第六节 平面及其方程
平面方程的定义
平面方程的类型
两个平面的关系
点到平面的距离
空间平面小结
平面上的点都满足（ *）方程，不在平面
上的点都不满足上方程（ *），方程（ *）称为
平面的方程，平面称为方程的图形．
1.平面的点法式方程
一,平面方程的定义
二、平面方程的类型
x
y
z
o
0M M如果一非零向量垂直
于一平面，这向量就叫做
该平面的 法线向量,
垂直于平面内的任一向量．
已知 },,,{ CBAn ?? ),,,( 0000 zyxM
设平面上的任一点为 ),,( zyxM
nMM ??0必有 ? 00 ?? nMM ?
n?
法线向量的特征
1.平面的点法式方程
},,{ 0000 zzyyxxMM ?????
( * )0)()()( 000 ??????? zzCyyBxxA
平面的点法式方程
其中法向量 },,,{ CBAn ??
已知点 ).,,( 000 zyx
例 1 求过三点 )4,1,2( ?A, )2,3,1( ??B 和
)3,2,0(C 的平面方程,
解 }6,4,3{ ???AB
}1,3,2{ ???AC
取 ACABn ??? },1,9,14{ ??
所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 ?????? zyx
化简得,015914 ???? zyx
例 2 求过点 )1,1,1(,且垂直于平面 7??? zyx 和
051223 ???? zyx 的平面方程,
},1,1,1{1 ??n? }12,2,3{2 ??n?
取法向量 21 nnn ??? ?? },5,15,10{?
,0)1(5)1(15)1(10 ?????? zyx
化简得,0632 ???? zyx
所求平面方程为
解
确定一个平面的要点
是什么？
思
考
题
一点 一矢
思考题解答
由平面的点法式方程
0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA
0)( 000 ??????? CzByAxCzByAxD?
0???? DCzByAx 平面的一般方程
法向量 }.,,{ CBAn ??
2.平面的一般方程
二、平面方程的类型
平面一般方程的几种特殊情况，讨论如下：
,0)1( ?D 平面通过坐标原点；
,0)2( ?A 平面通过 轴；x平面平行于 轴；x
,0)3( ?B
平面通过 y 轴
平面平行于 y 轴
平面通过 z 轴
平面平行于 z 轴
轴xCBAn ?? },,{?
轴zCBAn ?? },,{?
轴yCBAn ?? },,{?
?
?
?
?
?
0
0
D
D
?
?
?
?
?
0
0
D
D
?
?
?
?
?
0
0
D
D（ 4） C=0，
0}0,0,1{},,0{ ??CB? ?
,0)4( ?? BA
,0)5( ?? CA
,0)6( ?? CB
平面平行于 xoy 坐标面
平面平行于 xoz 坐标面
平面平行于 yoz 坐标面
,0)7( ??? DBA 平面为 xoy 平面
平面为 xoz 平面
平面为 yoz 平面
,0)9( ??? DCB
,0)8( ??? DCA
例 3 设平面过原点及点 )2,3,6( ?,且与平面
824 ??? zyx 垂直，求此平面方程,
设平面为,0???? DCzByAx
由平面过原点知,0?D
由平面过点 )2,3,6( ? 知0236 ??? CBA
},2,1,4{ ??n?? 024 ???? CBA
,32 CBA ????
.0322 ??? zyx所求平面方程为
解
推导,设平面与 zyx,,三轴分别交于 )0,0,( aP,
)0,,0( bQ, ),0,0( cR （其中 0?a, 0?b, 0?c ）,
设平面为,0???? DCzByAx
将三点坐标代入得 ?
?
?
?
?
??
??
??
,0
,0
,0
DcC
DbB
DaA
?,aDA ??,bDB ??,cDC ??
3.平面的截距式方程
,aDA ??,bDB ??,cDC ??将
代入所设方程得
1??? czbyax 平面的截距式方程
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距
),,( iiii zyxM点过不在一条直线上的三设 ?
10 MM ?取
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
kji
???
????
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
??
??
?
1313
1212
1313
1212
1313
1212,,
yyxx
yyxx
zzxx
zzxx
zzyy
zzyy
3121 MMMMn ??
4.平面的三点式方程
1313
1212
yyxx
yyxx
C
??
??
?
1313
1212
zzxx
zzxx
B
??
??
??
1313
1212
zzyy
zzyy
A
??
??
?
则平面的方程为
0)()()( 111 ??????? DzzCyyBxxA
平面三点式方程的简式
0
131313
121212
111
?
???
???
???
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
0
1
1
1
1
333
222
111
?
zyx
zyx
zyx
zyx
例 4 求平行于平面 0566 ???? zyx 而与三个坐标
面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程,
设平面为,1??? czbyax
x
y
z
o,1?V?,12131 ??? abc
由所求平面与已知平面平行得
,6
1
1
1
6
1
cba ??（向量平行的充要条件）
解
,61161 cba ??化简得 令 t
cba ??? 6
11
6
1
,61ta ??,1tb?,61tc ?
ttt 6
11
6
1
6
11 ?????
代入体积式
,61?? t
,1,6,1 ???? cba
.666 ??? zyx所求平面方程为
?平面已知 ?),,( 0000 zyxM
不共线且 21
22221111
,
//},,{,//},,{
vv
nmlvnmlv ?? ??
求满足以上条件的平面方程。
解
不共线且 21
22221111
,
//},,{,//},,{
vv
nmlvnmlv ?? ???
21 vvn ??? 的法矢?
5.平面的参数式方程
??),,( zyxM取任意点 MMn 0?必有
00 ?? MMn从而
0021 ???? MMvv
0),,( 210 ?? vvMM
0
222
111
000
?
???
?
nml
nml
zzyyxx
平面的参数式方程
1?
1n?
2?
2n? ?
两平面法向量之间的夹角称为两平面的
夹角, （通常取锐角）
,0,11111 ????? DzCyBxA
,0,22222 ????? DzCyBxA
},,,{ 1111 CBAn ??
},,,{ 2222 CBAn ??
定义
三,两平面的夹角
按照两向量夹角余弦公式有
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||co s
CBACBA
CCBBAA
?????
????
两平面夹角余弦公式
21)1( ??? ;0212121 ????? CCBBAA
21)2( ??//,
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ????
两平面位置特征
例 6 研究以下各组里两平面的位置关系：
013,012)1( ???????? zyzyx
01224,012)2( ????????? zyxzyx
02224,012)3( ????????? zyxzyx
解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|co s ?????? ????????
60
1co s ?? 两平面相交，夹角
.601a r cc o s??
)2( },1,1,2{1 ??n? }2,2,4{2 ???n?
,212 142 ?????? 两平面平行
21 )0,1,1()0,1,1( ???? MM?
两平面平行但不重合．
)3(,2 12 142 ??????
21 )0,1,1()0,1,1( ???? MM?
两平面平行
两平面重合,?
设 ),,( 0000 zyxP 是平面 ByAx ? 0??? DCz
外一点
??? ),,( 1111 zyxP
},,{ 10101001 zzyyxxPP ????
NPd 0? 如图
NPd 0? 00 nPP ?? ?1P N
n?
0P?
0n
四、点到平面的距离
??
?
??
?
??????? 222222222
0,,
CBA
C
CBA
B
CBA
An
222
10
222
10
222
10 )()()(
CBA
zzC
CBA
yyB
CBA
xxA
??
??
??
??
??
??
,)( 222 111000 CBA CzByAxCzByAx ?? ??????
NPd 0? 00 nPP ??
.|| 222 000 CBA DCzByAxd ?? ????? 点到平面距离公式
)( 111 CzByAxD ????其中
0???? DCzByAx
1?
?
?
?
?
?
C
D
z
B
D
y
A
D
x
左图为
01
52
???? zyx
的图形
转化为：
情形 1
五、平面草图的绘制
0??? DCzBy
左图为
01
5
??? zy
的图形
轴平面特征 x//
情形 2
0??? DCzAx
左图为
01
5
??? zx
的图形
轴平面特征 y//
情形 3
0??? DByAx
左图为
01
5
??? yx
的图形
轴平面特征 z//
情形 4
0?? ByAx
左图为
0
5
?? yx
的图形
轴平面过特征 z
情形 5
0?? CzAx
左图为
0
5
?? zx
的图形
轴平面过特征 y
情形 6
0?? CzBy
左图为
0
5
?? zy
的图形
轴平面过特征 x
情形 7
0??? CzByAx
左图为
0
5
2 ??? zyx
的图形
平面过原点特征
情形 8
若平面 02 ??? zkyx 与平面
032 ??? zyx 的夹角为
4
?
，求??k
思
考
题
,
1)3(2)2(1
12)3(21
4c o s 222222 ???????
????????
k
k
,145 321 2 ???? k k,270??? k
思考题解答
平面方程的定义
平面方程的类型
两个平面的关系
点到平面的距离
空间平面小结
平面上的点都满足（ *）方程，不在平面
上的点都不满足上方程（ *），方程（ *）称为
平面的方程，平面称为方程的图形．
1.平面的点法式方程
一,平面方程的定义
二、平面方程的类型
x
y
z
o
0M M如果一非零向量垂直
于一平面，这向量就叫做
该平面的 法线向量,
垂直于平面内的任一向量．
已知 },,,{ CBAn ?? ),,,( 0000 zyxM
设平面上的任一点为 ),,( zyxM
nMM ??0必有 ? 00 ?? nMM ?
n?
法线向量的特征
1.平面的点法式方程
},,{ 0000 zzyyxxMM ?????
( * )0)()()( 000 ??????? zzCyyBxxA
平面的点法式方程
其中法向量 },,,{ CBAn ??
已知点 ).,,( 000 zyx
例 1 求过三点 )4,1,2( ?A, )2,3,1( ??B 和
)3,2,0(C 的平面方程,
解 }6,4,3{ ???AB
}1,3,2{ ???AC
取 ACABn ??? },1,9,14{ ??
所求平面方程为,0)4()1(9)2(14 ?????? zyx
化简得,015914 ???? zyx
例 2 求过点 )1,1,1(,且垂直于平面 7??? zyx 和
051223 ???? zyx 的平面方程,
},1,1,1{1 ??n? }12,2,3{2 ??n?
取法向量 21 nnn ??? ?? },5,15,10{?
,0)1(5)1(15)1(10 ?????? zyx
化简得,0632 ???? zyx
所求平面方程为
解
确定一个平面的要点
是什么？
思
考
题
一点 一矢
思考题解答
由平面的点法式方程
0)()()( 000 ?????? zzCyyBxxA
0)( 000 ??????? CzByAxCzByAxD?
0???? DCzByAx 平面的一般方程
法向量 }.,,{ CBAn ??
2.平面的一般方程
二、平面方程的类型
平面一般方程的几种特殊情况，讨论如下：
,0)1( ?D 平面通过坐标原点；
,0)2( ?A 平面通过 轴；x平面平行于 轴；x
,0)3( ?B
平面通过 y 轴
平面平行于 y 轴
平面通过 z 轴
平面平行于 z 轴
轴xCBAn ?? },,{?
轴zCBAn ?? },,{?
轴yCBAn ?? },,{?
?
?
?
?
?
0
0
D
D
?
?
?
?
?
0
0
D
D
?
?
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0
0
D
D（ 4） C=0，
0}0,0,1{},,0{ ??CB? ?
,0)4( ?? BA
,0)5( ?? CA
,0)6( ?? CB
平面平行于 xoy 坐标面
平面平行于 xoz 坐标面
平面平行于 yoz 坐标面
,0)7( ??? DBA 平面为 xoy 平面
平面为 xoz 平面
平面为 yoz 平面
,0)9( ??? DCB
,0)8( ??? DCA
例 3 设平面过原点及点 )2,3,6( ?,且与平面
824 ??? zyx 垂直，求此平面方程,
设平面为,0???? DCzByAx
由平面过原点知,0?D
由平面过点 )2,3,6( ? 知0236 ??? CBA
},2,1,4{ ??n?? 024 ???? CBA
,32 CBA ????
.0322 ??? zyx所求平面方程为
解
推导,设平面与 zyx,,三轴分别交于 )0,0,( aP,
)0,,0( bQ, ),0,0( cR （其中 0?a, 0?b, 0?c ）,
设平面为,0???? DCzByAx
将三点坐标代入得 ?
?
?
?
?
??
??
??
,0
,0
,0
DcC
DbB
DaA
?,aDA ??,bDB ??,cDC ??
3.平面的截距式方程
,aDA ??,bDB ??,cDC ??将
代入所设方程得
1??? czbyax 平面的截距式方程
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距
),,( iiii zyxM点过不在一条直线上的三设 ?
10 MM ?取
131313
121212
zzyyxx
zzyyxx
kji
???
????
?
?
?
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1313
1212
1313
1212,,
yyxx
yyxx
zzxx
zzxx
zzyy
zzyy
3121 MMMMn ??
4.平面的三点式方程
1313
1212
yyxx
yyxx
C
??
??
?
1313
1212
zzxx
zzxx
B
??
??
??
1313
1212
zzyy
zzyy
A
??
??
?
则平面的方程为
0)()()( 111 ??????? DzzCyyBxxA
平面三点式方程的简式
0
131313
121212
111
?
???
???
???
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
0
1
1
1
1
333
222
111
?
zyx
zyx
zyx
zyx
例 4 求平行于平面 0566 ???? zyx 而与三个坐标
面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程,
设平面为,1??? czbyax
x
y
z
o,1?V?,12131 ??? abc
由所求平面与已知平面平行得
,6
1
1
1
6
1
cba ??（向量平行的充要条件）
解
,61161 cba ??化简得 令 t
cba ??? 6
11
6
1
,61ta ??,1tb?,61tc ?
ttt 6
11
6
1
6
11 ?????
代入体积式
,61?? t
,1,6,1 ???? cba
.666 ??? zyx所求平面方程为
?平面已知 ?),,( 0000 zyxM
不共线且 21
22221111
,
//},,{,//},,{
vv
nmlvnmlv ?? ??
求满足以上条件的平面方程。
解
不共线且 21
22221111
,
//},,{,//},,{
vv
nmlvnmlv ?? ???
21 vvn ??? 的法矢?
5.平面的参数式方程
??),,( zyxM取任意点 MMn 0?必有
00 ?? MMn从而
0021 ???? MMvv
0),,( 210 ?? vvMM
0
222
111
000
?
???
?
nml
nml
zzyyxx
平面的参数式方程
1?
1n?
2?
2n? ?
两平面法向量之间的夹角称为两平面的
夹角, （通常取锐角）
,0,11111 ????? DzCyBxA
,0,22222 ????? DzCyBxA
},,,{ 1111 CBAn ??
},,,{ 2222 CBAn ??
定义
三,两平面的夹角
按照两向量夹角余弦公式有
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||co s
CBACBA
CCBBAA
?????
????
两平面夹角余弦公式
21)1( ??? ;0212121 ????? CCBBAA
21)2( ??//,
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A ????
两平面位置特征
例 6 研究以下各组里两平面的位置关系：
013,012)1( ???????? zyzyx
01224,012)2( ????????? zyxzyx
02224,012)3( ????????? zyxzyx
解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|co s ?????? ????????
60
1co s ?? 两平面相交，夹角
.601a r cc o s??
)2( },1,1,2{1 ??n? }2,2,4{2 ???n?
,212 142 ?????? 两平面平行
21 )0,1,1()0,1,1( ???? MM?
两平面平行但不重合．
)3(,2 12 142 ??????
21 )0,1,1()0,1,1( ???? MM?
两平面平行
两平面重合,?
设 ),,( 0000 zyxP 是平面 ByAx ? 0??? DCz
外一点
??? ),,( 1111 zyxP
},,{ 10101001 zzyyxxPP ????
NPd 0? 如图
NPd 0? 00 nPP ?? ?1P N
n?
0P?
0n
四、点到平面的距离
??
?
??
?
??????? 222222222
0,,
CBA
C
CBA
B
CBA
An
222
10
222
10
222
10 )()()(
CBA
zzC
CBA
yyB
CBA
xxA
??
??
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??
??
??
,)( 222 111000 CBA CzByAxCzByAx ?? ??????
NPd 0? 00 nPP ??
.|| 222 000 CBA DCzByAxd ?? ????? 点到平面距离公式
)( 111 CzByAxD ????其中
0???? DCzByAx
1?
?
?
?
?
?
C
D
z
B
D
y
A
D
x
左图为
01
52
???? zyx
的图形
转化为：
情形 1
五、平面草图的绘制
0??? DCzBy
左图为
01
5
??? zy
的图形
轴平面特征 x//
情形 2
0??? DCzAx
左图为
01
5
??? zx
的图形
轴平面特征 y//
情形 3
0??? DByAx
左图为
01
5
??? yx
的图形
轴平面特征 z//
情形 4
0?? ByAx
左图为
0
5
?? yx
的图形
轴平面过特征 z
情形 5
0?? CzAx
左图为
0
5
?? zx
的图形
轴平面过特征 y
情形 6
0?? CzBy
左图为
0
5
?? zy
的图形
轴平面过特征 x
情形 7
0??? CzByAx
左图为
0
5
2 ??? zyx
的图形
平面过原点特征
情形 8
若平面 02 ??? zkyx 与平面
032 ??? zyx 的夹角为
4
?
，求??k
思
考
题
,
1)3(2)2(1
12)3(21
4c o s 222222 ???????
????????
k
k
,145 321 2 ???? k k,270??? k
思考题解答
