第十一章 无穷级数习题课
主 要 内 容
典 型 例 题
常数项级数 函数项级数
一
般
项
级
数
正
项
级
数
幂级数 三角级数收
敛
半
径
R
泰勒展开式
数或函数 函 数数
任
意
项
级
数
傅氏展开式
傅氏级数泰勒级数
0)( ?xR
为常数nu )( xuu nn 为函数
满足狄 氏条件
0xx ?取
在收敛 级数与数
条件下 相互转化
??
?1n
nu
一、主要内容
?? ???????
?
?
n
n
n uuuuu 321
1
常数项级数收敛 ( 发散 ) ? nn s??lim 存在 ( 不存在 ),
?
?
?????
n
i
inn uuuus
1
21 ?级数的部分和
级数的收敛与发散
定义
一,常数项级数
收敛级数的基本性质
级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
1
收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,
2
收敛级数加括弧后所成的级数
仍然收敛于原来的和,
3
.0lim ??? nn u级数收敛的必要条件,4
正 项 级 数 任意项级数
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n ?;,0,则级数发散当 ??? nun
一般项级数
4.绝对收敛
常数项级数的审敛法
0,
1
??
?
?
n
n
n uu
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
若 ?
?
? 1n
nu 收敛 ( 发散 ) 且 )( nnnn vuuv ??,
则 ?
?
? 1n
nv 收敛 ( 发散 ),
定义
审敛法
比较审敛法1
二、正项级数及其审敛法
设 ?
?
? 1n
n
u 与 ?
?
? 1n
n
v 都是正项级数,如果 l
v
u
n
n
n
?
??
lim,
则 ( 1 ) 当 ???? l0 时,二级数有相同的敛散性 ;
( 2 ) 当 0?l 时，若 ?
?
? 1n
n
v 收敛,则 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ;
( 3 ) 当
???l
时,若 ?
?
? 1n
n
v 发散,则 ?
?
? 1n
n
u 发散 ;
比较审敛法的极限形式2
设 ?
?
? 1n
nu 为正项级数,
如果 0lim ??
??
lnu n
n
( 或 ??
??
n
n
nulim ),
则级数 ?
?
? 1n
nu 发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
??
l i m 存在,
则级数 ?
?
? 1n
nu 收敛,
极限审敛法 3
设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 )(l i m
1 ??????
??
数或
n
n
n u
u
则 1?? 时级数收敛 ; 1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,
如果 ??
??
n
n
n
ul i m )( ??为数或?,
则 1?? 时级数收敛 ; 1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,
比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ Alembert 判别法 ) 4
根值审敛法 ( 柯西判别法 )
5
正,负项相间的级数称为交错级数,
?n
n
n
n
n
n uu ??
?
?
?
?
? ??
11
1 )1()1( 或
如果交错级数满足条件,
( ⅰ ) ),3,2,1(1 ??? ? nuu nn ;( ⅱ ) 0lim ?
??
n
n
u,则
级数收敛,且其和 1us ?,其余项 nr 的绝对值
1?
?
nn
ur,
)0( ?nu其中
定义
莱布尼茈定理
三、交错级数及其审敛法
正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,
若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则 ?
?
? 1n
nu 收敛,
若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 0n
nu 为绝对收敛 ;
若 ?
?
? 1n
nu 发散,而 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为条件收敛,
定义
定理
定义
四、任意项级数及其审敛法
设 ?? ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI ? 上
的函数,则 ?? ??????
?
?
)()()(
21
1
xuxuxu
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
如果 Ix ?0,数项级数 ?
?
? 1
0 )(
n
n xu 收敛,
定义 1 函数项级数
收敛点与收敛域2
五、函数项级数
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的 收敛点,
否则称为 发散点,
所有发散点的全体称为 发散域,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 )( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
和函数3
形如 n
n
n xxa )(
0
0?
?
?
? 的级数称为 幂级数,
,00 时当 ?x
其中 na 为幂级数系数,
n
n
n xa?
?
? 0
1 定 义
六、幂级数
如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在 0
xx ? 处发散,则它在满足
不等式 0xx ? 的一切 x 处发散,
如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在
)0( 00 ?? xxx 处收敛,则
它在满足不等式 0xx ? 的一切 x 处绝对收敛 ;
收敛性2
阿贝尔定理
如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx ? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx ? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx ??? 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
推论
上面的正数 R称为幂级数的 收敛半径,
幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间,
如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的所有系数
0?na,
设 ???
??
n
n
n a
a 1
lim ( 或 ??
??
n
nn al i m )
( 1 ) 则当 0?? 时,
?
?
1
R ;
( 3 ) 当 ???? 时,0?R,
( 2 ) 当 0?? 时,???R ;
定 理
a.代数运算性质,
加减法
??
?
?
?
?
?
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc
(其中
? ?21,m i n RRR ?
)nnn bac ??
? ?RRx,??
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设 ??
?
?
?
?
幂级数的运算3
乘法
)()(
00
??
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc ? ?RRx,??
(其中 )0110 bababac nnnn ??????? ? ?
除法
?
?
?
?
?
?
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
??
?
?
n
n
n xc
)0(
0
??
?
?n
n
n xb收敛域内
b.和函数的分析运算性质,
幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx ??? 可逐项积分,
幂级数 ?
? 0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(
??
?
?
称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
?
?
? 0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 0x 的 麦克劳林级数,
1 定 义
七、幂级数展开式
)( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU ? 内收
敛于 )( xf ? 在 )( 0xU ? 内 0)(l i m ?
??
xR n
n
,
如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内 能 展开成 )(
0
xx ? 的幂级
数,即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0
?? ?
?
?
,
则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
??? nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
2 充要条件定理
唯一性定理3
a.直接法 (泰勒级数法 )
步骤, ;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n ?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn ???? 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收
b.间接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过
变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积
分 等方法,求展开式,
4 展开方法
),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??
?? ????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),( ?????x
?? ??????? )!2()1(!41!211co s
2
42
n
xxxx nn
),( ?????x
5 常见函数展开式
)1,1(??x
??? ??????????
?
nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2 ??????
?)1ln( x? ?? ??????? ? nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(??x
a.近似计算
b.欧拉公式
,si nco s xixe ix ??
,2c o s
itit ee
t
??
?
,2s i n ieet
itit ??
?
6 应 用
??,s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1 nxnxxxxx
.],[ 上的积分等于零任意两个不同函数在
正交性
???
,0c o s ?? ??? n x d x,0s in ?? ??? n x d x
三角函数系
三角函数系1
八、傅立叶级数
??
?
??
??? ?
?? nm
nmn x d xmx
,
,0s ins in
??
?
??
??? ?
?? nm
nmn x d xmx
,
,0c o sc o s
0c o ss i n ?? ? ?? n x d xmx ),2,1,( ??nm其中
? ?? ?
? 1
0 )s i nco s(
2 n nn nxbnxa
a 三角级数
傅里叶级数2
定义
其中
?
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
??
?
??
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
?
?
nn xd xxfb
nn xd xxfa
n
n
称为傅里叶级数,
? ?? ?
? 1
0 )s i nco s(
2 n nn nxbnxa
a
设 )( xf 是以 ?2 为周期的周期函数, 如果它满足
条件, 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断
点,并且至多只有有限个极值点,则 )( xf 的傅里叶级
数收敛,并且
(1 ) 当 x 是 )( xf 的连续点时,级数收敛于 )( xf ;( 2 ) 当 x 是 )( xf 的间断点时,收敛于
2
)0()0( ??? xfxf;
( 3 ) 当 x 为端点 ???x 时,收敛于 2 )0()0( ?????? ff,
狄利克雷 (Dirichlet)充分条件 (收敛定理 )3
如果 )( xf 为奇函数,傅氏级数 nxb
n
n s i n
1
?
?
?
称为 正弦级数,
当周期为 ?2 的奇函数 )( xf 展开成傅里叶
级数时,它的傅里叶系数为
),2,1(s i n)(
2
),2,1,0(0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
nn x d xxfb
na
n
n
正弦级数与余弦级数3
当周期为 ?2 的偶函数 )( xf 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
),2,1(0
),2,1,0(co s)(
2
0
?
?
??
?
?
? ?
?
nb
nn x d xxfa
n
n
如果 )( xf 为偶函数,傅氏级数 nxa
a
n
n c o s
2 1
0 ??
?
?
称为 余弦级数,
奇延拓,
?
?
?
?
?
??????
?
???
?
0)(
00
0)(
)(
xxf
x
xxf
xF令
的傅氏正弦级数)( xf
.s in)(
1
??
?
?
n
n nxbxf )0( ??? x
周期的延拓5
偶延拓,
??
?
?????
????
0)(
0)()(
xxf
xxfxF令
的傅氏余弦级数)( xf
??
?
??
1
0 co s
2)( n n nxa
axf )0( ??? x
式为则它的傅里叶级数展开的条件
满足收敛定理的周期函数设周期为
,
)(2 xfl
),s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
????? ??
?
),2,1,0(,c o s)(1 ???? ?? ndxl xnxfla l ln
),2,1(,s i n)(1 ???? ?? ndxl xnxflb l ln
式的周期函数的傅氏展开周期为 l26;
)
1
(
)1(
:
1
1
?
?
?
?
?n
n
n
n
n
n
n
判断级数敛散性
例 1
解 n
nn
n
n
n
nn
u
)
1
(
1
?
?
?,
)
1
1(
2
1
n
n
n
n
?
?
二、典型例题
nn
n
n
n nn
1
22 ])
11[(li m)11(li m 2???
????
? ;10 ?? e
x
x
n
n xn
11 li mli m
???? ? }ln
1limex p { x
xx ???
}1limex p { x
x ??
? ;10 ?? e
,01lim ??? ?? nn u
根据级数收敛的必要条件,原级数收敛．;
2
3
c o s
)2(
1
2
?
?
?
?
n
n
nn
解,22 3
c o s 2
nnn
n
nn
u ?
?
?,
2 nn
nv ?令
n
n
v
v n
nn
n
n
n
2
2
1li mli m
1
1 ???
????
?
???
? n
n 2
lim?
???,12
1 ??
,2
1
收敛?
?
?
?
n
n
n根据比较判别法,原级数收敛．
?
?
?
?
?
?
1
).0(
)1(
)2l n ()3(
n n
a
n
a
n
解
n
a
nu n
n
n
nn 1
)2ln (limlim
?
??
??????,)2ln (li m1 n
n
na ??
???
,2,2 nenn ??? 时? 从而有
,)2l n (1 nn nn ???
,1li m ???? nn n由于,1)2ln (li m ????? nn n,1l i m aun nn ????
,1100 时即当 ??? aa 原级数收敛；
,1110 时即当 ??? aa原级数发散；
,1 时当 ?a
,
)11(
)2l n (
1
?
?
? ?
?
n n
n
n原级数为
,
)11(
)2l n (lim ???
?
?
??? nn
n
n?
原级数也发散．
敛？是条件收敛还是绝对收
敛？如果收敛，是否收判断级数 ?
?
? ?
?
1 ln
)1(
n
n
nn
例２
解,1ln1 nnn ???,1
1
发散而 ?
?
?n n
,ln1ln )1(
11
发散??
?
?
?
? ?
????
nn
n
nnnn
即原级数非绝对收敛．
,ln)1(
1
级数是交错?
?
? ?
?
n
n
nn 由莱布尼茨定理：
x
x
n
n
xn
lnlimlnlim
??????
??,01lim ??
??? xx
,0
ln
1
1
lim
ln
1
lim ?
?
?
?
?
??????
n
n
n
nn nn
),0(ln)( ??? xxxxf?
),1(011)( ????? xxxf
,),1( 上单增在 ???,ln1 单减即 xx ?
,1ln1 时单减当故 ?? nnn
),1()1ln ()1( 1ln1 1 ????????? ? nunnnnu nn
所以此交错级数收敛,故原级数是条件收敛．
.)1)(1(
0
敛域及和函数收求级数 ?
?
?
??
n
nxn
例３
解,1)1)(1(
0
????
?
?
Rxn
n
n 敛半径为的收?
,111 ???? x收敛域为,20 ?? x即
则有设此级数的和函数为 ),( xs
.)1)(1()(
0
??
?
???
n
nxnxs
两边逐项积分
??
?
???
0
1
1)1(
n
xnx
? ?? ?
?
???
0 11
)1)(1()(
n
x nx dxxndxxs
??
?
???
0
1)1(
n
nx
)1(1
1
??
??
x
x,
2
1
x
x
?
??
求导，得两边再对 x
)2 1()( ???? xxxs,)2( 1 2??
.
1lna r c t a n)( 2
克劳林级数
展开成麦将 xxxxf ???
例 4
解,32)1ln (
32
?? ????? xxxx
,)1(32)1ln (
2
1
64
22 ?? ????????? ?
n
xxxxx nn
)11( ??? x
? ?? x dxxx 0 21 1a rct a n又
? ???????? x nn dxxxxx0 2642 ])1(1[ ??
?? ?????????
?
12)1(753
12753
n
xxxxx nn
)11( ??? x
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
1
2
1
0
22
2
)1(
2
1
12
)1(
1lna rct a n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
xxx故
?? ?
?
??
?
?
?????? 0
22
0
22
22)1(2
1
12)1( n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
.)22)(12()1(
0
22??
?
?
???? n
n
n
nn
x)11( ??? x
的幂级数．成
的和函数展开将级数
)1(
)!12(2
)1( 12
1
1
1
?
?
?
? ??
?
?
?
?
x
n
x n
n
n
n
例 5
解
．设法用已知展开式来解
的展开式，是分析 x
n
x
n
n
n s in
)!12(
)1(
1
12
1?
?
?
?
?
?
??
?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
?
1
12
1
1
12
1
1
)2()!12( )1(2)!12(2 )1(
n
n
n
n
n
n
n x
nn
x
2s i n2
x?
2
11s i n2 ??? x
2
1s i n
2
1co s2
2
1co s
2
1s i n2 ???? xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0
12
0
2
)
2
1
(
)!12(
)1(
2
1
c o s2
)
2
1
(
)!2(
)1(
2
1
s i n2
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
12
0
2
)1(
)!12(2
)1(
2
1
co s
)1(
)!2(2
)1(
2
1
s in2
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
),( ????
形．函数，同时画出它的图
写出该级数的和的正弦级数并在
为周期内展开成以在将
??
??
22
20c o s
???
??
x
xx
例 6
解
,co s
),(,s i nco s
2),0(co s)(
1
进行奇开拓内对
必须在周期的正弦级数
为内展开成以在要将
x
nxbx
xxf
n
n
????
???
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
??
?
),0,(c o s
,00
),,0(c o s
)(
xx
x
xx
xF令
? ??? 0 s i nco s2 n x d xxb n
? ? ????? 0 ])1s in ()1[ s in (1 dxxnxn
]1)1(11)1(1[1
11
?
???
?
??
??
??
nn
nn
??
?
?
?
?
??
??
? mn
n
n
mno
2,
)1(
4
12,
2
)1( ?n
,0?na
? ??? 01 2s i n1 x d xb,0?
??
?
???????
1
2 )0(.2s in)14(
8c o s
m
xmxm mx
上级数的和函数为在 ????? 22 x
?
?
?
?
?
??????
?????
??????
?
),2,()0,(c o s
2,,00
),2(),0(,c o s
)(
?
?
xx
x
xx
xs
和函数的图形为
x
y
o ? ?2????2
的和．由此求级数为周期的付氏级数，并以
内展开成将函数
?
?
?
?????
1
2
1
2
)11(2)(
n n
xxxf
例 7
解,)11(2)( 是偶函数????? xxxf?
? ??? 100 )2(12 dxxa,5
? ??? 10 1co s)2(12 dxxnxa n ? ?? 10 c o s2 x d xnx
? ??? 10 s i n2 xnxdn ]1)1[(2 22 ???? nn
??
?
?
?
??
?
?
?
? 12,4
2,0
22 knn
kn
),2,1( ??k
,0?nb
??
?
????????
1
22 )12c o s ()12(
4
2
52
k
xkkx故
??
? ?
??
??? 1 22,)12(
)12c o s (4
2
5
k k
xk)11( ??? x
,0?x取 由上式得 ?
?
? ??
??
1
22,)12(
14
2
52
k k
?
?
?
??
?? 1
2
2,8)12(
1
k k
??? ?
?
?
?
?
?
???
1
2
1
2
1
2 )2(
1
)12(
11
kkn kkn
而
,141)12( 1
1
2
1
2 ??
?
?
?
?
???
kk kk
3
4
8
1 2
1
2 ?
??? ??
?n n
.6
2?
?
．
时，０当证明：
624
c o s 22
1
2
?
?
?
??
?
???
?
?
?
xx
n
n
x
n
例 8
解,24)(
2 xx
xf ???设
上展开成余弦级数：［在将 ],0)( ?xf
? ? ???? 0
2
0 )24(
2 dxxxa )
412(
2 33 ???
??,3
3?
?
? ? ????? 0
2
c o s)24(2 dxnxxa n
]s in)22(s in)24[(2 00
2
nx d xxnxxxn ? ?? ???????
nxdxn co s)22(2 02 ? ? ???? 222 ???? n,12n?
)0(c o s624
1
2
22
??????????? ?
?
?
xn nxx
n
．
．故 624c o s
22
1
2
????????
?
xx
n
n
n
一,选择题,
1,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A) ?
?
? 1
1
n
n； (B ) ?
?
? 1
1
n
nn；
( C) ?
?
? 1
3 2
1
n n； (D) ?
?
?
?
1
)1(
n
n
.
2,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A)
1
1
)
4
5
(
?
?
?
?
n
n； (B)
1
1
)
5
4
(
?
?
?
?
n
n；
(C )
1
1
1
)
4
5
()1(
?
?
?
?
? ?
n
n
n； ( D) ?
?
?
?
?
1
1
)
5
4
4
5
(
n
n
.
测验题
3,下列级数中,收敛的是 ( )
(A ) ?
?
? 1
2
2
2
)!(
n
n
n； (B) ?
?
? 1
!3
n
n
n
n
n；
(C ) ?
?
? 2
2
s i n
1
n
n
?
?； (D ) ?
?
?
?
?
1
)2(
1
n
nn
n
.
4,部分和数列 ? ?ns 有界是正项级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛的
( )
(A ) 充分条件； ( B) 必要条件；
(C) 充要条件； (D ) 既非充分又非必要条件,
5,设 a 为非零常数,则当 ( ) 时,级数 ?
?
? 1n
n
r
a
收敛,
(A ) 1?r ； ( B) 1?r ；
(C ) ar ? ； ( D) 1?r,
6,幂级数 ?
?
?
?
?
?
1
1
)1(
)1(
n
n
n
n
x
的收敛区间是 ( ),
(A)
)2,0(； ( B)
)2,0[；
(C)
]2,0(； ( D)
]2,0[
.
7,若幂级 ?
?
? 0n
n
n
xa 的收敛半径为,
1
R ????
1
0 R ;
?
?
? 0n
n
n
xb 的收敛半径为,
2
R ????
2
0 R,则幂级数
?
?
?
?
0
)(
n
n
nn
xba 的收敛半径至少为 ( )
( A) 21
RR ?； (B) 21
RR ?；
( C)
? ?
21
,m a x RR； (D)
? ?
21
,m i n RR
,
8,当
0?R
时,级数
2
1
)1(
n
nk
n
n
?
??
?
?
是 ( )
( A) 条件收敛； (B) 绝对收敛；
( C) 发散； (D) 敛散性与
值无关k
.
9, 0lim ?
??
n
n
u 是级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛的 ( )
( A) 充分条件； (B ) 必要条件；
( C) 充要条件； (D ) 既非充分又非必要条件,
10,幂级数 ?
?
?
?
1
)1(
n
n
xnn 的收敛区间是 ( )
( A)
)1,1( ?； (B)
]1,1( ?；
(C)
)1,1[ ?； ( D)
]1,1[ ?
.二,判别下列级数的收敛性,
1, ?
?
? 1
2
2
2
)!(
n n
n； 2, ?
?
? 1
2
2
3
c o s
n
n
n
n
?
.
三、判别级数
?
?
?
?
?
1
1
ln)1(
n
n
n
n
的敛散性,
四、求极限 ])2(842[lim
3
1
27
1
9
1
3
1
n
n
n
????
??
?,
五,求下列幂级数的收敛区间,
1, ?
?
?
?
1
53
n
n
nn
x
n； 2, ?
?
? 1
2
2
n
n
n
x
n
.
六,求幂级数 ?
?
?
?
1
)1(
n
n
nn
x
的和函数,
七,求数项级数 ?
?
? 1
2
!
n
n
n
的和,
八,试将函数
2
)2(
1
x?
展开成
的幂级数x
.
九,设 )( xf 是周期为 ?2 的函数,它在 ],[ ??? 上的表达式
为
?
?
?
??
???
?
),0[,
)0,[,0
)(
xe
x
xf
x
将 )( xf 展开成傅立叶级
数,
十,将函数
?
?
?
???
??
?
xh
hx
xf
,0
0,1
)( 分别展开成正弦级数
和余弦级数,
十一、证明, 如果
)(),()( xfxfxf ????
以
为周期?2
,
则
)( xf
的傅立叶系数
0
0
?a
,
),2,1(0,0
22
???? kba
kk,
一,1, B ； 2, B ； 3, C ； 4, C ； 5, D ；
6, C ； 7, D ； 8, A ； 9, B ； 1 0, A,
二,1,发散； 2,收敛,
三、条件收敛,
四、
4
8
,( 提示, 化成
?? ????
n
n
33
2
3
1
2
2 )
五,1, )
5
1
,
5
1
[ ? ； 2, )2,2( ?,
六、
?
?
?
?
?
?
??????
?
0,0
)1,0()0,1(),1l n ()1
1
(1
)(
x
xx
x
xs,
七、
e2
.
测验题解答 请记录
八,)2,2(,
2)2(
1
1
1
12
???
?
?
?
?
?
?
xx
n
x
n
n
n
九,nx
n
ee
xf
n
n
c o s
1
1)1(
[
1
2
1
)(
1
2?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
]s i n
1
)1)1((
2
1
nx
n
en
n
?
??
?
??
,
(
?,2,1,0,??????????? nnxx 且
),
十,),(),0(,s i n
c o s12
)(
1
???
?
?
? ?
?
?
hhxnx
n
nh
xf
n
),(),0[,c o s
s i n2
)(
1
???
?
?
?
? ?
?
?
hhxnx
n
nhh
xf
n
.
主 要 内 容
典 型 例 题
常数项级数 函数项级数
一
般
项
级
数
正
项
级
数
幂级数 三角级数收
敛
半
径
R
泰勒展开式
数或函数 函 数数
任
意
项
级
数
傅氏展开式
傅氏级数泰勒级数
0)( ?xR
为常数nu )( xuu nn 为函数
满足狄 氏条件
0xx ?取
在收敛 级数与数
条件下 相互转化
??
?1n
nu
一、主要内容
?? ???????
?
?
n
n
n uuuuu 321
1
常数项级数收敛 ( 发散 ) ? nn s??lim 存在 ( 不存在 ),
?
?
?????
n
i
inn uuuus
1
21 ?级数的部分和
级数的收敛与发散
定义
一,常数项级数
收敛级数的基本性质
级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
1
收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,
2
收敛级数加括弧后所成的级数
仍然收敛于原来的和,
3
.0lim ??? nn u级数收敛的必要条件,4
正 项 级 数 任意项级数
1.
2.
4.充要条件
5.比较法
6.比值法
7.根值法
4.绝对收敛
5.交错级数
(莱布尼茨定理 )
3.按基本性质 ;;,则级数收敛若 SS n ?;,0,则级数发散当 ??? nun
一般项级数
4.绝对收敛
常数项级数的审敛法
0,
1
??
?
?
n
n
n uu
.有界部分和所成的数列正项级数收敛 ns?
若 ?
?
? 1n
nu 收敛 ( 发散 ) 且 )( nnnn vuuv ??,
则 ?
?
? 1n
nv 收敛 ( 发散 ),
定义
审敛法
比较审敛法1
二、正项级数及其审敛法
设 ?
?
? 1n
n
u 与 ?
?
? 1n
n
v 都是正项级数,如果 l
v
u
n
n
n
?
??
lim,
则 ( 1 ) 当 ???? l0 时,二级数有相同的敛散性 ;
( 2 ) 当 0?l 时，若 ?
?
? 1n
n
v 收敛,则 ?
?
? 1n
n
u 收敛 ;
( 3 ) 当
???l
时,若 ?
?
? 1n
n
v 发散,则 ?
?
? 1n
n
u 发散 ;
比较审敛法的极限形式2
设 ?
?
? 1n
nu 为正项级数,
如果 0lim ??
??
lnu n
n
( 或 ??
??
n
n
nulim ),
则级数 ?
?
? 1n
nu 发散 ;
如果有 1?p,使得 n
p
n
un
??
l i m 存在,
则级数 ?
?
? 1n
nu 收敛,
极限审敛法 3
设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,如果 )(l i m
1 ??????
??
数或
n
n
n u
u
则 1?? 时级数收敛 ; 1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,设 ?
?
? 1n
nu 是正项级数,
如果 ??
??
n
n
n
ul i m )( ??为数或?,
则 1?? 时级数收敛 ; 1?? 时级数发散 ; 1?? 时失效,
比值审敛法 ( 达朗贝尔 D ’ Alembert 判别法 ) 4
根值审敛法 ( 柯西判别法 )
5
正,负项相间的级数称为交错级数,
?n
n
n
n
n
n uu ??
?
?
?
?
? ??
11
1 )1()1( 或
如果交错级数满足条件,
( ⅰ ) ),3,2,1(1 ??? ? nuu nn ;( ⅱ ) 0lim ?
??
n
n
u,则
级数收敛,且其和 1us ?,其余项 nr 的绝对值
1?
?
nn
ur,
)0( ?nu其中
定义
莱布尼茈定理
三、交错级数及其审敛法
正项和负项任意出现的级数称为任意项级数,
若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则 ?
?
? 1n
nu 收敛,
若 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 0n
nu 为绝对收敛 ;
若 ?
?
? 1n
nu 发散,而 ?
?
? 1n
nu 收敛,则称 ?
?
? 1n
nu 为条件收敛,
定义
定理
定义
四、任意项级数及其审敛法
设 ?? ),(,),(),(
21
xuxuxu
n
是定义在 RI ? 上
的函数,则 ?? ??????
?
?
)()()(
21
1
xuxuxu
n
n
称为定义在区间 I 上的 ( 函数项 ) 无穷级数,
如果 Ix ?0,数项级数 ?
?
? 1
0 )(
n
n xu 收敛,
定义 1 函数项级数
收敛点与收敛域2
五、函数项级数
则称 0x 为级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的 收敛点,
否则称为 发散点,
所有发散点的全体称为 发散域,
函数项级数 )(
1
xu
n
n?
?
?
的所有收敛点的全体称为 收敛域,
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 )( xs,
称 )( xs 为函数项级数的 和函数,
和函数3
形如 n
n
n xxa )(
0
0?
?
?
? 的级数称为 幂级数,
,00 时当 ?x
其中 na 为幂级数系数,
n
n
n xa?
?
? 0
1 定 义
六、幂级数
如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在 0
xx ? 处发散,则它在满足
不等式 0xx ? 的一切 x 处发散,
如果级数 ?
?
? 0n
n
n xa 在
)0( 00 ?? xxx 处收敛,则
它在满足不等式 0xx ? 的一切 x 处绝对收敛 ;
收敛性2
阿贝尔定理
如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 不是仅在 0?x 一点收敛,也
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质,
当 Rx ? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx ? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx ??? 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
推论
上面的正数 R称为幂级数的 收敛半径,
幂级数的收敛域称为幂级数的 收敛区间,
如果幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的所有系数
0?na,
设 ???
??
n
n
n a
a 1
lim ( 或 ??
??
n
nn al i m )
( 1 ) 则当 0?? 时,
?
?
1
R ;
( 3 ) 当 ???? 时,0?R,
( 2 ) 当 0?? 时,???R ;
定 理
a.代数运算性质,
加减法
??
?
?
?
?
?
00 n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc
(其中
? ?21,m i n RRR ?
)nnn bac ??
? ?RRx,??
,21
00
RRxbxa
n
n
n
n
n
n 和的收敛半径各为和设 ??
?
?
?
?
幂级数的运算3
乘法
)()(
00
??
?
?
?
?
?
n
n
n
n
n
n xbxa,
0
??
?
?
n
n
n xc ? ?RRx,??
(其中 )0110 bababac nnnn ??????? ? ?
除法
?
?
?
?
?
?
0
0
n
n
n
n
n
n
xb
xa
.
0
??
?
?
n
n
n xc
)0(
0
??
?
?n
n
n xb收敛域内
b.和函数的分析运算性质,
幂级数 ?
?
? 0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续,
幂级数 ?
?
? 0n
n
n xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可积,且对 ),( RRx ??? 可逐项积分,
幂级数 ?
? 0n
n
n
xa 的和函数 )( xs 在收敛区间
),( RR? 内可导,并可逐项求导任意次,
如果 )( xf 在点 0x 处任意阶可导,则幂级数
n
n
n
xx
n
xf
)(
!
)(
0
0
0
)(
??
?
?
称为 )( xf 在点 0x 的 泰勒级数,
n
n
n
x
n
f
?
?
? 0
)(
!
)0(
称为 )( xf 在点 0x 的 麦克劳林级数,
1 定 义
七、幂级数展开式
)( xf 在点 0x 的泰勒级数,在 )( 0xU ? 内收
敛于 )( xf ? 在 )( 0xU ? 内 0)(l i m ?
??
xR n
n
,
如果函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内 能 展开成 )(
0
xx ? 的幂级
数,即
n
n
n
xxaxf )()(
0
0
?? ?
?
?
,
则其系数 ),2,1,0()(
!
1
0
)(
??? nxf
n
a
n
n
且展开式是唯一的,
2 充要条件定理
唯一性定理3
a.直接法 (泰勒级数法 )
步骤, ;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n ?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn ???? 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收
b.间接法 根据唯一性,利用常见展开式,通过
变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积
分 等方法,求展开式,
4 展开方法
),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??
?? ????????
?
)!12()1(!5
1
!3
1s i n 1253
n
xxxxx nn
),( ?????x
?? ??????? )!2()1(!41!211co s
2
42
n
xxxx nn
),( ?????x
5 常见函数展开式
)1,1(??x
??? ??????????
?
nx
n
nxx
x
!
)1()1(
!2
)1(1
)1(
2 ??????
?)1ln( x? ?? ??????? ? nxxxx
n
n 132 )1(
3
1
2
1
]1,1(??x
a.近似计算
b.欧拉公式
,si nco s xixe ix ??
,2c o s
itit ee
t
??
?
,2s i n ieet
itit ??
?
6 应 用
??,s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1 nxnxxxxx
.],[ 上的积分等于零任意两个不同函数在
正交性
???
,0c o s ?? ??? n x d x,0s in ?? ??? n x d x
三角函数系
三角函数系1
八、傅立叶级数
??
?
??
??? ?
?? nm
nmn x d xmx
,
,0s ins in
??
?
??
??? ?
?? nm
nmn x d xmx
,
,0c o sc o s
0c o ss i n ?? ? ?? n x d xmx ),2,1,( ??nm其中
? ?? ?
? 1
0 )s i nco s(
2 n nn nxbnxa
a 三角级数
傅里叶级数2
定义
其中
?
?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
?
??
?
??
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
?
?
nn xd xxfb
nn xd xxfa
n
n
称为傅里叶级数,
? ?? ?
? 1
0 )s i nco s(
2 n nn nxbnxa
a
设 )( xf 是以 ?2 为周期的周期函数, 如果它满足
条件, 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断
点,并且至多只有有限个极值点,则 )( xf 的傅里叶级
数收敛,并且
(1 ) 当 x 是 )( xf 的连续点时,级数收敛于 )( xf ;( 2 ) 当 x 是 )( xf 的间断点时,收敛于
2
)0()0( ??? xfxf;
( 3 ) 当 x 为端点 ???x 时,收敛于 2 )0()0( ?????? ff,
狄利克雷 (Dirichlet)充分条件 (收敛定理 )3
如果 )( xf 为奇函数,傅氏级数 nxb
n
n s i n
1
?
?
?
称为 正弦级数,
当周期为 ?2 的奇函数 )( xf 展开成傅里叶
级数时,它的傅里叶系数为
),2,1(s i n)(
2
),2,1,0(0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
nn x d xxfb
na
n
n
正弦级数与余弦级数3
当周期为 ?2 的偶函数 )( xf 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
),2,1(0
),2,1,0(co s)(
2
0
?
?
??
?
?
? ?
?
nb
nn x d xxfa
n
n
如果 )( xf 为偶函数,傅氏级数 nxa
a
n
n c o s
2 1
0 ??
?
?
称为 余弦级数,
奇延拓,
?
?
?
?
?
??????
?
???
?
0)(
00
0)(
)(
xxf
x
xxf
xF令
的傅氏正弦级数)( xf
.s in)(
1
??
?
?
n
n nxbxf )0( ??? x
周期的延拓5
偶延拓,
??
?
?????
????
0)(
0)()(
xxf
xxfxF令
的傅氏余弦级数)( xf
??
?
??
1
0 co s
2)( n n nxa
axf )0( ??? x
式为则它的傅里叶级数展开的条件
满足收敛定理的周期函数设周期为
,
)(2 xfl
),s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n
????? ??
?
),2,1,0(,c o s)(1 ???? ?? ndxl xnxfla l ln
),2,1(,s i n)(1 ???? ?? ndxl xnxflb l ln
式的周期函数的傅氏展开周期为 l26;
)
1
(
)1(
:
1
1
?
?
?
?
?n
n
n
n
n
n
n
判断级数敛散性
例 1
解 n
nn
n
n
n
nn
u
)
1
(
1
?
?
?,
)
1
1(
2
1
n
n
n
n
?
?
二、典型例题
nn
n
n
n nn
1
22 ])
11[(li m)11(li m 2???
????
? ;10 ?? e
x
x
n
n xn
11 li mli m
???? ? }ln
1limex p { x
xx ???
}1limex p { x
x ??
? ;10 ?? e
,01lim ??? ?? nn u
根据级数收敛的必要条件,原级数收敛．;
2
3
c o s
)2(
1
2
?
?
?
?
n
n
nn
解,22 3
c o s 2
nnn
n
nn
u ?
?
?,
2 nn
nv ?令
n
n
v
v n
nn
n
n
n
2
2
1li mli m
1
1 ???
????
?
???
? n
n 2
lim?
???,12
1 ??
,2
1
收敛?
?
?
?
n
n
n根据比较判别法,原级数收敛．
?
?
?
?
?
?
1
).0(
)1(
)2l n ()3(
n n
a
n
a
n
解
n
a
nu n
n
n
nn 1
)2ln (limlim
?
??
??????,)2ln (li m1 n
n
na ??
???
,2,2 nenn ??? 时? 从而有
,)2l n (1 nn nn ???
,1li m ???? nn n由于,1)2ln (li m ????? nn n,1l i m aun nn ????
,1100 时即当 ??? aa 原级数收敛；
,1110 时即当 ??? aa原级数发散；
,1 时当 ?a
,
)11(
)2l n (
1
?
?
? ?
?
n n
n
n原级数为
,
)11(
)2l n (lim ???
?
?
??? nn
n
n?
原级数也发散．
敛？是条件收敛还是绝对收
敛？如果收敛，是否收判断级数 ?
?
? ?
?
1 ln
)1(
n
n
nn
例２
解,1ln1 nnn ???,1
1
发散而 ?
?
?n n
,ln1ln )1(
11
发散??
?
?
?
? ?
????
nn
n
nnnn
即原级数非绝对收敛．
,ln)1(
1
级数是交错?
?
? ?
?
n
n
nn 由莱布尼茨定理：
x
x
n
n
xn
lnlimlnlim
??????
??,01lim ??
??? xx
,0
ln
1
1
lim
ln
1
lim ?
?
?
?
?
??????
n
n
n
nn nn
),0(ln)( ??? xxxxf?
),1(011)( ????? xxxf
,),1( 上单增在 ???,ln1 单减即 xx ?
,1ln1 时单减当故 ?? nnn
),1()1ln ()1( 1ln1 1 ????????? ? nunnnnu nn
所以此交错级数收敛,故原级数是条件收敛．
.)1)(1(
0
敛域及和函数收求级数 ?
?
?
??
n
nxn
例３
解,1)1)(1(
0
????
?
?
Rxn
n
n 敛半径为的收?
,111 ???? x收敛域为,20 ?? x即
则有设此级数的和函数为 ),( xs
.)1)(1()(
0
??
?
???
n
nxnxs
两边逐项积分
??
?
???
0
1
1)1(
n
xnx
? ?? ?
?
???
0 11
)1)(1()(
n
x nx dxxndxxs
??
?
???
0
1)1(
n
nx
)1(1
1
??
??
x
x,
2
1
x
x
?
??
求导，得两边再对 x
)2 1()( ???? xxxs,)2( 1 2??
.
1lna r c t a n)( 2
克劳林级数
展开成麦将 xxxxf ???
例 4
解,32)1ln (
32
?? ????? xxxx
,)1(32)1ln (
2
1
64
22 ?? ????????? ?
n
xxxxx nn
)11( ??? x
? ?? x dxxx 0 21 1a rct a n又
? ???????? x nn dxxxxx0 2642 ])1(1[ ??
?? ?????????
?
12)1(753
12753
n
xxxxx nn
)11( ??? x
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
1
2
1
0
22
2
)1(
2
1
12
)1(
1lna rct a n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
xxx故
?? ?
?
??
?
?
?????? 0
22
0
22
22)1(2
1
12)1( n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
.)22)(12()1(
0
22??
?
?
???? n
n
n
nn
x)11( ??? x
的幂级数．成
的和函数展开将级数
)1(
)!12(2
)1( 12
1
1
1
?
?
?
? ??
?
?
?
?
x
n
x n
n
n
n
例 5
解
．设法用已知展开式来解
的展开式，是分析 x
n
x
n
n
n s in
)!12(
)1(
1
12
1?
?
?
?
?
?
??
?? ?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
?
1
12
1
1
12
1
1
)2()!12( )1(2)!12(2 )1(
n
n
n
n
n
n
n x
nn
x
2s i n2
x?
2
11s i n2 ??? x
2
1s i n
2
1co s2
2
1co s
2
1s i n2 ???? xx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0
12
0
2
)
2
1
(
)!12(
)1(
2
1
c o s2
)
2
1
(
)!2(
)1(
2
1
s i n2
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
12
0
2
)1(
)!12(2
)1(
2
1
co s
)1(
)!2(2
)1(
2
1
s in2
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
),( ????
形．函数，同时画出它的图
写出该级数的和的正弦级数并在
为周期内展开成以在将
??
??
22
20c o s
???
??
x
xx
例 6
解
,co s
),(,s i nco s
2),0(co s)(
1
进行奇开拓内对
必须在周期的正弦级数
为内展开成以在要将
x
nxbx
xxf
n
n
????
???
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
??
?
),0,(c o s
,00
),,0(c o s
)(
xx
x
xx
xF令
? ??? 0 s i nco s2 n x d xxb n
? ? ????? 0 ])1s in ()1[ s in (1 dxxnxn
]1)1(11)1(1[1
11
?
???
?
??
??
??
nn
nn
??
?
?
?
?
??
??
? mn
n
n
mno
2,
)1(
4
12,
2
)1( ?n
,0?na
? ??? 01 2s i n1 x d xb,0?
??
?
???????
1
2 )0(.2s in)14(
8c o s
m
xmxm mx
上级数的和函数为在 ????? 22 x
?
?
?
?
?
??????
?????
??????
?
),2,()0,(c o s
2,,00
),2(),0(,c o s
)(
?
?
xx
x
xx
xs
和函数的图形为
x
y
o ? ?2????2
的和．由此求级数为周期的付氏级数，并以
内展开成将函数
?
?
?
?????
1
2
1
2
)11(2)(
n n
xxxf
例 7
解,)11(2)( 是偶函数????? xxxf?
? ??? 100 )2(12 dxxa,5
? ??? 10 1co s)2(12 dxxnxa n ? ?? 10 c o s2 x d xnx
? ??? 10 s i n2 xnxdn ]1)1[(2 22 ???? nn
??
?
?
?
??
?
?
?
? 12,4
2,0
22 knn
kn
),2,1( ??k
,0?nb
??
?
????????
1
22 )12c o s ()12(
4
2
52
k
xkkx故
??
? ?
??
??? 1 22,)12(
)12c o s (4
2
5
k k
xk)11( ??? x
,0?x取 由上式得 ?
?
? ??
??
1
22,)12(
14
2
52
k k
?
?
?
??
?? 1
2
2,8)12(
1
k k
??? ?
?
?
?
?
?
???
1
2
1
2
1
2 )2(
1
)12(
11
kkn kkn
而
,141)12( 1
1
2
1
2 ??
?
?
?
?
???
kk kk
3
4
8
1 2
1
2 ?
??? ??
?n n
.6
2?
?
．
时，０当证明：
624
c o s 22
1
2
?
?
?
??
?
???
?
?
?
xx
n
n
x
n
例 8
解,24)(
2 xx
xf ???设
上展开成余弦级数：［在将 ],0)( ?xf
? ? ???? 0
2
0 )24(
2 dxxxa )
412(
2 33 ???
??,3
3?
?
? ? ????? 0
2
c o s)24(2 dxnxxa n
]s in)22(s in)24[(2 00
2
nx d xxnxxxn ? ?? ???????
nxdxn co s)22(2 02 ? ? ???? 222 ???? n,12n?
)0(c o s624
1
2
22
??????????? ?
?
?
xn nxx
n
．
．故 624c o s
22
1
2
????????
?
xx
n
n
n
一,选择题,
1,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A) ?
?
? 1
1
n
n； (B ) ?
?
? 1
1
n
nn；
( C) ?
?
? 1
3 2
1
n n； (D) ?
?
?
?
1
)1(
n
n
.
2,下列级数中,收敛的是 ( ).
( A)
1
1
)
4
5
(
?
?
?
?
n
n； (B)
1
1
)
5
4
(
?
?
?
?
n
n；
(C )
1
1
1
)
4
5
()1(
?
?
?
?
? ?
n
n
n； ( D) ?
?
?
?
?
1
1
)
5
4
4
5
(
n
n
.
测验题
3,下列级数中,收敛的是 ( )
(A ) ?
?
? 1
2
2
2
)!(
n
n
n； (B) ?
?
? 1
!3
n
n
n
n
n；
(C ) ?
?
? 2
2
s i n
1
n
n
?
?； (D ) ?
?
?
?
?
1
)2(
1
n
nn
n
.
4,部分和数列 ? ?ns 有界是正项级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛的
( )
(A ) 充分条件； ( B) 必要条件；
(C) 充要条件； (D ) 既非充分又非必要条件,
5,设 a 为非零常数,则当 ( ) 时,级数 ?
?
? 1n
n
r
a
收敛,
(A ) 1?r ； ( B) 1?r ；
(C ) ar ? ； ( D) 1?r,
6,幂级数 ?
?
?
?
?
?
1
1
)1(
)1(
n
n
n
n
x
的收敛区间是 ( ),
(A)
)2,0(； ( B)
)2,0[；
(C)
]2,0(； ( D)
]2,0[
.
7,若幂级 ?
?
? 0n
n
n
xa 的收敛半径为,
1
R ????
1
0 R ;
?
?
? 0n
n
n
xb 的收敛半径为,
2
R ????
2
0 R,则幂级数
?
?
?
?
0
)(
n
n
nn
xba 的收敛半径至少为 ( )
( A) 21
RR ?； (B) 21
RR ?；
( C)
? ?
21
,m a x RR； (D)
? ?
21
,m i n RR
,
8,当
0?R
时,级数
2
1
)1(
n
nk
n
n
?
??
?
?
是 ( )
( A) 条件收敛； (B) 绝对收敛；
( C) 发散； (D) 敛散性与
值无关k
.
9, 0lim ?
??
n
n
u 是级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛的 ( )
( A) 充分条件； (B ) 必要条件；
( C) 充要条件； (D ) 既非充分又非必要条件,
10,幂级数 ?
?
?
?
1
)1(
n
n
xnn 的收敛区间是 ( )
( A)
)1,1( ?； (B)
]1,1( ?；
(C)
)1,1[ ?； ( D)
]1,1[ ?
.二,判别下列级数的收敛性,
1, ?
?
? 1
2
2
2
)!(
n n
n； 2, ?
?
? 1
2
2
3
c o s
n
n
n
n
?
.
三、判别级数
?
?
?
?
?
1
1
ln)1(
n
n
n
n
的敛散性,
四、求极限 ])2(842[lim
3
1
27
1
9
1
3
1
n
n
n
????
??
?,
五,求下列幂级数的收敛区间,
1, ?
?
?
?
1
53
n
n
nn
x
n； 2, ?
?
? 1
2
2
n
n
n
x
n
.
六,求幂级数 ?
?
?
?
1
)1(
n
n
nn
x
的和函数,
七,求数项级数 ?
?
? 1
2
!
n
n
n
的和,
八,试将函数
2
)2(
1
x?
展开成
的幂级数x
.
九,设 )( xf 是周期为 ?2 的函数,它在 ],[ ??? 上的表达式
为
?
?
?
??
???
?
),0[,
)0,[,0
)(
xe
x
xf
x
将 )( xf 展开成傅立叶级
数,
十,将函数
?
?
?
???
??
?
xh
hx
xf
,0
0,1
)( 分别展开成正弦级数
和余弦级数,
十一、证明, 如果
)(),()( xfxfxf ????
以
为周期?2
,
则
)( xf
的傅立叶系数
0
0
?a
,
),2,1(0,0
22
???? kba
kk,
一,1, B ； 2, B ； 3, C ； 4, C ； 5, D ；
6, C ； 7, D ； 8, A ； 9, B ； 1 0, A,
二,1,发散； 2,收敛,
三、条件收敛,
四、
4
8
,( 提示, 化成
?? ????
n
n
33
2
3
1
2
2 )
五,1, )
5
1
,
5
1
[ ? ； 2, )2,2( ?,
六、
?
?
?
?
?
?
??????
?
0,0
)1,0()0,1(),1l n ()1
1
(1
)(
x
xx
x
xs,
七、
e2
.
测验题解答 请记录
八,)2,2(,
2)2(
1
1
1
12
???
?
?
?
?
?
?
xx
n
x
n
n
n
九,nx
n
ee
xf
n
n
c o s
1
1)1(
[
1
2
1
)(
1
2?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
]s i n
1
)1)1((
2
1
nx
n
en
n
?
??
?
??
,
(
?,2,1,0,??????????? nnxx 且
),
十,),(),0(,s i n
c o s12
)(
1
???
?
?
? ?
?
?
hhxnx
n
nh
xf
n
),(),0[,c o s
s i n2
)(
1
???
?
?
?
? ?
?
?
hhxnx
n
nhh
xf
n
.
