第八节 二次曲面
二次曲面定义
二次曲面的研究
二次曲面小结
二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为 一次曲面,
定义
一,基本内容
五、常见的几种曲面
名称 分类
椭 球 面椭球面
球 面
圆 柱 面
椭 圆 柱 面
抛 物 柱 面
双 曲 柱 面柱 面
一 般 柱 面
单叶双曲面双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面抛物面
双曲抛物面
圆 锥 面锥 面
椭 圆 锥 面
讨论二次曲面性状的 截痕法,
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后
加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
二、二次曲面的研究
椭球面与三个
坐标面的交线：
,
0
12
2
2
2
??
??
?
?
??
y
c
z
a
x,
0
12
2
2
2
?
?
?
?
?
?
??
x
c
z
b
y
,
0
12
2
2
2
??
??
?
?
??
z
b
y
a
x
（二）椭球面
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化,
椭球面与平面 的交线为椭圆1zz?
同理与平面 和 的交线也是椭圆,1xx ? 1yy ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
)()(
zz
zc
c
b
y
zc
c
a
x
cz ?|| 1
椭球面的几种特殊情况：
,)1( ba ? 12
2
2
2
2
2
??? czayax 旋转椭球面
12
2
2
2
?? czax由椭圆 绕 轴旋转而成．z
旋转椭球面与椭球面的 区别,
12
2
2
22
??? cza yx方程可写为
与平面 的交线为圆,1zz ? )||( 1 cz ?
,)2( cba ?? 1
2
2
2
2
2
2
??? azayax 球面
.2222 azyx ???
.
)(
1
2
1
2
2
2
22
??
?
?
?
?
???
zz
zc
c
a
yx
截面上圆的方程
方程可写为
椭 球 面 的
图形绘制
12
2
2
2
2
2
??? czbyax
绘图语句
ParametricPlot3D[{Sin[u]Cos[v],
Sin[u]Sin[v],0.5Cos[u]},
{u,0,Pi},{v,0,2Pi}]
（二）抛物面
zqypx ?? 22
22
（ 与 同号）p q
椭圆抛物面
用截痕法讨论：
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0( ?zx o y
截得一点，即坐标原点 )0,0,0(O
设 0,0 ?? qp
原点也叫椭圆抛物面的 顶点,
旋转抛物面
与平面 的交线为椭圆,1zz?
?
?
?
?
?
?
??
1
1
2
1
2
1
22
zz
qz
y
pz
x
当 变动时，这种椭
圆的 中心 都在 轴上,
1z
z
)0( 1 ?z
与平面 不相交,1zz? )0( 1 ?z
（ 2）用坐标面 与 )0( ?yxoz
?
?
?
?
?
0
22
y
pzx
曲面相截截得抛物线
x y
z
o
0,0 ?? qp
与平面 的交线为抛物线,1yy ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
2
12
2
2
yy
q
y
zpx
它的轴平行于 轴z
顶点 ?
?
??
?
?
q
yy
2,,0
2
1
1
（ 3）用坐标面, )0( ?xy o z 1xx ?
与曲面相截均可得抛物线,
同理当 时
可类似讨论,
0,0 ?? qp
z
x y
o
0,0 ?? qp
特殊地：当 时，方程变为qp?
zpypx ?? 22
22
旋转抛物面)0( ?p
（由 面上的抛物线 绕它的轴
旋转而成的）
xoz pzx 22 ?
?
?
?
?
??
1
1
22 2
zz
pzyx
与平面 的交线为圆,1zz? )0( 1 ?z
当 变动时，这种圆
的 中心 都在 轴上,
1z
z
双曲抛物面（马鞍面）
双曲抛物面是直纹面
双曲抛物面的
图形制作
zpypx ?? 22
22
绘图语句
ParametricPlot3D[{u,v,u^2/0.5-
v^2/2},{u,-2,2},{v,-4,4},
BoxRatios->{1,1,3}]
（三）双曲面
单叶双曲面 12
2
2
2
2
2
??? czbyax
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0( ?zx o y
截得中心在原点 的椭圆,)0,0,0(O
?
?
?
?
?
?
??
0
12
2
2
2
z
b
y
a
x
与平面 的交线为椭圆,1zz?
当 变动时，这种椭
圆的 中心 都在 轴上,
1z
z??
?
?
?
?
???
1
2
2
1
2
2
2
2
1
zz
c
z
b
y
a
x
（ 2）用坐标面 与曲面相截 )0( ?yxoz
截得中心在原点的双曲线,
?
?
?
?
?
?
??
0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
实轴与 轴相合，
虚轴与 轴相合,
x
z
x
yo
z
??
?
?
?
?
???
1
2
2
1
2
2
2
2
1
yy
b
y
c
z
a
x
双曲线的 中心 都在 轴上,y
与平面 的交线为双曲线,1yy ? )( 1 by ??
,)1( 221 by ?? x实轴与 轴平行,z虚轴与 轴平行,
,)2( 221 by ?? z实轴与 轴平行,x虚轴与 轴平行,
,)3( 1 by ?? 截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b
,
0
??
?
?
?
?
??
by
c
z
a
x
.
0
??
?
?
?
?
??
by
c
z
a
x
,)4( 1 by ???
截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b?
,
0
??
?
?
?
??
??
by
c
z
a
x
.
0
??
?
?
?
??
??
by
c
z
a
x
（ 3）用坐标面, 与曲面相截 )0( ?xy o z 1xx ?
均可得双曲线,
平面 的截痕是 两对相交直线,ax ??
单叶旋转双曲面
单叶双曲面是直纹面
语句
ParametricPlot3D[{Sec[u]Cos[v],
Sec[u]Sin[v],Tan[u]},
{u,-Pi/2.1,Pi/2.1},{v,0,2Pi},
BoxRatios->{1,1,1}]
单叶双曲面的
图形绘制
12
2
2
2
2
2
??? czbyax
x
yo
双叶双曲面
双叶双曲面的
图形制作
12
2
2
2
2
2
???? czbyax
g1=ParametricPlot3D[{Tan[u]Cos[v],
Tan[u]Sin[v],Sec[u]},
{u,-Pi/2.1,Pi/2.1},{v,0,2Pi},
BoxRatios->{1,1,2}]
g2=ParametricPlot3D[{Tan[u]Cos[v],
Tan[u]Sin[v],-Sec[u]},
{u,-Pi/2.1,Pi/2.1},{v,0,2Pi},
BoxRatios->{1,1,2}]
Show[g1,g2]
绘图语句
（四）柱 面
（四）柱 面
椭圆柱面
双曲柱面
抛物柱面
一般柱面
一般柱面
锥面的 图形制作
绘图语句
12
2
2
2
?? byax
g1=ParametricPlot3D[{Cos[v],
Sin[v],u},
{u,-2,2},{v,0,2Pi},
BoxRatios->{1,1,1.5}]
（五）锥 面
一般锥面
显然锥面是直纹面
ParametricPlot3D[{u*Cos[v],
u*Sin[v],u},
{u,-2,2},{v,0,2Pi},
BoxRatios->{1,1,1.5}]
锥面的 图形制作
02
2
2
2
2
2
??? czbyax
绘图语句
二次曲面小结
球 面
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴
X 轴
Y 轴
Z 轴
对 称 性
顶 点
（ ）
截 痕 圆、点
截 部 圆
球面是空间中与
定点有定距离的动
点的轨迹 。 （ 定点
被称为球心, 定距
离被称为半径 ）
球面是二次曲面
中最优秀, 最友好
的曲面 。 它均匀,
有界, 处处光滑,
具有完全对称性 。
它的外接曲面是以
两个球半径为边长
的立方体的表面 。
任何平面与球面相
交, 球面都会奉送
一条友好的曲线
── 圆 。
主要特征
2222 Rzyx ???
??
?
?
?
?
?
?
uRz
vuRy
vuRx
c o s
sinsin
c o ssin
0,0,R?
（ ）0,,0 R?
（ ）R?,0,0
图 形 备 注
),,( RzyxR ???
1222222 ??? czbyax
??
?
?
?
?
?
?
ucz
vuby
vuax
c o s
s ins in
c o ss in
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴
X轴
y轴
Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕
椭圆
圆
点
截 部 椭圆
备 注
椭球面可以视为
球面的变形。球面
在三个坐标轴上有
相等的截距 R，然而，
友好的球面允许任
意改变它的截距，
并随着你的意愿变
成你意的椭球面。
它可以变得象地球
面、象鸡蛋壳、象
铁饼面，但是，它
均匀、有界、处处
光滑，具有完全对
称性的特点不会改
变。
用平面切割椭球
面一般是椭圆，如
果你运气好，也会
得到一个圆。
主要特征 图 形
椭球面
（ ）0,0,a?
（ ）0,,0 b?
（ ）c?,0,0
axa ???
byb ??? czc ???
单叶双曲面
1222222 ??? czbyax
??
?
?
?
?
?
?
c tg uz
vuby
vuax
s ins e c
c o ss e c
?????? x
?????? y
?????? z
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点 无
截 痕 双曲线、椭圆
截 部 双曲线、椭圆
备 注
双曲面分单叶双曲
面和双叶双曲面 。
单叶双曲面由两组
双曲线和一组椭圆构
成, 具有完全对称性 。
单叶双曲面的开口
越来越大, 伸向无穷
远, 似乎要把天地间
一切都装进它的内部,
然而, 随着它一个方
向开口的增大, 另一
个方向的开口也同样
增大, 所以它的内部
什么都没有 。
正是利用这一特
点, 工厂里的冷却塔
常用的外形之一是单
叶双曲面 。 它的优点
是对流快, 散热性能
好 。
主要特征 图 形
1222222 ???? czbyax
??
??
?
??
?
?
ucz
vb tg uy
va tg ux
s e c
s in
c o s
?????? x
?????? y ?????? z
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕 双曲线椭圆、点
截 部
双曲线
椭圆
点
备 注
双叶双曲面分
为两部分, 一部分
在 XY平面上方, 另
一部分在 XY平面下
方, 这两部分之间,
没有双叶双曲面的
痕迹 。 由于曲面分
为两叶, 并且它有
两组截痕都是双曲
线, 故称双叶双曲
面 。
图 形
双叶双曲面
（ ）c,0,0（ ）
c?,0,0
主要特征
q
y
p
xz 22 ??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
q
v
p
u
z
vy
ux
22
?????? x
?????? y ?????? z
无
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕 双曲线、直线
截 部 双曲线、直线
双曲抛物面是二次曲面
中最桀骜不驯的曲面 。 一
眼望去, 其形状酷似马鞍,
因而俗称马鞍面 。
双曲抛物面的脊梁有
两组相互垂直的抛物线构
成, 但两组抛物线的开口
方向却南辕北辙 。
让我们用一组水平面切
割标准的马鞍面, 你能想
象出切割出的曲线的形状
吗？ 在它的脊梁上方是一
组东西向的双曲线, 而在
脊梁的下面, 却是南北向
的双曲线, 在脊梁正中原
点处的那张平面只得到两
条彼此相交的直线 。
双曲抛物面是无界曲
面, 我们看到的是它的局
部, 其整体可以想象却不
能绘制 。
主要特征 图 形
双曲抛物面
无
备 注
2
2
2
2
b
y
a
xz ??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
vz
uvby
uvax
s in
cos
?????? x
?????? y
???? z0
X轴,Y轴
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕 椭圆、抛物线、点
截 部 抛物线、点
备 注
椭圆抛物面光滑,
无界, 开口向上时有最
小值而没有最大值, 开
口向下时有最大值而没
有最小值 。 椭圆抛物面
有两组相互垂直的同轴
抛物线, 一组自身平行
的同心椭圆 。
正是这些同心同轴
的曲线, 才使得椭圆抛
物面开口方向高度一致 。
曲面的方向可以一致向
上, 一致向下, 一致向
左, 一致向右, 但无论
向哪个方向, 椭圆抛物
面都以原点为始, 至无
穷远点为终, 始终不渝 。
主要特征 图 形
椭圆抛物面
(0,0,0)
22 pxy ?
?
?
?
?
?
?
?
?
vz
puy
ux
22
?????? x
???? y0
对称 Y轴
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Y 轴
对 称 性
顶 点
截 痕 抛物线直线
截 部 抛物线直线
备 注主要特征 图 形
抛 物 柱 面
无
?????? z
12
2
2
2
?? byax
??
?
?
?
?
?
?
vz
bt guy
uax se c
???? y0
?????? z
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕 双曲线直线
截 部 双曲线直线
备 注
与 坐 标 面
的交线为双曲
线的柱面称为
双曲柱面 。
双 曲 柱 面
有两张完全对
称的曲面组成 。
任何垂直于轴
的平面与双曲
柱面相交, 交
线都是双曲线,
故称双曲柱面 。
双曲柱面
的标准方程与
平面中双曲线
的方程完全一
样,
主要特征 图 形
双 曲 柱 面
无
12
2
2
2
?? byax
??
?
?
?
?
?
?
vz
uby
uax
sin
c o s
axa ????
byb ????
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕
椭圆
两条直线
一条直线
截 部 椭圆两条直线
备 注主要特征 图 形
椭 圆 柱 面
无
?????? z
0222 ??? zyx
??
??
?
?
?
?
uz
vuy
vux
sin
cos
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕
圆
两条直线
点
截 部
圆
两条直线
点
备 注主要特征 图 形
圆 锥 面
(0,0,0)
??????
??????
??????
z
y
x
方程
?
?
?
??
???
3
254 222
x
zyx
表示怎样的曲线？
思
考
题
?
?
?
??
???
3
254 222
x
zyx
?,3
164 22
?
?
?
??
???
x
zy
表示双曲线,
思考题解答
二次曲面定义
二次曲面的研究
二次曲面小结
二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称之．
相应地平面被称为 一次曲面,
定义
一,基本内容
五、常见的几种曲面
名称 分类
椭 球 面椭球面
球 面
圆 柱 面
椭 圆 柱 面
抛 物 柱 面
双 曲 柱 面柱 面
一 般 柱 面
单叶双曲面双曲面
双叶双曲面
椭圆抛物面抛物面
双曲抛物面
圆 锥 面锥 面
椭 圆 锥 面
讨论二次曲面性状的 截痕法,
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面
相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后
加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
二、二次曲面的研究
椭球面与三个
坐标面的交线：
,
0
12
2
2
2
??
??
?
?
??
y
c
z
a
x,
0
12
2
2
2
?
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?
?
?
?
??
x
c
z
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y
,
0
12
2
2
2
??
??
?
?
??
z
b
y
a
x
（二）椭球面
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化,
椭球面与平面 的交线为椭圆1zz?
同理与平面 和 的交线也是椭圆,1xx ? 1yy ?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
)()(
zz
zc
c
b
y
zc
c
a
x
cz ?|| 1
椭球面的几种特殊情况：
,)1( ba ? 12
2
2
2
2
2
??? czayax 旋转椭球面
12
2
2
2
?? czax由椭圆 绕 轴旋转而成．z
旋转椭球面与椭球面的 区别,
12
2
2
22
??? cza yx方程可写为
与平面 的交线为圆,1zz ? )||( 1 cz ?
,)2( cba ?? 1
2
2
2
2
2
2
??? azayax 球面
.2222 azyx ???
.
)(
1
2
1
2
2
2
22
??
?
?
?
?
???
zz
zc
c
a
yx
截面上圆的方程
方程可写为
椭 球 面 的
图形绘制
12
2
2
2
2
2
??? czbyax
绘图语句
ParametricPlot3D[{Sin[u]Cos[v],
Sin[u]Sin[v],0.5Cos[u]},
{u,0,Pi},{v,0,2Pi}]
（二）抛物面
zqypx ?? 22
22
（ 与 同号）p q
椭圆抛物面
用截痕法讨论：
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0( ?zx o y
截得一点，即坐标原点 )0,0,0(O
设 0,0 ?? qp
原点也叫椭圆抛物面的 顶点,
旋转抛物面
与平面 的交线为椭圆,1zz?
?
?
?
?
?
?
??
1
1
2
1
2
1
22
zz
qz
y
pz
x
当 变动时，这种椭
圆的 中心 都在 轴上,
1z
z
)0( 1 ?z
与平面 不相交,1zz? )0( 1 ?z
（ 2）用坐标面 与 )0( ?yxoz
?
?
?
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0
22
y
pzx
曲面相截截得抛物线
x y
z
o
0,0 ?? qp
与平面 的交线为抛物线,1yy ?
?
?
?
?
?
?
?
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1
2
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它的轴平行于 轴z
顶点 ?
?
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?
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q
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2,,0
2
1
1
（ 3）用坐标面, )0( ?xy o z 1xx ?
与曲面相截均可得抛物线,
同理当 时
可类似讨论,
0,0 ?? qp
z
x y
o
0,0 ?? qp
特殊地：当 时，方程变为qp?
zpypx ?? 22
22
旋转抛物面)0( ?p
（由 面上的抛物线 绕它的轴
旋转而成的）
xoz pzx 22 ?
?
?
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1
1
22 2
zz
pzyx
与平面 的交线为圆,1zz? )0( 1 ?z
当 变动时，这种圆
的 中心 都在 轴上,
1z
z
双曲抛物面（马鞍面）
双曲抛物面是直纹面
双曲抛物面的
图形制作
zpypx ?? 22
22
绘图语句
ParametricPlot3D[{u,v,u^2/0.5-
v^2/2},{u,-2,2},{v,-4,4},
BoxRatios->{1,1,3}]
（三）双曲面
单叶双曲面 12
2
2
2
2
2
??? czbyax
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0( ?zx o y
截得中心在原点 的椭圆,)0,0,0(O
?
?
?
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??
0
12
2
2
2
z
b
y
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与平面 的交线为椭圆,1zz?
当 变动时，这种椭
圆的 中心 都在 轴上,
1z
z??
?
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1
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2
2
2
2
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a
x
（ 2）用坐标面 与曲面相截 )0( ?yxoz
截得中心在原点的双曲线,
?
?
?
?
?
?
??
0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
实轴与 轴相合，
虚轴与 轴相合,
x
z
x
yo
z
??
?
?
?
?
???
1
2
2
1
2
2
2
2
1
yy
b
y
c
z
a
x
双曲线的 中心 都在 轴上,y
与平面 的交线为双曲线,1yy ? )( 1 by ??
,)1( 221 by ?? x实轴与 轴平行,z虚轴与 轴平行,
,)2( 221 by ?? z实轴与 轴平行,x虚轴与 轴平行,
,)3( 1 by ?? 截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b
,
0
??
?
?
?
?
??
by
c
z
a
x
.
0
??
?
?
?
?
??
by
c
z
a
x
,)4( 1 by ???
截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b?
,
0
??
?
?
?
??
??
by
c
z
a
x
.
0
??
?
?
?
??
??
by
c
z
a
x
（ 3）用坐标面, 与曲面相截 )0( ?xy o z 1xx ?
均可得双曲线,
平面 的截痕是 两对相交直线,ax ??
单叶旋转双曲面
单叶双曲面是直纹面
语句
ParametricPlot3D[{Sec[u]Cos[v],
Sec[u]Sin[v],Tan[u]},
{u,-Pi/2.1,Pi/2.1},{v,0,2Pi},
BoxRatios->{1,1,1}]
单叶双曲面的
图形绘制
12
2
2
2
2
2
??? czbyax
x
yo
双叶双曲面
双叶双曲面的
图形制作
12
2
2
2
2
2
???? czbyax
g1=ParametricPlot3D[{Tan[u]Cos[v],
Tan[u]Sin[v],Sec[u]},
{u,-Pi/2.1,Pi/2.1},{v,0,2Pi},
BoxRatios->{1,1,2}]
g2=ParametricPlot3D[{Tan[u]Cos[v],
Tan[u]Sin[v],-Sec[u]},
{u,-Pi/2.1,Pi/2.1},{v,0,2Pi},
BoxRatios->{1,1,2}]
Show[g1,g2]
绘图语句
（四）柱 面
（四）柱 面
椭圆柱面
双曲柱面
抛物柱面
一般柱面
一般柱面
锥面的 图形制作
绘图语句
12
2
2
2
?? byax
g1=ParametricPlot3D[{Cos[v],
Sin[v],u},
{u,-2,2},{v,0,2Pi},
BoxRatios->{1,1,1.5}]
（五）锥 面
一般锥面
显然锥面是直纹面
ParametricPlot3D[{u*Cos[v],
u*Sin[v],u},
{u,-2,2},{v,0,2Pi},
BoxRatios->{1,1,1.5}]
锥面的 图形制作
02
2
2
2
2
2
??? czbyax
绘图语句
二次曲面小结
球 面
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴
X 轴
Y 轴
Z 轴
对 称 性
顶 点
（ ）
截 痕 圆、点
截 部 圆
球面是空间中与
定点有定距离的动
点的轨迹 。 （ 定点
被称为球心, 定距
离被称为半径 ）
球面是二次曲面
中最优秀, 最友好
的曲面 。 它均匀,
有界, 处处光滑,
具有完全对称性 。
它的外接曲面是以
两个球半径为边长
的立方体的表面 。
任何平面与球面相
交, 球面都会奉送
一条友好的曲线
── 圆 。
主要特征
2222 Rzyx ???
??
?
?
?
?
?
?
uRz
vuRy
vuRx
c o s
sinsin
c o ssin
0,0,R?
（ ）0,,0 R?
（ ）R?,0,0
图 形 备 注
),,( RzyxR ???
1222222 ??? czbyax
??
?
?
?
?
?
?
ucz
vuby
vuax
c o s
s ins in
c o ss in
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴
X轴
y轴
Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕
椭圆
圆
点
截 部 椭圆
备 注
椭球面可以视为
球面的变形。球面
在三个坐标轴上有
相等的截距 R，然而，
友好的球面允许任
意改变它的截距，
并随着你的意愿变
成你意的椭球面。
它可以变得象地球
面、象鸡蛋壳、象
铁饼面，但是，它
均匀、有界、处处
光滑，具有完全对
称性的特点不会改
变。
用平面切割椭球
面一般是椭圆，如
果你运气好，也会
得到一个圆。
主要特征 图 形
椭球面
（ ）0,0,a?
（ ）0,,0 b?
（ ）c?,0,0
axa ???
byb ??? czc ???
单叶双曲面
1222222 ??? czbyax
??
?
?
?
?
?
?
c tg uz
vuby
vuax
s ins e c
c o ss e c
?????? x
?????? y
?????? z
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点 无
截 痕 双曲线、椭圆
截 部 双曲线、椭圆
备 注
双曲面分单叶双曲
面和双叶双曲面 。
单叶双曲面由两组
双曲线和一组椭圆构
成, 具有完全对称性 。
单叶双曲面的开口
越来越大, 伸向无穷
远, 似乎要把天地间
一切都装进它的内部,
然而, 随着它一个方
向开口的增大, 另一
个方向的开口也同样
增大, 所以它的内部
什么都没有 。
正是利用这一特
点, 工厂里的冷却塔
常用的外形之一是单
叶双曲面 。 它的优点
是对流快, 散热性能
好 。
主要特征 图 形
1222222 ???? czbyax
??
??
?
??
?
?
ucz
vb tg uy
va tg ux
s e c
s in
c o s
?????? x
?????? y ?????? z
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕 双曲线椭圆、点
截 部
双曲线
椭圆
点
备 注
双叶双曲面分
为两部分, 一部分
在 XY平面上方, 另
一部分在 XY平面下
方, 这两部分之间,
没有双叶双曲面的
痕迹 。 由于曲面分
为两叶, 并且它有
两组截痕都是双曲
线, 故称双叶双曲
面 。
图 形
双叶双曲面
（ ）c,0,0（ ）
c?,0,0
主要特征
q
y
p
xz 22 ??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
q
v
p
u
z
vy
ux
22
?????? x
?????? y ?????? z
无
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕 双曲线、直线
截 部 双曲线、直线
双曲抛物面是二次曲面
中最桀骜不驯的曲面 。 一
眼望去, 其形状酷似马鞍,
因而俗称马鞍面 。
双曲抛物面的脊梁有
两组相互垂直的抛物线构
成, 但两组抛物线的开口
方向却南辕北辙 。
让我们用一组水平面切
割标准的马鞍面, 你能想
象出切割出的曲线的形状
吗？ 在它的脊梁上方是一
组东西向的双曲线, 而在
脊梁的下面, 却是南北向
的双曲线, 在脊梁正中原
点处的那张平面只得到两
条彼此相交的直线 。
双曲抛物面是无界曲
面, 我们看到的是它的局
部, 其整体可以想象却不
能绘制 。
主要特征 图 形
双曲抛物面
无
备 注
2
2
2
2
b
y
a
xz ??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
vz
uvby
uvax
s in
cos
?????? x
?????? y
???? z0
X轴,Y轴
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕 椭圆、抛物线、点
截 部 抛物线、点
备 注
椭圆抛物面光滑,
无界, 开口向上时有最
小值而没有最大值, 开
口向下时有最大值而没
有最小值 。 椭圆抛物面
有两组相互垂直的同轴
抛物线, 一组自身平行
的同心椭圆 。
正是这些同心同轴
的曲线, 才使得椭圆抛
物面开口方向高度一致 。
曲面的方向可以一致向
上, 一致向下, 一致向
左, 一致向右, 但无论
向哪个方向, 椭圆抛物
面都以原点为始, 至无
穷远点为终, 始终不渝 。
主要特征 图 形
椭圆抛物面
(0,0,0)
22 pxy ?
?
?
?
?
?
?
?
?
vz
puy
ux
22
?????? x
???? y0
对称 Y轴
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Y 轴
对 称 性
顶 点
截 痕 抛物线直线
截 部 抛物线直线
备 注主要特征 图 形
抛 物 柱 面
无
?????? z
12
2
2
2
?? byax
??
?
?
?
?
?
?
vz
bt guy
uax se c
???? y0
?????? z
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕 双曲线直线
截 部 双曲线直线
备 注
与 坐 标 面
的交线为双曲
线的柱面称为
双曲柱面 。
双 曲 柱 面
有两张完全对
称的曲面组成 。
任何垂直于轴
的平面与双曲
柱面相交, 交
线都是双曲线,
故称双曲柱面 。
双曲柱面
的标准方程与
平面中双曲线
的方程完全一
样,
主要特征 图 形
双 曲 柱 面
无
12
2
2
2
?? byax
??
?
?
?
?
?
?
vz
uby
uax
sin
c o s
axa ????
byb ????
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕
椭圆
两条直线
一条直线
截 部 椭圆两条直线
备 注主要特征 图 形
椭 圆 柱 面
无
?????? z
0222 ??? zyx
??
??
?
?
?
?
uz
vuy
vux
sin
cos
完全对称
直角方程
参数方程
取值范围
中 心 轴 Z轴
对 称 性
顶 点
截 痕
圆
两条直线
点
截 部
圆
两条直线
点
备 注主要特征 图 形
圆 锥 面
(0,0,0)
??????
??????
??????
z
y
x
方程
?
?
?
??
???
3
254 222
x
zyx
表示怎样的曲线？
思
考
题
?
?
?
??
???
3
254 222
x
zyx
?,3
164 22
?
?
?
??
???
x
zy
表示双曲线,
思考题解答
