第三节 二重积分的应用
曲面的面积
典型例题分析
平面薄板的重心
平面薄板的转动惯量
１．设曲面的方程为,),( yxfz ?
,Dx o y 面上的投影区域为在
,Dd ??设小区域
,),( ?dyx ?点
.
)),(,,(
的切平面
上过为 yxfyxMS?
.dsdA
dAdss
zd
?
?
?
则有
，为；截切平面为柱面，截曲面
轴的小于边界为准线，母线平行以
如图，
?d ),( yx
M dA
x
y
z
s
?
o ?
一、曲面的面积
,面上的投影在为 xoydAd ??,co s ?? ??? dAd
,1 1c o s 22
yx ff ??
???
????? dffdA yx 221
,1 22?? ????
D
yx dffA ?
曲面 S的面积元素
曲面面积公式为,d x d yA
xyD
y
z
x
z??
?
?
?
? ??? 22 )()(1
３．设曲面的方程为,),( xzhy ?
曲面面积公式为,? ? ? ?,1
22 d z d xA
zxD
x
y
z
y??
?
?
?
? ???
２．设曲面的方程为,),( zygx ?
曲面面积公式为,? ? ? ? ;1
22 d y d zA
yzD
z
x
y
x??
?
?
?
? ???
同理可得
例 1 求球面 2222 azyx ???,含在圆柱体
axyx ?? 22 内部的那部分面积,
由对称性知 14 AA ?,
1D, axyx ?? 22
曲面方程 222 yxaz ???,
于是 ? ? ? ? 221 yzxz ???? ??,222 yxa
a
???
解
)0,( ?yx
面积 d x d yzzA
D
yx?? ???
1
2214
?? ???
1
2224
D
d x d y
yxa
a
?? ? ??? ? c o s0 220 14 2 a r d rrada
.42 22 aa ???
例 2 求由曲面 azyx ?? 22 和 222 yxaz ???
)0( ?a 所围立体的表面积,
解 解方程组,2 22
22
?
?
?
???
??
yxaz
azyx
得两曲面的交线为圆周,
222
?
?
?
?
??
az
ayx
在 平面上的投影域为xy,,222 ayxD xy ??
得由 )(1 22 yxaz ??,2axz x ?,2ayz y ?
??? 221 yx zz
22 22
1 ?
?
??
?
???
?
??
?
??
a
y
a
x
,441 222 yxaa ???
知由 222 yxaz ??? ??? 221 yx zz,2
dxdyyxaaS
xyD
?? ??? 222 441故 d x d y
xy
??? 2
r d rraad a ???? ?? ? 0 2220 4122 a??
).15526(6
2
???? a
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx, ),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别
为
n
mmm,,,
21
?,则该质点系的 重心 的坐标为
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
y
m
xm
M
M
x
1
1
,
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
ii
x
m
ym
M
M
y
1
1
．
二、平面薄片的重心 ),( yx
当薄片是均匀的，重心称为 形心,
,1 ???
D
xdAx ?,1 ???
D
ydAy ? ???
D
dA ?其中
,
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxx
x
??
??
.
),(
),(
??
??
?
D
D
dyx
dyxy
y
??
??
由元素法
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心
例 3 设平面薄板由
?
?
?
??
??
)c o s1(
)s in(
tay
ttax
,)20( ??? t
与 x 轴围成，它的面密度 1??,求形心坐标．
解 先求区域 D 的面积 A,
??? 20 t?, ax ???? 20
?
?? a dxxyA 2
0
)(? ? ??? 2
0 )]s in([)c o s1( ttadta
? ? ?? 20 22 )c o s1( dtta,3 2a??
D a?2a?
)(xy
所以形心在 ax ?? 上，即 ax ??,
???
D
y d x d yAy 1 ?? ?? )(
0
2
0
1 xya yd ydx
A
? ??? a dxxya 20 22 )]([6 1 ? ? ??? 20 3]co s1[6 dtta,65?
所求形心坐标为 ),( 65 ?? a,
由于区域关于直线 ax ?? 对称,
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx, ),(
22
yx,,? ),(
nn
yx 处，质量分别为
n
mmm,,,
21
?,则该质点系对于 x 轴和 y 轴的
转动惯量 依次为
?
?
?
n
i
iix
ymI
1
2
,?
?
?
n
i
iiy
xmI
1
2
,
三、平面薄片的转动惯量
,),(2???
D
x dyxyI ??
.),(2???
D
y dyxxI ??
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴
的转动惯量为
薄片对于 轴的转动惯量x
薄片对于 轴的转动惯量y
例 4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长
分别 为 a, b,求这三角形对其中任一直角边的
转动惯量,
解 设三角形的两直角边分别在
x 轴和 y 轴上，如图
a
b
o
y
x
对 y 轴的转动惯量为
,2 dxdyxI
D
y ??? ?
? ? ?? b a by dxxdy0 )1(0 2?,121 3 ?ba?
同理：对 x 轴的转动惯量为
dxdyyI
D
x ???
2?,
12
1 3 ?ab?
例 5 已知均匀矩形板 （面密度为常数 ? ）的长
和宽分别为 b 和 h,计算此矩形板对于通过其形
心且分别与一边平行的两轴的转动惯量,
解 先求形心,1 ???
D
x d x d yAx,1 ???
D
yd x d yAy
建立坐标系如图 o
y
x
,hbA ??区域面积
因为矩形板均匀,
由对称性知形心坐标 2
bx ?,
2
hy ?,
h
b
将坐标系平移如图
o
y
x
h
b
u
v
o?
对 u 轴的转动惯量
???
D
u d ud vvI
2?
? ?? ?? 2 2 2 22h h b b dudvv?,12
3?bh
?
对 v 轴的转动惯量
???
D
v d u d vuI
2?,
12
3 ?hb
?
几何应用：曲面的面积
物理应用：重心、转动惯量
小 结
.
)(c o s,c o s
之间的均匀薄片的重心
求位于两圆 babrar ???? 0??
思
考
题
a b x
y
o
薄片关于 轴对称x
,0?y则
??
??
??
??
?
D
D
d
dx
x
D
r d rrd
b
a
??
????
? ? ?
? ?
?
2
0
c o s
c o s
c o s2
)(
)(
22
4
33
8
ab
ab
?
??
??
??
.)(2
22
ab
abab
?
???
思考题解答
谈谈二重积分计算中的几个问题
选取合适的坐标系
1,看区域 2.看被积函数
一般地说,当 D是：圆、弓形、扇形、环形
)(),( 22 yxFyxf ??
)(),( xyGyxf ?
选极坐标系，其余选直角坐标系
一般地说,当 D,x—— 区域，先积 y
y—— 区域，先积 X
当 D,r—— 区域，先积
—— 区域，先积 r（少见）
?
?
后积先定限 限内划条线
先交是下限 后交是上限
选取适当的积分顺序
确定正确的积分限
注
意
区域 D具有对称性
被积函数具有对称性
例 1
xyxD
dxdyexI
D
y
??
? ?? ?
,:
:
0
22
其中
计算
充分利用对称性
例 2
??
D
d x d y
y
ys i n)( 1 xyxyD ?? 2,:其中
?? ?
D
y d x d ye 22 )(
10 ??? yxyxD,:其中
?? ?
D
dxdy
x 41
13 )( 10 ??? yxyxD,:其中
例 3
V
axyx
azyx
的体积求围成
和柱面
是球面设
?
?
,
??
???
22
2222
D
例 1
解
围成．
由其中计算 2,
1
,.
2
2
????? x
x
yxyDd
y
x
D
?
X-型
???? ? x
xD
dyyxdxdyx 1 2
22
12
2
?
? ?? 21 1
2
)( dxyx x
x?
?? 21 3 )( dxxx.49?
.21,1,???? xxyxD
四,典型例题分析
例 2
解
.10,11:.2 ???????? yxDdxy
D
其中计算 ?
1D 2D
3D
先去掉绝对值符号，如图
??
?
dxydyx
dxy
DDD
D
????
??
????
?
? 321
)()( 22
2
???? ???? ?? 1 21 10 21 1 22 )()( xx dyxydxdyyxdx,1511?
)0(.),(2220 2 ?? ?? ? adyyxfdxI ax xaxa更换积分次序例 3
解
?
?
?
???
??
,22
,20
,2
axyxax
ax
D
,
,
3
21
三部分及
分成将积分区域
D
DDD
2D
1D 3D;0
,
2
,22
2
1
ay
yaax
a
y
D
??
????;2,22:
2
2 ayaaxa
yD ????;0
,2,223
ay
axyaaD
??
????
.),(),(
),(
2
0
2
2
2
0
2
0
22
2
22
2
????
??
??
??
??
?
a
yaa
aa
a
y
a
yaa
a
y
a
dxyxfdydxyxfdy
dxyxfdyI故
例 4
解
）．所围的面积（取圆外部和圆
是由心脏线其中计算
arar
Ddyx
D
???
???
)c o s1(
.22
?
?
??
??
??
?
?
?
???
??
)c o s1(
2
2
22
a
a
D
r d rrd
dyx
?
?
?? ?????
2
2
33 ]1)c o s1[(
3
1 da
).2922(3 ??? a
例 5,)()(
1
1
)()( 12 ??? ?? ?
?
??
b
a
n
x
a
n
b
a
dyyfyb
n
dyyfyxdx
证明
证 ??
??
?
?
??
?
b
y
n
b
a
x
a
n
b
a
dxyfyxdy
dyyfyxdx
)()(
)()(
2
2
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.)()(11 1? ???? b
a
n dyyfyb
n
D
xy?
b
b
a
a
曲面的面积
典型例题分析
平面薄板的重心
平面薄板的转动惯量
１．设曲面的方程为,),( yxfz ?
,Dx o y 面上的投影区域为在
,Dd ??设小区域
,),( ?dyx ?点
.
)),(,,(
的切平面
上过为 yxfyxMS?
.dsdA
dAdss
zd
?
?
?
则有
，为；截切平面为柱面，截曲面
轴的小于边界为准线，母线平行以
如图，
?d ),( yx
M dA
x
y
z
s
?
o ?
一、曲面的面积
,面上的投影在为 xoydAd ??,co s ?? ??? dAd
,1 1c o s 22
yx ff ??
???
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,1 22?? ????
D
yx dffA ?
曲面 S的面积元素
曲面面积公式为,d x d yA
xyD
y
z
x
z??
?
?
?
? ??? 22 )()(1
３．设曲面的方程为,),( xzhy ?
曲面面积公式为,? ? ? ?,1
22 d z d xA
zxD
x
y
z
y??
?
?
?
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２．设曲面的方程为,),( zygx ?
曲面面积公式为,? ? ? ? ;1
22 d y d zA
yzD
z
x
y
x??
?
?
?
? ???
同理可得
例 1 求球面 2222 azyx ???,含在圆柱体
axyx ?? 22 内部的那部分面积,
由对称性知 14 AA ?,
1D, axyx ?? 22
曲面方程 222 yxaz ???,
于是 ? ? ? ? 221 yzxz ???? ??,222 yxa
a
???
解
)0,( ?yx
面积 d x d yzzA
D
yx?? ???
1
2214
?? ???
1
2224
D
d x d y
yxa
a
?? ? ??? ? c o s0 220 14 2 a r d rrada
.42 22 aa ???
例 2 求由曲面 azyx ?? 22 和 222 yxaz ???
)0( ?a 所围立体的表面积,
解 解方程组,2 22
22
?
?
?
???
??
yxaz
azyx
得两曲面的交线为圆周,
222
?
?
?
?
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在 平面上的投影域为xy,,222 ayxD xy ??
得由 )(1 22 yxaz ??,2axz x ?,2ayz y ?
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1 ?
?
??
?
???
?
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?
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y
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,441 222 yxaa ???
知由 222 yxaz ??? ??? 221 yx zz,2
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??? 2
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).15526(6
2
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设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx, ),(
22
yx,,? ),(
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为
n
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21
?,则该质点系的 重心 的坐标为
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
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?
?
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．
二、平面薄片的重心 ),( yx
当薄片是均匀的，重心称为 形心,
,1 ???
D
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D
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,
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D
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D
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y
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由元素法
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域 D,
在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定 ),( yx? 在
D 上连续，平面薄片的重心
例 3 设平面薄板由
?
?
?
??
??
)c o s1(
)s in(
tay
ttax
,)20( ??? t
与 x 轴围成，它的面密度 1??,求形心坐标．
解 先求区域 D 的面积 A,
??? 20 t?, ax ???? 20
?
?? a dxxyA 2
0
)(? ? ??? 2
0 )]s in([)c o s1( ttadta
? ? ?? 20 22 )c o s1( dtta,3 2a??
D a?2a?
)(xy
所以形心在 ax ?? 上，即 ax ??,
???
D
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0
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0
1 xya yd ydx
A
? ??? a dxxya 20 22 )]([6 1 ? ? ??? 20 3]co s1[6 dtta,65?
所求形心坐标为 ),( 65 ?? a,
由于区域关于直线 ax ?? 对称,
设 xoy 平面上有 n 个质点，它们分别位于
),(
11
yx, ),(
22
yx,,? ),(
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yx 处，质量分别为
n
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21
?,则该质点系对于 x 轴和 y 轴的
转动惯量 依次为
?
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n
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1
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三、平面薄片的转动惯量
,),(2???
D
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.),(2???
D
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设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D,在点 ),( yx 处的面密度为 ),( yx?,假定
),( yx? 在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴
的转动惯量为
薄片对于 轴的转动惯量x
薄片对于 轴的转动惯量y
例 4 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长
分别 为 a, b,求这三角形对其中任一直角边的
转动惯量,
解 设三角形的两直角边分别在
x 轴和 y 轴上，如图
a
b
o
y
x
对 y 轴的转动惯量为
,2 dxdyxI
D
y ??? ?
? ? ?? b a by dxxdy0 )1(0 2?,121 3 ?ba?
同理：对 x 轴的转动惯量为
dxdyyI
D
x ???
2?,
12
1 3 ?ab?
例 5 已知均匀矩形板 （面密度为常数 ? ）的长
和宽分别为 b 和 h,计算此矩形板对于通过其形
心且分别与一边平行的两轴的转动惯量,
解 先求形心,1 ???
D
x d x d yAx,1 ???
D
yd x d yAy
建立坐标系如图 o
y
x
,hbA ??区域面积
因为矩形板均匀,
由对称性知形心坐标 2
bx ?,
2
hy ?,
h
b
将坐标系平移如图
o
y
x
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b
u
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对 u 轴的转动惯量
???
D
u d ud vvI
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3?bh
?
对 v 轴的转动惯量
???
D
v d u d vuI
2?,
12
3 ?hb
?
几何应用：曲面的面积
物理应用：重心、转动惯量
小 结
.
)(c o s,c o s
之间的均匀薄片的重心
求位于两圆 babrar ???? 0??
思
考
题
a b x
y
o
薄片关于 轴对称x
,0?y则
??
??
??
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D
D
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x
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8
ab
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?
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.)(2
22
ab
abab
?
???
思考题解答
谈谈二重积分计算中的几个问题
选取合适的坐标系
1,看区域 2.看被积函数
一般地说,当 D是：圆、弓形、扇形、环形
)(),( 22 yxFyxf ??
)(),( xyGyxf ?
选极坐标系，其余选直角坐标系
一般地说,当 D,x—— 区域，先积 y
y—— 区域，先积 X
当 D,r—— 区域，先积
—— 区域，先积 r（少见）
?
?
后积先定限 限内划条线
先交是下限 后交是上限
选取适当的积分顺序
确定正确的积分限
注
意
区域 D具有对称性
被积函数具有对称性
例 1
xyxD
dxdyexI
D
y
??
? ?? ?
,:
:
0
22
其中
计算
充分利用对称性
例 2
??
D
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y
ys i n)( 1 xyxyD ?? 2,:其中
?? ?
D
y d x d ye 22 )(
10 ??? yxyxD,:其中
?? ?
D
dxdy
x 41
13 )( 10 ??? yxyxD,:其中
例 3
V
axyx
azyx
的体积求围成
和柱面
是球面设
?
?
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D
例 1
解
围成．
由其中计算 2,
1
,.
2
2
????? x
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y
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D
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X-型
???? ? x
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dyyxdxdyx 1 2
22
12
2
?
? ?? 21 1
2
)( dxyx x
x?
?? 21 3 )( dxxx.49?
.21,1,???? xxyxD
四,典型例题分析
例 2
解
.10,11:.2 ???????? yxDdxy
D
其中计算 ?
1D 2D
3D
先去掉绝对值符号，如图
??
?
dxydyx
dxy
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2
???? ???? ?? 1 21 10 21 1 22 )()( xx dyxydxdyyxdx,1511?
)0(.),(2220 2 ?? ?? ? adyyxfdxI ax xaxa更换积分次序例 3
解
?
?
?
???
??
,22
,20
,2
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D
,
,
3
21
三部分及
分成将积分区域
D
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,
2
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2
1
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y
a
yaa
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y
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dxyxfdyI故
例 4
解
）．所围的面积（取圆外部和圆
是由心脏线其中计算
arar
Ddyx
D
???
???
)c o s1(
.22
?
?
??
??
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?
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