第十一章 无穷级数
常数项级数的概念和性质
常数项级数的审敛法
幂级数
函数展开成幂级数
函数幂级数展开式的应用
傅立叶级数
正弦级数和余弦级数
周期为 2l的周期函数的傅立叶级数
第一节 常数项级数的概念
小结
级数的概念
级数的基本性质
问题的提出
级数收敛的必要条件
1,计算圆的面积 R
正六边形的面积
正十二边形的面积
1a
21 aa ?
正 形的面积n23? naaa ??? ?21
naaaA ???? ?21即
?? ???????
?
n10
3
1000
3
100
3
10
33.0
3
1.2
一,问题的提出
1定义：级数
?? ???????
?
?
n
n
n uuuuu 321
1 (常数项 )无穷级数
一般项
部分和数列
?
?
?????
n
i
inn uuuus
1
21 ?
级数的部分和
,11 us ?,212 uus ??,,3213 ?uuus ???
??,21 nn uuus ????
二、级数的定义
级数的收敛与发散,
当 n 无限增大时,如果级数 ?
?
? 1n
n
u 的部分和
数列
n
s 有极限 s,即 ss
n
n
?
??
lim 则称无穷级数
?
?
? 1n
n
u 收敛,这时极限 s 叫做级数 ?
?
? 1n
n
u 的和, 并
写成
?? ?????
321
uuus
如果 ns 没有极限,则称无穷级数 ?
?
? 1n
nu 发散,
定义 2：
即 常数项级数收敛 ( 发散 ) ? n
n
s
??
lim 存在 ( 不存在 )
余项 nn ssr ?? ???? ?? 21 nn uu ?
?
?
??
1i
inu
即 ss n ? 误差为 nr)0l i m( ??? nn r
做法,先给定一个正三角形，然后在每条边上对
称的产生边长为原边长的 1/3的小正三角形．如此
类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到
了面积有限而周长无限的图形 ——“Koch雪花,,
无穷级数收敛性举例 Koch雪花,
观察雪花分形过程
第一次分叉：;
9
1
3
,
3
4
112
12
AAA
PP
????
?
面积为
周长为
依次类推;
4
3
,3
1
1
?
?
A
P
面积为
周长为
设三角形
播放
?,2,1)34( 11 ?? ? nPP nn
]})91[(4{3 1121 AAA nnnn ??? ??
1
12
1
2
11 )9
1(43)
9
1(43
9
13 AAAA nn ?? ?????????? ?
?,3,2?n
周长为
面积为
]})94(31)94(31)94(3131[1{ 221 ??????? nA ?
第 次分叉：n
于是有
???? nn Plim )
9
4
1
3
1
1(lim 1
?
??
??
AA n
n,
5
32)
5
31(
1 ??? A
雪花的周长是无界的，而面积有界．
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论
讨论等比级数 ( 几何级数 )
?? ???????
?
?
n
n
n
aqaqaqaaq
2
0
)0( ?a
的收敛性,
解 时如果 1?q
12 ?????? nn aqaqaqas ?
q
aqa n
?
??
1,11 q
aq
q
a n
????
例 1:
,1时当 ?q 0lim ??? nn q? q
as
nn ??? ?? 1l i m
,1时当 ?q ???? nn qlim? ??? ?? nn slim
收敛
发散
时如果 1?q
,1时当 ?q
,1时当 ??q
??? nas n 发散
????? aaaa级数变为
不存在nn s??? lim 发散
综上 ??
?
?
???
? 发散时当
收敛时当
,1
,1
0 q
q
aq
n
n
结论
判别无穷级数
?? ?
???
??
?
?
? )12()12(
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
解 )12)(12(
1
??? nnu n? ),12
1
12
1(
2
1
???? nn
)12()12(
1
53
1
31
1
?????????? nns n ?
)12 112 1(21)5131(21)311(21 ????????? nn?
例 2:
)12 11(21l i ml i m ????
???? n
s
nnn
),12 11(21 ??? n
,21?
.21,和为级数收敛?
如果级数 ?
?
? 1n
nu 收敛,则 ?
?
? 1n
nku 亦收敛,
设两收敛级数 ?
?
?
?
1n
n
us,?
?
?
??
1n
n
v,
则级数 ?
?
?
?
1
)(
n
nn
vu 收敛,其和为 ??s,
结论, 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
结论, 收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
1
2
三、基本性质
若级数 ?
?
? 1n
n
u 收敛,则 ?
?
?? 1kn
n
u 也收敛 )1( ?k, 且
其逆亦真,
证明 ?? ???? ??? nkkk uuu 21
nkkkn uuu ??? ????? ?21
,kkn ss ?? ?
knknnnn ss ??????? ?? limlimlim ?则,kss ??
类似地可以证明在级数前面加上有限项不
影响级数的敛散性,
3
收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的
和,
证明 ?????? )()( 54321 uuuuu
,21 s??
.limlim ss nnmm ?? ???? ?则
,52 s??
?
,93 s??
,,nm s???
4
收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,
????? )11()11(例如
????? 1111如果加括弧后所成的级数发散,
则原来级 数也发散,
收敛
发散
注
意
推论
级数收敛,0lim ?? ?? nn u
证明 ?
?
?
?
1n
nus?,1??? nnn ssu则
1l i ml i ml i m ??????? ??? nnnnnn ssuss??,0?
即趋于零收敛级数的一般项无限增大时当,,nun
定理（级数收敛的必要条件）
四、收敛的必要条件
如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 ;
?? ??????? ? 1)1(433221 1 n nn例如 发散
必要条件不充分,
,0lim 但级数是否收敛有 ??? nn u
?? ????? n131211例如调和级数
注
意
1
2
nnnss nn 2
1
2
1
1
1
2 ??????? ??,2
1
2 ?? n
n
.,s其和为假设调和级数收敛
)l i m ( 2 nn
n
ss ?
??
于是 ss??,0?
.级数发散?
)(210 ??? n便有,这是不可能的
启示 1
???
?
???
?
?
?
??
???????????
?
)
2
1
22
1
12
1
(
)
16
1
10
1
9
1
()
8
1
7
1
6
1
5
1
()
4
1
3
1
()
2
1
1(
1mmm
8项4项2项 2项
项m2
2
1每项均大于
2
1)1(1 ?? mm 项大于即前
.级数发散?
由性质 4推论,调和级数发散,
启示 2
1,由定义,若 ss n ?,则级数收敛 ;
2,当 0lim ?
?? nn
u,则级数发散 ;
3,按基本性质,
常数项级数的基本概念
基本审敛法如下：
小 结
设 ?
?
? 1n
n
b 与 ?
?
? 1n
n
c 都收敛，且
nnn
cab ??
),2,1( ??n,能否推出 ?
?
? 1n
n
a 收敛？
思
考
题
能,由柯西审敛原理即知．
思考题解答