第三节 全微分及其应用
全微分的定义
小结
可微的条件
要 点
),(),( yxfyxxf ??? xyxf x ?? ),(
),(),( yxfyyxf ??? yyxf y ?? ),(
二元函数
对 x 和对 y 的 偏微分
二元函数
对 x 和对 y 的 偏增量
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
一,全微分的定义
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的某邻域内有
定义，并设 ),( yyxxP ????? 为这邻域内的任意
一点，则称这两点的函数值之差
),(),( yxfyyxxf ?????
为函数在点 P 对应于自变量增量 yx ??,的全增
量，记为
z?
,
即
z?
= ),(),( yxfyyxxf ????? 全增量的概念定义 3
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz ??????? 可以表示为
)( ?oyBxAz ??????,其中 BA,不依赖于
yx ??,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx ?????,
则称函数
),(= yxfz
在点 ),( yx 可微分，
yBxA ??? 称为函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的
全微分,记为
dz
,
即
dz
= yBxA ???,
全微分的定义定义 4
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，
则称这函数在 D 内可微分,
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 可微分,则
函数在该点连续,
事实上 ),( ?oyBxAz ??????,0lim
0 ??? z?
),(l i m
0
0
yyxxf
y
x
????
??
?? ]),([lim 0 zyxf ??? ??
),( yxf?
故函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 处连续,
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 可微分，则
该函数在点 ),( yx 的偏导数
x
z
?
?
、
y
z
?
?
必存在，且函
数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的全微分为
y
y
z
x
x
z
dz ?
?
?
??
?
?
?,
定理 1（必要条件）
二,可微的条件
证 如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yxP 可微分,
?????? ),( yyxxP P 的某个邻域
)( ?oyBxAz ?????? 总成立,
当 0?? y 时，上式仍成立，此时 || x???,
),(),( yxfyxxf ??? | )(| xoxA ?????
Ax yxfyxxf
x
?? ???
??
),(),(lim
0
,xz???
同理可得,yzB ???
一元函数在某点的导数存在 微分存在．
多元函数的各偏导数存在 全微分存在．
例如，
.
00
0
),(
22
22
22
?
?
?
?
?
??
??
??
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 )0,0( 处有
0)0,0()0,0( ?? yx ff
])0,0()0,0([ yfxfz yx ???????,)()( 22 yx
yx
???
????
如果考虑点 ),( yxP ??? 沿着直线 xy ? 趋近于 )0,0(,
则 ?
22 )()( yx
yx
???
???
22 )()( xx
xx
???
????,
2
1?
说明它不能随着 0?? 而趋于 0,0??当 时，
),(])0,0()0,0([ ?oyfxfz yx ????????
函数在点 )0,0( 处不可微,
多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２ （充分条件） 如果函数 ),( yxfz ? 的偏
导数
x
z
?
?
、
y
z
?
?
在点 ),( yx 连续，则该函数在点 ),( yx
可微分．
证 ),(),( yxfyyxxfz ???????
)],(),([ yyxfyyxxf ????????
) ],,(),([ yxfyyxf ????
说明
定理 2（充分条件）
),(),( yyxfyyxxf ???????
xyyxxf x ?????? ),( 1? )0( 1 ?? ?
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
xxyxf x ???? 1),( ?（依偏导数的连续性）
且当 0,0 ???? yx 时,01 ??,
其中 1? 为 yx ??,的函数,
xxyxf x ???? 1),( ? yyyxf y ???? 2),( ?z?
21
21 ??
?
?? ????? yx?
,00?? ?? ??
故函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 处可微,
同理 ),(),( yxfyyxf ???
,),( 2 yyyxf y ???? ?当 0?? 时,02 ??,
习惯上，记全微分为,dyyzdxxzdz ??????
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu ?????????
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个
偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加
原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1 计算函数 xyez ? 在点 )1,2( 处的全微分,
解,xyye
x
z ?
?
?,xyxe
y
z ?
?
?
,2
)1,2(
e
x
z ?
?
?,2 2
)1,2(
e
y
z ?
?
?
.2 22 dyedxedz ??所求全微分
例 2 求函数 )2c o s ( yxyz ??,当
4
?
?x, ??y,
4
?
?dx, ??dy 时的全微分,
解 ),2s i n ( yxyxz ?????
),2s in (2)2c o s ( yxyyxyz ??????
dy
y
zdx
x
zdz
),
4
(),4(
),
4
(
???
??
?
?
??
?
??
).74(8 2 ????
例 3 计算函数 yzeyxu ???
2
s i n 的全微分,
解,1???xu,2c o s21 yzzeyyu ????
,yzyezu ???
所求全微分
.)2co s21( dzyedyzeydxdu yzyz ????
例 4 试证函数
?
?
?
?
?
?
?
??
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
1
s i n
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 )0,0( 连续且偏导数存在，但偏导数在点
)0,0( 不连续，而 f 在点 )0,0( 可微,
按有关定义讨论；对于偏导数需分
)0,0(),( ?yx, )0,0(),( ?yx 讨论,
思路
当 )0,0(),( ?yx 时，
?),( yxf x,1c o s)(1s in 22322
2
22 yxyx
yx
yxy ????
当点 ),( yxP 沿直线 xy ? 趋于 )0,0( 时,
),(lim )0,0(),( yxf xxx ?
,||2 1c o s||22||2 1s inlim 3
3
0
?
?
??
?
? ??
? xx
x
xxx
不存在,
证 令,co s???x,s i n ???y
则 22)0,0(),(
1s i nl i m
yx
xy
yx ??
?????
1s i nc o ss i nlim 2
0
??
? 0? ),0,0(f?
故函数在点 )0,0( 连续,
?)0,0(xf x fxfx ? ???? )0,0()0,(lim 0,000lim 0 ???? ?? xx
同理,0)0,0( ?yf
所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不连续,
同理可证 ),( yxf y 在 )0,0( 不连续,
)0,0(),( fyxff ?????
22 )()(
1s i n
yx
yx
???
?????
))()(( 22 yxo ????
故 ),( yxf 在点 )0,0( 可微.0)0,0( ?df
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续 函数可导
函数可微
偏导数连续
都较小时，有近似等式
连续，且个偏导数
的两在点当二元函数
yxyxfyxf
yxPyxfz
yx ??
?
,),(),,(
),(),(
.),(),( yyxfxyxfdzz yx ??????
也可写成
.),(),(),(
),(
yyxfxyxfyxf
yyxxf
yx ?????
????
三,全微分在近似计算中的应用
例 5 计算 02.2)04.1( 的近似值,
解,),( yxyxf ?设函数
.02.0,04.0,2,1 ?????? yxyx取
,1)2,1( ?f?
,),( 1?? yx yxyxf,ln),( xxyxf yy ?
,2)2,1( ?xf,0)2,1( ?yf
由公式得 02.0004.021)04.1( 02.2 ?????.08.1?
多元函数全微分的概念
多元函数全微分的求法
多元函数连续、可导、可微的关系
（注意：与一元函数有很大区别）注意
本节要点
函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处可微的充分条件是,
（ 1 ） ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处连续；
（ 2 ） ),( yxf
x
?
,),( yxf
y
?
在点 ),(
00
yx 的
某邻域存在；
（ 3 ） yyxfxyxfz
yx
?
?
??
?
?? ),(),(,
当 0)()(
22
???? yx 时是无穷小量；
（ 4 ）
22
)()(
),(),(
yx
yyxfxyxfz
yx
???
?
?
??
?
??
,
当 0)()(
22
???? yx 时是无穷小量,
思
考
题
函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处可微的充分条件是,
（ 1 ） ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处连续；
（ 2 ） ),( yxf
x
?
,),( yxf
y
?
在点 ),(
00
yx 的
某邻域存在；
（ 3 ） yyxfxyxfz
yx
?
?
??
?
?? ),(),(,
当 0)()(
22
???? yx 时是无穷小量；
（ 4 ）
22
)()(
),(),(
yx
yyxfxyxfz
yx
???
?
?
??
?
??
,
当 0)()(
22
???? yx 时是无穷小量,
思考题解答
全微分的定义
小结
可微的条件
要 点
),(),( yxfyxxf ??? xyxf x ?? ),(
),(),( yxfyyxf ??? yyxf y ?? ),(
二元函数
对 x 和对 y 的 偏微分
二元函数
对 x 和对 y 的 偏增量
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
一,全微分的定义
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的某邻域内有
定义，并设 ),( yyxxP ????? 为这邻域内的任意
一点，则称这两点的函数值之差
),(),( yxfyyxxf ?????
为函数在点 P 对应于自变量增量 yx ??,的全增
量，记为
z?
,
即
z?
= ),(),( yxfyyxxf ????? 全增量的概念定义 3
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的全增量
),(),( yxfyyxxfz ??????? 可以表示为
)( ?oyBxAz ??????,其中 BA,不依赖于
yx ??,而仅与 yx,有关，
22
)()( yx ?????,
则称函数
),(= yxfz
在点 ),( yx 可微分，
yBxA ??? 称为函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的
全微分,记为
dz
,
即
dz
= yBxA ???,
全微分的定义定义 4
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，
则称这函数在 D 内可微分,
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 可微分,则
函数在该点连续,
事实上 ),( ?oyBxAz ??????,0lim
0 ??? z?
),(l i m
0
0
yyxxf
y
x
????
??
?? ]),([lim 0 zyxf ??? ??
),( yxf?
故函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 处连续,
如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 可微分，则
该函数在点 ),( yx 的偏导数
x
z
?
?
、
y
z
?
?
必存在，且函
数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 的全微分为
y
y
z
x
x
z
dz ?
?
?
??
?
?
?,
定理 1（必要条件）
二,可微的条件
证 如果函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yxP 可微分,
?????? ),( yyxxP P 的某个邻域
)( ?oyBxAz ?????? 总成立,
当 0?? y 时，上式仍成立，此时 || x???,
),(),( yxfyxxf ??? | )(| xoxA ?????
Ax yxfyxxf
x
?? ???
??
),(),(lim
0
,xz???
同理可得,yzB ???
一元函数在某点的导数存在 微分存在．
多元函数的各偏导数存在 全微分存在．
例如，
.
00
0
),(
22
22
22
?
?
?
?
?
??
??
??
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 )0,0( 处有
0)0,0()0,0( ?? yx ff
])0,0()0,0([ yfxfz yx ???????,)()( 22 yx
yx
???
????
如果考虑点 ),( yxP ??? 沿着直线 xy ? 趋近于 )0,0(,
则 ?
22 )()( yx
yx
???
???
22 )()( xx
xx
???
????,
2
1?
说明它不能随着 0?? 而趋于 0,0??当 时，
),(])0,0()0,0([ ?oyfxfz yx ????????
函数在点 )0,0( 处不可微,
多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２ （充分条件） 如果函数 ),( yxfz ? 的偏
导数
x
z
?
?
、
y
z
?
?
在点 ),( yx 连续，则该函数在点 ),( yx
可微分．
证 ),(),( yxfyyxxfz ???????
)],(),([ yyxfyyxxf ????????
) ],,(),([ yxfyyxf ????
说明
定理 2（充分条件）
),(),( yyxfyyxxf ???????
xyyxxf x ?????? ),( 1? )0( 1 ?? ?
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
xxyxf x ???? 1),( ?（依偏导数的连续性）
且当 0,0 ???? yx 时,01 ??,
其中 1? 为 yx ??,的函数,
xxyxf x ???? 1),( ? yyyxf y ???? 2),( ?z?
21
21 ??
?
?? ????? yx?
,00?? ?? ??
故函数 ),( yxfz ? 在点 ),( yx 处可微,
同理 ),(),( yxfyyxf ???
,),( 2 yyyxf y ???? ?当 0?? 时,02 ??,
习惯上，记全微分为,dyyzdxxzdz ??????
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
.dzzudyyudxxudu ?????????
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个
偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合 叠加
原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
例 1 计算函数 xyez ? 在点 )1,2( 处的全微分,
解,xyye
x
z ?
?
?,xyxe
y
z ?
?
?
,2
)1,2(
e
x
z ?
?
?,2 2
)1,2(
e
y
z ?
?
?
.2 22 dyedxedz ??所求全微分
例 2 求函数 )2c o s ( yxyz ??,当
4
?
?x, ??y,
4
?
?dx, ??dy 时的全微分,
解 ),2s i n ( yxyxz ?????
),2s in (2)2c o s ( yxyyxyz ??????
dy
y
zdx
x
zdz
),
4
(),4(
),
4
(
???
??
?
?
??
?
??
).74(8 2 ????
例 3 计算函数 yzeyxu ???
2
s i n 的全微分,
解,1???xu,2c o s21 yzzeyyu ????
,yzyezu ???
所求全微分
.)2co s21( dzyedyzeydxdu yzyz ????
例 4 试证函数
?
?
?
?
?
?
?
??
)0,0(),(,0
)0,0(),(,
1
s i n
),(
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 )0,0( 连续且偏导数存在，但偏导数在点
)0,0( 不连续，而 f 在点 )0,0( 可微,
按有关定义讨论；对于偏导数需分
)0,0(),( ?yx, )0,0(),( ?yx 讨论,
思路
当 )0,0(),( ?yx 时，
?),( yxf x,1c o s)(1s in 22322
2
22 yxyx
yx
yxy ????
当点 ),( yxP 沿直线 xy ? 趋于 )0,0( 时,
),(lim )0,0(),( yxf xxx ?
,||2 1c o s||22||2 1s inlim 3
3
0
?
?
??
?
? ??
? xx
x
xxx
不存在,
证 令,co s???x,s i n ???y
则 22)0,0(),(
1s i nl i m
yx
xy
yx ??
?????
1s i nc o ss i nlim 2
0
??
? 0? ),0,0(f?
故函数在点 )0,0( 连续,
?)0,0(xf x fxfx ? ???? )0,0()0,(lim 0,000lim 0 ???? ?? xx
同理,0)0,0( ?yf
所以 ),( yxf x 在 )0,0( 不连续,
同理可证 ),( yxf y 在 )0,0( 不连续,
)0,0(),( fyxff ?????
22 )()(
1s i n
yx
yx
???
?????
))()(( 22 yxo ????
故 ),( yxf 在点 )0,0( 可微.0)0,0( ?df
多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续 函数可导
函数可微
偏导数连续
都较小时，有近似等式
连续，且个偏导数
的两在点当二元函数
yxyxfyxf
yxPyxfz
yx ??
?
,),(),,(
),(),(
.),(),( yyxfxyxfdzz yx ??????
也可写成
.),(),(),(
),(
yyxfxyxfyxf
yyxxf
yx ?????
????
三,全微分在近似计算中的应用
例 5 计算 02.2)04.1( 的近似值,
解,),( yxyxf ?设函数
.02.0,04.0,2,1 ?????? yxyx取
,1)2,1( ?f?
,),( 1?? yx yxyxf,ln),( xxyxf yy ?
,2)2,1( ?xf,0)2,1( ?yf
由公式得 02.0004.021)04.1( 02.2 ?????.08.1?
多元函数全微分的概念
多元函数全微分的求法
多元函数连续、可导、可微的关系
（注意：与一元函数有很大区别）注意
本节要点
函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处可微的充分条件是,
（ 1 ） ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处连续；
（ 2 ） ),( yxf
x
?
,),( yxf
y
?
在点 ),(
00
yx 的
某邻域存在；
（ 3 ） yyxfxyxfz
yx
?
?
??
?
?? ),(),(,
当 0)()(
22
???? yx 时是无穷小量；
（ 4 ）
22
)()(
),(),(
yx
yyxfxyxfz
yx
???
?
?
??
?
??
,
当 0)()(
22
???? yx 时是无穷小量,
思
考
题
函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处可微的充分条件是,
（ 1 ） ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处连续；
（ 2 ） ),( yxf
x
?
,),( yxf
y
?
在点 ),(
00
yx 的
某邻域存在；
（ 3 ） yyxfxyxfz
yx
?
?
??
?
?? ),(),(,
当 0)()(
22
???? yx 时是无穷小量；
（ 4 ）
22
)()(
),(),(
yx
yyxfxyxfz
yx
???
?
?
??
?
??
,
当 0)()(
22
???? yx 时是无穷小量,
思考题解答
