CH9 重积分
§ 3 三重积分
1999
§ 1 预备知识 空间的三个坐标系
§ 2 三重积分的概念及其计算方法
知识回顾
一、三重积分的概念
例 1
教学基本要求
例 2-1
例 4
例 3
例 2-2
例题分析
授课内容
例 5
CH9 重积分
§ 3 三重积分授课提纲
1,进一步理解元素法的思想，会用元素法建立数学模型
2,清楚地认识空间的三种坐标系，并会绘制三种坐标系的图形
3,熟练掌握在三种坐标系下计算三重积分
4,熟练掌握使用 Mathematic软件计算三重积分
§ 1 预备知识 空间的三个坐标系
§ 2 三重积分的概念及其计算方法
例 2· 求由下列曲面围成的立体的体积
例 1· 试在三中坐标系中化三重积分 为三次积分，
其中 是由,及 所围成的立体。
????? dVzyxfI ),,(
Rz? 22 yxz ???
（ 1）,226 yxz ??? 22 yxz ??
（ 2）, zzyx 2222 ??? 22 yxz ??
（ 3）,22 yxz ?? 22 yxz ??
（ 4）,225 yxz ??? 224 yxz ??
例 3· 计算 I= 其中 是第一挂限中的球面
与平面 及, 所围成的区域。
???? zdV
? 4222 ??? zyx
1?z xy
3
1? xy?
例 4· 计算 I= 其中 是由椭圆 围成的空间区域。
???
?
dVz2
? 1
2
2
2
2
2
2
??? czbyax
CH9 重积分
§ 1 预备知识 空间的三个坐标系
一、直角坐标系
直角坐标系中的坐标平面：
y=常数 一组平行于 XOZ的平面
x=常数 一组平行于 YOZ的平面
z=常数 一组平行于 XOY的平面
直角坐标系中的体积元素,dV=dxdydz
二、柱坐标系
2,柱坐标系中的坐标：
1,平面上的极坐标系 +Z轴
理论推导：
3,柱坐标与直角坐标的关系：
5,柱坐标系下的体积元：
4,柱坐标的取值范围：
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d x d yd zr?
zr,,?
请观察柱坐标系下的坐标曲面：
几何解释：
?=常数 过 Z轴的半平面
z=常数 平行于 XOY面的平面
r=常数 以 Z轴为中心轴的柱面
所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体，其体积为：
d r d zrddv ??
三、球坐标系
1· 球坐标系下的坐标：
2· 球坐标与直角坐标的关系：
理论推导：
4· 球坐标系下的体积元：
3· 球坐标的取值范围：
r,,??
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几何解释：
§ 2 三重积分的概念及其计算方法
二重积分的几何意义：
二重积分定义：
二重积分的物理意义：平面板块 D的质量
知识回顾
（四）取极限 极限中的一般含义是什么？
元素法的要点：（一）分割 分割什么？
（二）近似代替 如何作近似代替？
（三）求和 这个和是什么和？
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i
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D yxfV
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一、三重积分的概念
概括：
----------区间 [a,b]的长度
----------?的体积
----------平面区域 D的面积
2·〖 几何意义 〗
的度量
3·〖 物理意义 〗 ---------?的质量
设 u=f (x,y,z) 在空间闭区域 ?上有界，如果
的极限值 I存在，则称 I为 u=f (x,y,z) 在 ?上的三重
积分，其中 dV 称为体积元素。
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???? MdVzyx ),,(?
1·〖 定义 〗
联想：
〖 注 〗 三重积分的性质与二重积分类似，不再详述。
例 1·试在三中坐标系中化三重积分 为三次积分，
其中 ?是由,z=R及 所围成的立体。
???
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? dVzyxfI ),,(
22 yxz ??
知 ?在 XOY面的投影域为：
222,RyxD xy ??
在直角坐标系中：
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R
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在极坐系中：
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在球标系中：
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〖 解 〗 由已知两曲面的交线为：
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???
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22 yxz
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例 2-1 求由下列曲面围成的立体的体积
g2=Plot3D[Sqrt[x^2+y^2+3],{x,-2,2},{y,-2,2},Shading-
>False]
〖 解 〗
程序,g1=Plot3D[6-x^2-y^2+3,{x,-2,2},{y,-2,2},Shading->False]
g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[u],r Sin[u],0},{r,0,2},{u,0,2Pi},
Shading->False]
故选用柱坐标积分,
由于透影区域为
Show[g1,g2,g3,BoxRatios->{1,1,1.5},Shading->False]
2222,6)1( yxzyxz ?????
4,22 ?? yxD xy
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语句, Integrate[r,{v,0,2Pi},{r,0,2},{z,r,6-r^2}=32 Pi/3
故选用柱坐标积分,
由于透影区域为
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3
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语句, Integrate[r,{v,0,2Pi},{r,0,2},{z,r,6-r^2}=32 Pi/3
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22222,2)2( yxzzzyx ?????
【 注 】 区域为球顶锥底，选用球坐标较为简便
语句,ntegrate[r^2*Sin[u],{v,0,2Pi},{u,0,Pi/4},{r,0,2 Cos[u]}]=Pi
g3=ParametricPlot3D[{z*Cos[v],z*Sin[v],0},{z,0,1},{v,0,2Pi}]
g2=ParametricPlot3D[{z*Cos[v],z*Sin[v],z},{z,0,1},{v,0,2Pi}]
Show[g1,g2,g3,BoxRatios->{1,1,1},Shading->False,ViewPoint-
>{3.350,-0.170,0.447}]
程序 g1=ParametricPlot3D[{Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]+1},
{u,0,Pi/2},{v,0,2Pi}]
例 2-2 求由下列曲面围成的立体的体积
〖 解 〗
drrdd? ? ??
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2
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2222,)3( yxzyxz ????
2222 4,5)4( yxzyxz ?????
g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[v],r*Sin[v],0},{r,0,1.5},{v,0,2Pi},
Shading->False]
g2=ParametricPlot3D[{Sqrt[2 z]*Cos[v],Sqrt[2*z]Sin[v],2 z},
{z,0,1},{v,0,2Pi},Shading->False]
Show[g1,g2,g3,Shading->False]
g1=ParametricPlot3D[{Sqrt[5]*Sin[u]*Cos[v],Sqrt[5]*Sin[u]S
in[v],Sqrt[5]*Cos[u]},{u,0,Pi/4},{v,0,2Pi},Shading->False]
语句,Clear[g1,g2,g3]
Integrate[r,{v,0,2Pi},{r,0,2},{z,(r^2)/4,Sqrt[5-r^2]}]
Integrate[r^2*Sin[u],{u,0,ArcTan[2]},{v,0,2Pi},{r,0,Sqrt[5]}]+
按球坐标计算
语句：
-8 Pi 10 Sqrt[5] Pi
按柱坐标计算
3 3
----- + -----------------
Integrate[r^2*Sin[u],{u,ArcTan[2],Pi/2},{v,0,2Pi},
{r,0,4Cos[u]/((Sin[u])^2)}]
3
2 (-4 + 5 Sqrt[5]) Pi
------------------------
〖 方法 1〗 按直角坐标计算：
〖 方法 2〗 按柱坐标计算：
该题为球顶，但是的底部不是锥面，所以采用柱坐标较
为简便，如果是旋转体，采用定积分更为简便。
方法比较：
〖 方法 5〗 按二重积分计算：
（因为该立体是旋转体，可以利用旋转体的体积公式）
〖 方法 4〗 按定积分计算：
〖 方法 3〗 按球坐标计算：
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Integrate[r^2*z,{v,0,2Pi},{r,0,1},{z,r^2,Sqrt[2-r^2]}]
语句：
〖 解 〗 以球面面为顶，抛物面为底，故选用柱坐标。
例 3·计算
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?10534?
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Show[g1,g2,g3,g4,ViewPoint->{1.921,1.625,2.263}]
g2=ParametricPlot3D[{r*Cos[v],r*Sin[v],1},{v,0,Pi/2},{r,0,2},
Shading->False]
语句,g1=ParametricPlot3D[{2*Sin[u]Cos[v],2*Sin[u]Sin[v],2Cos[u]},
{ u,0,Pi/2},{v,0,Pi/2},Shading->False]
〖 解 〗
g4=ParametricPlot3D[{x,x,z},{x,0,2},{z,0,2},Shading->False]
g3=ParametricPlot3D[{x,(1/Sqrt[3])*x,z},{x,0,2},{z,0,2},
Shading->False]
例 4· 计算 其中 ?是第一挂限中的球面
与平面 Z=1 及, y=x 所围成的区域。
???
?
? zdVI 4222 ??? zyx
xy 31?
按先二后一法验算：
Integrate[r*z,{v,Pi/6,Pi/4},{r,0,Sqrt[3]},{z,1,Sqrt[4-r^2]}]
按柱坐标验算：
按先二后一法计算：
按柱坐标计算：
???
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? zdVI ? ? ?
?
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4
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Integrate[Pi/24*(4-z^2)*z,{z,1,2}]
32
3??
32
3??
32
3??
〖 方法 2〗 利用广义球坐标计算：
广义球坐标系下的体积元：
〖 方法 1〗 利用先二后一法计算：
语句,ParametricPlot3D[{2*Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]},
{u,0,Pi},{v,0,2Pi},Shading->False]
例 5·计算 其中 ?是由椭圆 围成的空间区域。
???
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2
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〖 解 〗
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语句：
〖 推广 〗
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（ 1）计算 其中 ?是由椭圆
围成的空间区域。
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（ 2）计算 其中 ?是由椭圆
围成的空间区域。
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2
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15
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15
4 ? 2a? abc?
5
4
§ 3 三重积分
1999
§ 1 预备知识 空间的三个坐标系
§ 2 三重积分的概念及其计算方法
知识回顾
一、三重积分的概念
例 1
教学基本要求
例 2-1
例 4
例 3
例 2-2
例题分析
授课内容
例 5
CH9 重积分
§ 3 三重积分授课提纲
1,进一步理解元素法的思想，会用元素法建立数学模型
2,清楚地认识空间的三种坐标系，并会绘制三种坐标系的图形
3,熟练掌握在三种坐标系下计算三重积分
4,熟练掌握使用 Mathematic软件计算三重积分
§ 1 预备知识 空间的三个坐标系
§ 2 三重积分的概念及其计算方法
例 2· 求由下列曲面围成的立体的体积
例 1· 试在三中坐标系中化三重积分 为三次积分，
其中 是由,及 所围成的立体。
????? dVzyxfI ),,(
Rz? 22 yxz ???
（ 1）,226 yxz ??? 22 yxz ??
（ 2）, zzyx 2222 ??? 22 yxz ??
（ 3）,22 yxz ?? 22 yxz ??
（ 4）,225 yxz ??? 224 yxz ??
例 3· 计算 I= 其中 是第一挂限中的球面
与平面 及, 所围成的区域。
???? zdV
? 4222 ??? zyx
1?z xy
3
1? xy?
例 4· 计算 I= 其中 是由椭圆 围成的空间区域。
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2
2
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CH9 重积分
§ 1 预备知识 空间的三个坐标系
一、直角坐标系
直角坐标系中的坐标平面：
y=常数 一组平行于 XOZ的平面
x=常数 一组平行于 YOZ的平面
z=常数 一组平行于 XOY的平面
直角坐标系中的体积元素,dV=dxdydz
二、柱坐标系
2,柱坐标系中的坐标：
1,平面上的极坐标系 +Z轴
理论推导：
3,柱坐标与直角坐标的关系：
5,柱坐标系下的体积元：
4,柱坐标的取值范围：
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d x d yd zr?
zr,,?
请观察柱坐标系下的坐标曲面：
几何解释：
?=常数 过 Z轴的半平面
z=常数 平行于 XOY面的平面
r=常数 以 Z轴为中心轴的柱面
所以在柱坐标下的体积元素是曲立方体，其体积为：
d r d zrddv ??
三、球坐标系
1· 球坐标系下的坐标：
2· 球坐标与直角坐标的关系：
理论推导：
4· 球坐标系下的体积元：
3· 球坐标的取值范围：
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几何解释：
§ 2 三重积分的概念及其计算方法
二重积分的几何意义：
二重积分定义：
二重积分的物理意义：平面板块 D的质量
知识回顾
（四）取极限 极限中的一般含义是什么？
元素法的要点：（一）分割 分割什么？
（二）近似代替 如何作近似代替？
（三）求和 这个和是什么和？
?? ?
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10
),(l i m),( ????
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D yxfV
yxfVdyxf
)0,(
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D dyxM ?? ),(
一、三重积分的概念
概括：
----------区间 [a,b]的长度
----------?的体积
----------平面区域 D的面积
2·〖 几何意义 〗
的度量
3·〖 物理意义 〗 ---------?的质量
设 u=f (x,y,z) 在空间闭区域 ?上有界，如果
的极限值 I存在，则称 I为 u=f (x,y,z) 在 ?上的三重
积分，其中 dV 称为体积元素。
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???? MdVzyx ),,(?
1·〖 定义 〗
联想：
〖 注 〗 三重积分的性质与二重积分类似，不再详述。
例 1·试在三中坐标系中化三重积分 为三次积分，
其中 ?是由,z=R及 所围成的立体。
???
?
? dVzyxfI ),,(
22 yxz ??
知 ?在 XOY面的投影域为：
222,RyxD xy ??
在直角坐标系中：
? ? ?
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在极坐系中：
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在球标系中：
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〖 解 〗 由已知两曲面的交线为：
??
???
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22 yxz
Rz
例 2-1 求由下列曲面围成的立体的体积
g2=Plot3D[Sqrt[x^2+y^2+3],{x,-2,2},{y,-2,2},Shading-
>False]
〖 解 〗
程序,g1=Plot3D[6-x^2-y^2+3,{x,-2,2},{y,-2,2},Shading->False]
g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[u],r Sin[u],0},{r,0,2},{u,0,2Pi},
Shading->False]
故选用柱坐标积分,
由于透影区域为
Show[g1,g2,g3,BoxRatios->{1,1,1.5},Shading->False]
2222,6)1( yxzyxz ?????
4,22 ?? yxD xy
???
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语句, Integrate[r,{v,0,2Pi},{r,0,2},{z,r,6-r^2}=32 Pi/3
故选用柱坐标积分,
由于透影区域为
4,22 ?? yxD xy
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语句, Integrate[r,{v,0,2Pi},{r,0,2},{z,r,6-r^2}=32 Pi/3
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【 注 】 区域为球顶锥底，选用球坐标较为简便
语句,ntegrate[r^2*Sin[u],{v,0,2Pi},{u,0,Pi/4},{r,0,2 Cos[u]}]=Pi
g3=ParametricPlot3D[{z*Cos[v],z*Sin[v],0},{z,0,1},{v,0,2Pi}]
g2=ParametricPlot3D[{z*Cos[v],z*Sin[v],z},{z,0,1},{v,0,2Pi}]
Show[g1,g2,g3,BoxRatios->{1,1,1},Shading->False,ViewPoint-
>{3.350,-0.170,0.447}]
程序 g1=ParametricPlot3D[{Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]+1},
{u,0,Pi/2},{v,0,2Pi}]
例 2-2 求由下列曲面围成的立体的体积
〖 解 〗
drrdd? ? ??
? ? ?
???
2
0
4/
0
c o s2
0
2s i nI ??
2222,)3( yxzyxz ????
2222 4,5)4( yxzyxz ?????
g3=ParametricPlot3D[{r*Cos[v],r*Sin[v],0},{r,0,1.5},{v,0,2Pi},
Shading->False]
g2=ParametricPlot3D[{Sqrt[2 z]*Cos[v],Sqrt[2*z]Sin[v],2 z},
{z,0,1},{v,0,2Pi},Shading->False]
Show[g1,g2,g3,Shading->False]
g1=ParametricPlot3D[{Sqrt[5]*Sin[u]*Cos[v],Sqrt[5]*Sin[u]S
in[v],Sqrt[5]*Cos[u]},{u,0,Pi/4},{v,0,2Pi},Shading->False]
语句,Clear[g1,g2,g3]
Integrate[r,{v,0,2Pi},{r,0,2},{z,(r^2)/4,Sqrt[5-r^2]}]
Integrate[r^2*Sin[u],{u,0,ArcTan[2]},{v,0,2Pi},{r,0,Sqrt[5]}]+
按球坐标计算
语句：
-8 Pi 10 Sqrt[5] Pi
按柱坐标计算
3 3
----- + -----------------
Integrate[r^2*Sin[u],{u,ArcTan[2],Pi/2},{v,0,2Pi},
{r,0,4Cos[u]/((Sin[u])^2)}]
3
2 (-4 + 5 Sqrt[5]) Pi
------------------------
〖 方法 1〗 按直角坐标计算：
〖 方法 2〗 按柱坐标计算：
该题为球顶，但是的底部不是锥面，所以采用柱坐标较
为简便，如果是旋转体，采用定积分更为简便。
方法比较：
〖 方法 5〗 按二重积分计算：
（因为该立体是旋转体，可以利用旋转体的体积公式）
〖 方法 4〗 按定积分计算：
〖 方法 3〗 按球坐标计算：
? ??
? ??
?
?
2 22
22
4
0
5
4
2
0
4V
x yx
yx
dzdydx 3 )455(2 ?? ?
? ? ?
?
?
?
?
2
0
2
0
5
4
2
2
V
r
r
dzr d rd 3 )455(2 ?? ?
? ? ? ? ? ???
? ? ? ?
?
??????
2
0
2
0
5
0
2
0
2/
2
s i n
c o s4
0
22
2
s i ns i nV
a r c t g
a r c t g
drrdddrrdd 3 )455(2 ?? ?
dzzz d z? ? ???
1
0
5
1
2 )5(4V ?? 3 )455(2 ?? ?
? ? ???
?
?
2
0
2
0
2
2 )
45(V dr
rrrd 3 )455(2 ?? ?
Integrate[r^2*z,{v,0,2Pi},{r,0,1},{z,r^2,Sqrt[2-r^2]}]
语句：
〖 解 〗 以球面面为顶，抛物面为底，故选用柱坐标。
例 3·计算
???
?
?? dVyxz 22I
dzzdrrd
r
r
? ? ?
?
?
?
?
2
0
1
0
2
2
2
2
drrrr? ???
1
0
422 )2(?
?10534?
?10534?
???
?
?? dVyxz 22I
Show[g1,g2,g3,g4,ViewPoint->{1.921,1.625,2.263}]
g2=ParametricPlot3D[{r*Cos[v],r*Sin[v],1},{v,0,Pi/2},{r,0,2},
Shading->False]
语句,g1=ParametricPlot3D[{2*Sin[u]Cos[v],2*Sin[u]Sin[v],2Cos[u]},
{ u,0,Pi/2},{v,0,Pi/2},Shading->False]
〖 解 〗
g4=ParametricPlot3D[{x,x,z},{x,0,2},{z,0,2},Shading->False]
g3=ParametricPlot3D[{x,(1/Sqrt[3])*x,z},{x,0,2},{z,0,2},
Shading->False]
例 4· 计算 其中 ?是第一挂限中的球面
与平面 Z=1 及, y=x 所围成的区域。
???
?
? zdVI 4222 ??? zyx
xy 31?
按先二后一法验算：
Integrate[r*z,{v,Pi/6,Pi/4},{r,0,Sqrt[3]},{z,1,Sqrt[4-r^2]}]
按柱坐标验算：
按先二后一法计算：
按柱坐标计算：
???
?
? zdVI ? ? ?
?
?
4
6
3
0
4
1
2?
?
?
r
z d zr d rd
? ? ???
4
6
3
0
2 )14(
2
1
?
?
? drrrd 323??
?? ?? ???
2
1
2
2
1 )(
)4(241I dzzzd x d yz d z
zD
?
Integrate[Pi/24*(4-z^2)*z,{z,1,2}]
32
3??
32
3??
32
3??
〖 方法 2〗 利用广义球坐标计算：
广义球坐标系下的体积元：
〖 方法 1〗 利用先二后一法计算：
语句,ParametricPlot3D[{2*Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]},
{u,0,Pi},{v,0,2Pi},Shading->False]
例 5·计算 其中 ?是由椭圆 围成的空间区域。
???
?
? dVz 2I 12
2
2
2
2
2
??? czbyax
〖 解 〗
drdda crdV ???s i n2?
? ? ??
? ?
????
2
0 0
1
0
42c o ss i nI drrddabc
2
2
2
2
2
2
2
rczbyax ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
c o s
s i ns i n
c o ss i n
crz
bry
arx
d x d ydzz
c
c zD
? ??
?
?
)(
2 1I 3
15
4 abc??
3
15
4 abc??
?
?
??
c
c
dzczzab
1
2
2
2 )1(?
=+I=
Integrate[a*b*c^3*r^4*Sin[u](Cos[u])^2,{u,0,Pi},{v,0,2Pi},{r,0,1}]
语句：
〖 推广 〗
)(154I 222 cbaabc ??? ?
（ 1）计算 其中 ?是由椭圆
围成的空间区域。
???
?
??? dVzyx )(I 222 12
2
2
2
2
2
??? czbyax
（ 2）计算 其中 ?是由椭圆
围成的空间区域。
???
?
??? dVczbyax )(I 2
2
2
2
2
2 1
2
2
2
2
2
2
??? czbyax
3
15
4 abc??
3
15
4 abc? 2c? cab 3
15
4 ? 2b? + bca3
15
4 ? 2a? abc?
5
4
