) 之间的关系；
2.位移包含变形体内质点的相对位移
（产生应变）和变形体的刚性位移
（平动和转动）；
3.工程剪应变
理论剪应变：
)(2121 xuyu yxxyyxxy ???????? ???
x
u
y
utgtg yx
xy ?
??
?
?????? ?????
4.应变符号规定：
正应变或线应变 ( )：
伸长为正，缩短为负；
剪应变或切应变（ ）：
夹角减小为正，增大为负；
5.推导中应用到小变形假设、连续性假设
及泰勒级数展开等。
,,xxx???
,,xy yz zx???
§ 1.5.2 变形连续方程
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2
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2
2
2
22
2
2
2
22
2
1
2
1
2
1
zxxz
yzzy
xyyx
xzzx
zyyz
yxxy
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???
???
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yxzyxz
zxyxzy
zyxzyx
zxyzxyz
yzxyzxy
xyzxyzx
????
????
????
2
2
2
讨论：
1.物理意义：表示各应变分量之间的相互关系, 连续
协调, 即变形体在变形过程中不开裂, 不堆积；
2.应变协调方程说明：同一平面上的三个应变分量中
有两个确定, 则第三个也就能确定；在三维空间内
三个切应变分量如果确 定, 则正应变分量也就可以
确定；
3.如果已知位移分量，则按几何方程求得的应变分量
自然满足协调方程；若是按其它方法求得的应变分
量，则必须校验其是否满足连续性条件。
§ 1.6 点的应变状态
指围绕该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间
夹角的变化情况 。
可表示为张量形式：
应变张量（ strain tensor）也可进行与应力张
量类似的分析。
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
zyzxz
yxy
x
ij
???
??
?
?,
..
( i,j = x,y,z )
§ 1.7 应变增量
全量应变与增量应变的概念
前面所讨论的应变是反映单元体在某一变
形过程终了时的变形大小，称作全量应变
增量应变张量
???
?
???
?
?
??
?
?? )d()dU(
2
1d
i
j
j
i
ij Uxx?
§ 1.8 应变速度张量
设某一瞬间起 dt时间内，产生位移增量
dUi，则应有 dUi=Vidt。其中 Vi为相应位移
速度。代入 增量应变张量,有：
令 即为 应变速率张量
txVxVtVxtVx
i
i
j
i
i
j
j
i
ij d2
1)d()d(
2
1d
???
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???
?
?
??
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???
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???
???
?
???
?
?
??
?
??
i
j
j
i
ij x
V
x
V
2
1??
§ 1.9 主应变图与变形程度表示
主变形图 是定性判断塑性变形类型的图示方法。
主变形图只可能有三种形式
? 主应力, 主应变 图示：
主应力 — 9种； 主应变 — 3种
[但只有 23种可能的应力应变组合 （ 塑性变形力
学图 ）, 为什么？ ]
变形程度表示
?绝对变形量
—— 指工件变形前后主轴方向上尺寸
的变化量
?相对变形
—— 指绝对变形量与原始尺寸的比值，
常称为形变率
?真实变形量
—— 即变形前后尺寸比值的自然对数
应力应变分析的相似性与差异性
? 相似性,张量表示、张量分析、张量关系相似
mijij IIIzyxji ?????????,,,,,,,),,,( '88m ax321321 ?????
mijij JJJzyxji ?????????,,,,,,,),,,( '88m ax321321 ?????
? 差异性,
? 概念：应力 ? 研究面元 ds 上力的集度
应变 ? 研究线元 dl 的变化情况
? 内部关系：应力 — 应力平衡微分方程
应变 — 应变连续 （ 协调 ） 方程
弹性变形：相容方程
塑性变形：体积不变条件
? 等效关系,
?等效应力 — 弹性变形和塑性变形表达式相同
?等效应变 — 弹性变形和塑性变形表达式不相同
对于弹性变形：
（ —— 泊松比 ）
对于塑性变形：
2
13
2
32
2
21 )()()(()1(2
2 ??????
?? ???????e
?
2
13
2
32
2
21 )()()((3
2 ??????? ??????
e
? 真实应力和真实应变含义：
)()( tAtptr ?? 表示某瞬时的应力值
)ln ( 0llttr ?? 表示对某瞬时之前的应变的积分
