第六节 高斯（ Gauss）公式
通量与散度
高斯公式
小结
简单应用
通量与散度
设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
函数 ),,( zyxP, ),,( zyxQ, ),,( zyxR 在 ? 上具有
一阶连续偏导数,则有公式
?????
??
???
?
?
?
?
?
?
?
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R dxd yQ dz dxP dy dzdv
z
R
y
Q
x
P
)(
dSRQP
dv
z
R
y
Q
x
P
)co sco sco s(
)(
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???
?
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??????
?
?
?
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?
?
?
?
或
一,高斯公式
这里 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧，
??? c o s,c o s,c o s 是 ? 上点 ),,( zyx 处的法向
量的方向余弦,
证明
设闭区域 ? 在面 xoy
上的投影区域为 xyD,
x
y
z
o
? 由 1?,2? 和 3? 三部分组成,
),(1:1 yxzz ??
),(2:2 yxzz ??
3?
?
1?
2?
3?
xyD
根据三重积分的计算法
d x d ydzzRdyzR
xyD
yxz
yxz??? ?? ?
? ?
??
?
? }{ ),(
),(
2
1
.)]},(,,[)],(,,[{ 12?? ??
xyD
d x d yyxzyxRyxzyxR
根据曲面积分的计算法
,)],(,,[),,( 1
1
???? ??
? xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
( 1? 取下侧,2? 取上侧,3? 取外侧 )
,)],(,,[),,( 2
2
???? ?
? xyD
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
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xyD
d x d yyxzyxRyxzyxR
??
?
d x d yzyxR ),,(于是
.0),,(
3
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d x d yzyxR
.),,(?????
??
???? d x d yzyxRdvzR
,),,(?????
??
??? d ydzzyxPdvxP同理
,),,(?????
??
??? d z d xzyxQdvyQ
?????
??
??????????? Rdx d yQd z d xP d ydzdvzRyQxP )(
------------------高斯公式
和并以上三式得：
Gauss公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界
曲面上的曲面积分之间的关系,
.)c o sc o sc o s(
)(
??
???
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
dSRQP
dv
z
R
y
Q
x
P
???
由两类曲面积分之间的关系知
例 1 计算曲面积分
xdy dzzydxdyyx )()( ?????
?
其中 Σ 为柱面 1
22
?? yx 及平
面 3,0 ?? zz 所围成的空间闭
区域 ? 的整个边界曲面的外侧,
x
o
z
y11
3
解
,
,0,)(
yxR
QxzyP
??
???
二,简单的应用
,0,0,?????????? zRyQzyxP
???
?
?? d x d y d zzy )(原式
???
?
?? dzr d r dzr ?? )s i n(
.29???
(利用柱面坐标得 )
x
o
z
y11
3
使用 Guass公式时应注意,
1,RQP,,是对什么变量求偏导数 ;
2,是否满足高斯公式的条件 ;
3,Σ 是取闭曲面的外侧,
注
意
x
y
z
o
例 2 计算曲面积分
dszyx )c o sc o sc o s(
222
??? ??
??
?
,其中 Σ 为
锥面
222
zyx ?? 介于平面
0?z 及 )0( ?? hhz
之间的部分的下侧,
??? c o s,c o s,c o s
是 Σ 在 ),,( zyx 处
的法向量的方向余弦,
h?
xyD
x
y
z
o
h?1?
解 空间曲面在 面上的投影域为xoy xyD
)(,2221 hyxhz ????补充
曲面 ?不是封闭曲面,为利用
高斯公式
取上侧，1? ?
构成封闭曲面，1???
.1 ???? 围成空间区域
,上使用高斯公式在 ?
???
??
?
???
???
??
dvzyx
dSzyx
)(2
)co sco sco s(
1
222 ???
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xyD
h
yx
dzzyxdxdy 22,)(2
}.|),{( 222 hyxyxD xy ???其中
?? ? ? ??
xyD
h
yx
dzyxdxdy 22,0)(?
??
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xyD
dxdyyxh
dSzyx
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)co sco sco s(
222
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1
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.21 4h??
????
??
??????
11
2222 )c o sc o sc o s( dSzdSzyx?
???
xyD
d x d yh 2,4h??
故所求积分为
??
?
????? dSzyx )co sco sco s( 222
4
2
1 h?? 4h??,
2
1 4h???
设有向量场
kzyxRjzyxQizyxPzyxA
????
),,(),,(),,(),,( ???
沿场中某一有向曲面 Σ 的第二类曲面积分为
??
????
?
??
???
?????
R d x d yQd z d xP d y d z
dSnASdA 0
????
称为向量场 ),,( zyxA? 向正侧穿过曲面 Σ 的 通量,
1,通量的定义
三,物理意义 —— 通量与散度
设有向量场 ),,( zyxA
?
,在场内作包围点 M
的闭曲面 ?,? 包围的区域为 V,记体积为 V, 若
当 V 收缩成点 M 时,极限
V
SdA
MV
??
?
?
?
??
lim 存在,
则称此极限值为 A? 在点 M 处的 散度,记为 Adiv ?,
2,散度的定义
散度在直角坐标系下的形式
?????
??
????????? dSvdvzRyQxP n)(
?????
??
????????? dSvVdvzRyQxPV n1)(1
??
?
????????? dSvVzRyQxP n1)( ),,( ???
??
???
????????? dSvVzRyQxP n
M
1l im
积分中值定理,
两边取极限,
z
R
y
Q
x
PAdi v
?
??
?
??
?
???
高斯公式可写成 ?????
??
? dSAdvAd iv n?
)co sco sco s( 0 ??? RQPnAA n ????? ??
的边界曲面，是空间闭区域其中 ??
.的外侧法向量上的投影在曲面是向量 ?AA n ?
?????
??
? dSAdvAd iv n?
（ 1）应用的条件
（ 2）物理意义
?????
??
??????????? Rdx d yQd z d xP d ydzdvzRyQxP )(
小 结
高斯公式
高斯公式的实质
曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？
思
考
题
曲面应是分片光滑的 闭 曲面,
思考题解答
通量与散度
高斯公式
小结
简单应用
通量与散度
设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
函数 ),,( zyxP, ),,( zyxQ, ),,( zyxR 在 ? 上具有
一阶连续偏导数,则有公式
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或
一,高斯公式
这里 ? 是 ? 的整个边界曲面的外侧，
??? c o s,c o s,c o s 是 ? 上点 ),,( zyx 处的法向
量的方向余弦,
证明
设闭区域 ? 在面 xoy
上的投影区域为 xyD,
x
y
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o
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根据三重积分的计算法
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根据曲面积分的计算法
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------------------高斯公式
和并以上三式得：
Gauss公式的实质
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曲面上的曲面积分之间的关系,
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由两类曲面积分之间的关系知
例 1 计算曲面积分
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?
其中 Σ 为柱面 1
22
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面 3,0 ?? zz 所围成的空间闭
区域 ? 的整个边界曲面的外侧,
x
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3
解
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二,简单的应用
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(利用柱面坐标得 )
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使用 Guass公式时应注意,
1,RQP,,是对什么变量求偏导数 ;
2,是否满足高斯公式的条件 ;
3,Σ 是取闭曲面的外侧,
注
意
x
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例 2 计算曲面积分
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222
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之间的部分的下侧,
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是 Σ 在 ),,( zyx 处
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解 空间曲面在 面上的投影域为xoy xyD
)(,2221 hyxhz ????补充
曲面 ?不是封闭曲面,为利用
高斯公式
取上侧，1? ?
构成封闭曲面，1???
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,上使用高斯公式在 ?
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设有向量场
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称为向量场 ),,( zyxA? 向正侧穿过曲面 Σ 的 通量,
1,通量的定义
三,物理意义 —— 通量与散度
设有向量场 ),,( zyxA
?
,在场内作包围点 M
的闭曲面 ?,? 包围的区域为 V,记体积为 V, 若
当 V 收缩成点 M 时,极限
V
SdA
MV
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lim 存在,
则称此极限值为 A? 在点 M 处的 散度,记为 Adiv ?,
2,散度的定义
散度在直角坐标系下的形式
?????
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积分中值定理,
两边取极限,
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高斯公式可写成 ?????
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)co sco sco s( 0 ??? RQPnAA n ????? ??
的边界曲面，是空间闭区域其中 ??
.的外侧法向量上的投影在曲面是向量 ?AA n ?
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（ 1）应用的条件
（ 2）物理意义
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??
??????????? Rdx d yQd z d xP d ydzdvzRyQxP )(
小 结
高斯公式
高斯公式的实质
曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？
思
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题
曲面应是分片光滑的 闭 曲面,
思考题解答
