第七节 方向导数与梯度
问题的提出
小结与思考题
方向导数的定义
梯度的概念
实例,一块长方形的金属板，四个顶点的坐
标是 (1,1),(5,1),(1,3),(5,3)．在坐标原点
处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上
任意一点处的温度与该点到原点的距离成反
比．在 (3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿
什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的 实质,应沿由热变冷变化最骤烈的方
向（即梯度方向）爬行．
实例
一、问题的提出
讨论函数 在一点 P沿某一方向
的变化率问题．
),( yxfz ?
o
y
x
?
l
P??
x?
y??
P?
．引射线内有定义，自点
的某一邻域
在点设函数
lP
PUyxP
yxfz
)(),(
),(?
).(
),(,
pUPl
yyxxP
lx
??
?????
上的另一点且为
并设为
的转角轴正向到射线设
?
（如图）
二、方向导数的定义
??? || PP?,)()( 22 yx ????
),,(),( yxfyyxxfz ???????且
当 沿着 趋于 时，P? Pl
??
),(),(lim
0
yxfyyxxf ?????
?
,?z?考虑
是否存在？
.),(),(lim
0 ??
yxfyyxxf
l
f ??????
?
?
?依定义，函数 ),( yxf 在点 P 沿着 x 轴正向 }0,1{1 ?e
?
、
y 轴正向 }1,0{2 ?e
?
的方向导数分别为 yx ff,；
沿着 x 轴负向,y 轴负向的方向导数是 yx ff ??,.
的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点
在，时，如果此比的极限存趋于沿着当
之比值，两点间的距离
与函数的增量定义
lP
PlP
yxPP
yxfyyxxf
?
?????
?????
22
)()(
),(),(
?
记为
定 义
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yxP 是可微
分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导
数都存在，且有 ?? s i nc o s
y
f
x
f
l
f
?
?
?
?
?
?
?
?
,
其中 ? 为 x 轴到方向 L 的转角,
证明 由于函数可微，则增量可表示为
)(),(),( ?oyyfxxfyxfyyxxf ??????????????
两边同除以,? 得到
定 理
?cos ?sin
?
?
???
)(),(),( oy
y
fx
x
fyxfyyxxf ???
?
????
?
???????
故有方向导数
??
),(),(lim
0
yxfyyxxf ?????
?
.s i nco s ?? yfxf ??????
???lf
例 1 求函数 yxez 2? 在点 )0,1(P 处沿从点
)0,1(P 到点 )1,2( ?Q 的方向的方向导数,
解
故 x 轴到方向 l
?
的转角 4????,;1)0,1(2
)0,1(
???? yexz?,22 )0,1(2
)0,1(
???? yxeyz
所求方向导数
)4s i n (2)4co s ( ????????lz,22??
这里方向 l? 即为 }1,1{ ??PQ,
例 2 求函数
22
),( yxyxyxf ??? 在点 （ 1, 1 ）
沿与 x 轴方向夹角为 ? 的方向射线 l
?
的方向导数, 并
问在怎样的方向上此方向导 数有
（ 1 ）最大值； （ 2 ）最小值； （ 3 ）等于零？
解
?? s i n)1,1(c o s)1,1(
)1,1(
yx ffl
f ??
?
?
由方向导数的计算公式知
,s in)2(c o s)2( )1,1()1,1( ?? xyyx ????
???? s i nc o s ),4s i n (2 ????
故 （ 1 ）当 4??? 时，方向导数达到最大值 2 ;
（ 2 ）当 45 ??? 时，方向导数达到最小值 2? ;
（ 3 ）当 43 ??? 和 47 ??? 时，方向导数等于 0,
对于三元函数 ),,( zyxfu ?,它在空间一点
),,( zyxP 沿着方向 L 的方向导数,可定义
为
,),,(),,(lim
0 ??
zyxfzzyyxxf
l
f ????????
?
?
?
推广可得三元函数方向导数的定义
（ 其中 222 )()()( zyx ??????? ）
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点
沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
.c o sc o sc o s ???
z
f
y
f
x
f
l
f
?
??
?
??
?
??
?
?
设方向 L 的方向角为 ???,,
,c o s ???? x,co s ???? y,c o s ???? z
例 3 设 n
?
是曲面 632
222
??? zyx 在点
)1,1,1(P 处的指向外侧的法向量，求函数
2
1
22
)86(
1
yx
z
u ?? 在此处沿方向 n
?
的方向
导数,
解 令,632),,( 222 ???? zyxzyxF
,44 ??? PPx xF,66 ??? PPy yF,22 ??? PPz zF
故 ? ?zyx FFFn ????,,? ? ?,2,6,4?
,142264 222 ????n? 方向余弦为
,142co s ??,143co s ??,141co s ??
PP yxz
x
x
u
22 86
6
???
?;146?
PP yxz
y
y
u
22 86
8
???
?;148?
PP z
yx
z
u
2
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????,14??
PP z
u
y
u
x
u
n
u )c o sc o sc o s( ???
?
??
?
??
?
??
?
?
?,711?故
定义 设函数 ),( yxfz ? 在平面区域 D 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 DyxP ?),(,
都可定出一个向量 j
y
f
i
x
f ??
?
?
?
?
?
，这向量称为函数
),( yxfz ? 在点 ),( yxP 的梯度，记为
?),( yxg r a d f j
y
f
i
x
f ??
?
?
?
?
?
.
最快沿哪一方向增加的速度函数在点 P实例
定义 1
三、梯度的概念
?? s i nc o s yfxflf ???????? }s i n,{ c o s},{ ???????? yfxf
eyxg r a d f ??? ),(,c o s|),(| ?yxg r a d f?
其中 )),((,eyxgra df ???
当 1)),,(co s ( ?eyxg r a d f ? 时，l
f
?
? 有最大值,
设 jie ??? ?? s i nc o s ?? 是方向 l? 上的单位向量，
由方向导数公式知
函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
方向导数的最大值．梯度的模为
22
|),(| ?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
y
f
x
f
yxg r a d f,
结论：
当 xf?? 不为零时，
x 轴到梯度的转角的正切为
x
f
y
f
?
?
?
?
??t a n,
gradf
gradf?
P
),( yxfz ?在几何上 表示一个曲面
曲面被平面 所截得cz ?,
),(
??
?
?
?
cz
yxfz
所得曲线在 xoy面上投影如图
o
y
x
2),( cyxf ?
1),( cyxf ?
cyxf ?),( 等高线
),( yxg r a d f
梯度为等高线上的法向量P
等高线的画法
播放
图形及其等高线图形．函数 xyz s i n?例如,
向导数．
的方于函数在这个法线方向
模等高的等高线，而梯度的
值较值较低的等高线指向数
从数线的一个方向相同，且
在这点的法高线
的等的梯度的方向与点
在点函数
cyxf
P
yxPyxfz
?
?
),(
),(),(
梯度与等高线的关系：
三元函数 ),,( zyxfu ? 在空间区域 G 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 GzyxP ?),,(,
都可定义一个向量 ( 梯度 )
.),,( kzfjyfixfzyxg r a d f
???
?
??
?
??
?
??
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，
其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模
为方向导数的最大值,
梯度的概念可以推广到三元函数
类似地,设曲面 czyxf ?),,( 为函数 ),,( zyxfu ?
的等量面，此函数在点 ),,( zyxP 的梯度的方向与
过点 P 的等量面 czyxf ?),,( 在这点的法线的一
个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较
高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方
向的方向导数,
例 4 求函数 yxzyxu 2332 222 ????? 在点
)2,1,1( 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
k
z
uj
y
ui
x
uzyxg r a d u ???
?
??
?
??
?
??),,(
,6)24()32( kzjyix ??? ?????
故,1225)2,1,1( kjig rad u ??? ???
在 )0,21,23(0 ?P 处梯度为 0,
方向导数的概念
梯度的概念
方向导数与梯度的关系
小 结
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
（注意梯度是一个向量）
.),( 在这点增长最快的方向梯度的方向就是函数 yxf
讨论函数 22),( yxyxfz ??? 在 )0,0(
点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
思
考
题
x
fxf
x
z
x ?
???
?
?
??
)0,0()0,(l i m
0)0,0(
.||l i m
0 x
x
x ?
??
??
同理,)0,0(yz?? yy
y ?
??
??
||lim
0
故两个偏导数均不存在,
思考题解答
沿任意方向 },,{ zyxl ?? 的方向导数,
??
)0,0(),(lim
0)0,0(
fyxf
l
z ????
?
?
?
1
)()(
)()(l i m
22
22
0
?
???
????
? yx
yx
?
故沿任意方向的方向导数均存在且相等,
问题的提出
小结与思考题
方向导数的定义
梯度的概念
实例,一块长方形的金属板，四个顶点的坐
标是 (1,1),(5,1),(1,3),(5,3)．在坐标原点
处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上
任意一点处的温度与该点到原点的距离成反
比．在 (3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿
什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的 实质,应沿由热变冷变化最骤烈的方
向（即梯度方向）爬行．
实例
一、问题的提出
讨论函数 在一点 P沿某一方向
的变化率问题．
),( yxfz ?
o
y
x
?
l
P??
x?
y??
P?
．引射线内有定义，自点
的某一邻域
在点设函数
lP
PUyxP
yxfz
)(),(
),(?
).(
),(,
pUPl
yyxxP
lx
??
?????
上的另一点且为
并设为
的转角轴正向到射线设
?
（如图）
二、方向导数的定义
??? || PP?,)()( 22 yx ????
),,(),( yxfyyxxfz ???????且
当 沿着 趋于 时，P? Pl
??
),(),(lim
0
yxfyyxxf ?????
?
,?z?考虑
是否存在？
.),(),(lim
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yxfyyxxf
l
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?
?
?依定义，函数 ),( yxf 在点 P 沿着 x 轴正向 }0,1{1 ?e
?
、
y 轴正向 }1,0{2 ?e
?
的方向导数分别为 yx ff,；
沿着 x 轴负向,y 轴负向的方向导数是 yx ff ??,.
的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点
在，时，如果此比的极限存趋于沿着当
之比值，两点间的距离
与函数的增量定义
lP
PlP
yxPP
yxfyyxxf
?
?????
?????
22
)()(
),(),(
?
记为
定 义
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yxP 是可微
分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导
数都存在，且有 ?? s i nc o s
y
f
x
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其中 ? 为 x 轴到方向 L 的转角,
证明 由于函数可微，则增量可表示为
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两边同除以,? 得到
定 理
?cos ?sin
?
?
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y
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?
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故有方向导数
??
),(),(lim
0
yxfyyxxf ?????
?
.s i nco s ?? yfxf ??????
???lf
例 1 求函数 yxez 2? 在点 )0,1(P 处沿从点
)0,1(P 到点 )1,2( ?Q 的方向的方向导数,
解
故 x 轴到方向 l
?
的转角 4????,;1)0,1(2
)0,1(
???? yexz?,22 )0,1(2
)0,1(
???? yxeyz
所求方向导数
)4s i n (2)4co s ( ????????lz,22??
这里方向 l? 即为 }1,1{ ??PQ,
例 2 求函数
22
),( yxyxyxf ??? 在点 （ 1, 1 ）
沿与 x 轴方向夹角为 ? 的方向射线 l
?
的方向导数, 并
问在怎样的方向上此方向导 数有
（ 1 ）最大值； （ 2 ）最小值； （ 3 ）等于零？
解
?? s i n)1,1(c o s)1,1(
)1,1(
yx ffl
f ??
?
?
由方向导数的计算公式知
,s in)2(c o s)2( )1,1()1,1( ?? xyyx ????
???? s i nc o s ),4s i n (2 ????
故 （ 1 ）当 4??? 时，方向导数达到最大值 2 ;
（ 2 ）当 45 ??? 时，方向导数达到最小值 2? ;
（ 3 ）当 43 ??? 和 47 ??? 时，方向导数等于 0,
对于三元函数 ),,( zyxfu ?,它在空间一点
),,( zyxP 沿着方向 L 的方向导数,可定义
为
,),,(),,(lim
0 ??
zyxfzzyyxxf
l
f ????????
?
?
?
推广可得三元函数方向导数的定义
（ 其中 222 )()()( zyx ??????? ）
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点
沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
.c o sc o sc o s ???
z
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设方向 L 的方向角为 ???,,
,c o s ???? x,co s ???? y,c o s ???? z
例 3 设 n
?
是曲面 632
222
??? zyx 在点
)1,1,1(P 处的指向外侧的法向量，求函数
2
1
22
)86(
1
yx
z
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?
的方向
导数,
解 令,632),,( 222 ???? zyxzyxF
,44 ??? PPx xF,66 ??? PPy yF,22 ??? PPz zF
故 ? ?zyx FFFn ????,,? ? ?,2,6,4?
,142264 222 ????n? 方向余弦为
,142co s ??,143co s ??,141co s ??
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定义 设函数 ),( yxfz ? 在平面区域 D 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 DyxP ?),(,
都可定出一个向量 j
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，这向量称为函数
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?),( yxg r a d f j
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.
最快沿哪一方向增加的速度函数在点 P实例
定义 1
三、梯度的概念
?? s i nc o s yfxflf ???????? }s i n,{ c o s},{ ???????? yfxf
eyxg r a d f ??? ),(,c o s|),(| ?yxg r a d f?
其中 )),((,eyxgra df ???
当 1)),,(co s ( ?eyxg r a d f ? 时，l
f
?
? 有最大值,
设 jie ??? ?? s i nc o s ?? 是方向 l? 上的单位向量，
由方向导数公式知
函数在某点的梯度是这样一个向量，它的
方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
方向导数的最大值．梯度的模为
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结论：
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曲面被平面 所截得cz ?,
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yxfz
所得曲线在 xoy面上投影如图
o
y
x
2),( cyxf ?
1),( cyxf ?
cyxf ?),( 等高线
),( yxg r a d f
梯度为等高线上的法向量P
等高线的画法
播放
图形及其等高线图形．函数 xyz s i n?例如,
向导数．
的方于函数在这个法线方向
模等高的等高线，而梯度的
值较值较低的等高线指向数
从数线的一个方向相同，且
在这点的法高线
的等的梯度的方向与点
在点函数
cyxf
P
yxPyxfz
?
?
),(
),(),(
梯度与等高线的关系：
三元函数 ),,( zyxfu ? 在空间区域 G 内具有
一阶连续偏导数，则对于每一点 GzyxP ?),,(,
都可定义一个向量 ( 梯度 )
.),,( kzfjyfixfzyxg r a d f
???
?
??
?
??
?
??
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，
其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模
为方向导数的最大值,
梯度的概念可以推广到三元函数
类似地,设曲面 czyxf ?),,( 为函数 ),,( zyxfu ?
的等量面，此函数在点 ),,( zyxP 的梯度的方向与
过点 P 的等量面 czyxf ?),,( 在这点的法线的一
个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较
高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方
向的方向导数,
例 4 求函数 yxzyxu 2332 222 ????? 在点
)2,1,1( 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
k
z
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uzyxg r a d u ???
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,6)24()32( kzjyix ??? ?????
故,1225)2,1,1( kjig rad u ??? ???
在 )0,21,23(0 ?P 处梯度为 0,
方向导数的概念
梯度的概念
方向导数与梯度的关系
小 结
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
（注意梯度是一个向量）
.),( 在这点增长最快的方向梯度的方向就是函数 yxf
讨论函数 22),( yxyxfz ??? 在 )0,0(
点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
思
考
题
x
fxf
x
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)0,0()0,(l i m
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同理,)0,0(yz?? yy
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故两个偏导数均不存在,
思考题解答
沿任意方向 },,{ zyxl ?? 的方向导数,
??
)0,0(),(lim
0)0,0(
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故沿任意方向的方向导数均存在且相等,
