第五节 高阶导数
高阶导数的定义
高阶导数求法举例
小结
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在
即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
??
?
?????
???
?
??
),( tfs ?设 )()( tftv ??则瞬时速度为
的变化率对时间是速度加速度 tva?
.])([)()( ?????? tftvta
问题,变速直线运动的加速度,
定义
一、高阶导数的定义
记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或????
记作阶导数的函数
阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf ?
.,),( 3
3
dx
ydyxf ??????
二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
例 1 ).0(),0(,ar c t an ffxy ?????? 求设
解 21 1xy ??? )1 1( 2 ????? xy 22 )1( 2xx???
))1( 2( 22 ??????? x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x
?
??
022 )1(
2)0(
??
?????
xx
xf
032
2
)1(
)13(2)0(
??
?????
xx
xf;0?,2??
由高阶导数的定义逐步求高阶导数,1.直接法,
二,高阶导数求法举例
例 2,),( )( nyRxy 求设 ??? ?
解 1????? xy
)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x
??
3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy
)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny,0?
例 3,),1l n( )( nyxy 求设 ??
解 xy ??? 1 1 2)1( 1 xy ?????
3)1(
!2
xy ????? 4
)4(
)1(
!3
xy ???
??
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于
合并,分析结果的规律性,写出 n阶导
数,(数学归纳法证明 )
注
意
例 4,,s i n )( nyxy 求设 ?
解 xy c o s?? )2s i n ( ??? x
)2co s ( ????? xy )22s i n ( ????? x )22s i n ( ???? x
)22co s ( ??????? xy )
23s i n (
???? x
??
)2s i n ()( ???? nxy n
)2co s ()( co s )( ???? nxx n同理可得
例 5,),,(s i n )( nax ybabxey 求为常数设 ?
解 bxbebxaey axax c o ss i n ???
)c o ss i n( bxbbxae ax ??
)a rc t a n()s in (22 abbxbae ax ???????
)]co s ()s i n ([22 ?????????? bxbebxaebay axax
)2s i n (2222 ??????? bxbaeba ax
??
)s i n ()( 222)( ????? nbxebay axnn )a rct a n( ab??
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
?
?
?
??
??
??
???
?
??
?
?????
?
?2,高阶导数的运算法则,
莱布尼兹公式
例 6,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
????
?
?
?????
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
?
?
?
?????
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 ??? xxe x
nn xnx ??? ??????? )1()1()()4( )( ?
n
nn
x
nx )!1()1()( l n)5( 1)( ??? ?
)2s in ()( s in)2( )( ???? nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( ???? nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( ??? aaaa nxnx xnx ee ?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
??? n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
3.间接法,
常用高阶导数公式
例 7,,1
1 )5(
2 yxy 求设 ??
解 )1111(21112 ?????? xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( ??????? xxy
])1( 1)1( 1[60 66 ???? xx
例 8,,co ss i n )(66 nyxxy 求设 ??
解 3232 )( c o s)( s i n xxy ??
)c osc oss i n) ( s i nc os( s i n 422422 xxxxxx ????
xxxx 22222 c o ss i n3)c o s( s i n ???
x2s i n431 2?? 2 4co s1431 x????
x4co s8385 ??
).24co s (483)( ??????? nxy nn
高阶导数的定义及物理意义 ;
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );
n阶导数的求法 ;
1.直接法 ; 2.间接法,
小 结
设 连续，且,)(xg? )()()( 2 xgaxxf ??
求,)(af ??
思
考
题
)( xg? 可导
)()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf ???????
)( xg ??? 不一定存在 故用定义求 )(af ??
)(af ?? ax afxfax ? ???? ? )()(lim 0)( ?? af
ax
xf
ax ?
??
?
)(l i m )]()()(2[l i m xgaxxg
ax ???? ? )(2 ag?
思考题解答
高阶导数的定义
高阶导数求法举例
小结
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在
即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
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?????
???
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),( tfs ?设 )()( tftv ??则瞬时速度为
的变化率对时间是速度加速度 tva?
.])([)()( ?????? tftvta
问题,变速直线运动的加速度,
定义
一、高阶导数的定义
记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或????
记作阶导数的函数
阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf ?
.,),( 3
3
dx
ydyxf ??????
二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
例 1 ).0(),0(,ar c t an ffxy ?????? 求设
解 21 1xy ??? )1 1( 2 ????? xy 22 )1( 2xx???
))1( 2( 22 ??????? x xy 32
2
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)13(2
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由高阶导数的定义逐步求高阶导数,1.直接法,
二,高阶导数求法举例
例 2,),( )( nyRxy 求设 ??? ?
解 1????? xy
)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x
??
3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy
)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny,0?
例 3,),1l n( )( nyxy 求设 ??
解 xy ??? 1 1 2)1( 1 xy ?????
3)1(
!2
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)1(
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)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于
合并,分析结果的规律性,写出 n阶导
数,(数学归纳法证明 )
注
意
例 4,,s i n )( nyxy 求设 ?
解 xy c o s?? )2s i n ( ??? x
)2co s ( ????? xy )22s i n ( ????? x )22s i n ( ???? x
)22co s ( ??????? xy )
23s i n (
???? x
??
)2s i n ()( ???? nxy n
)2co s ()( co s )( ???? nxx n同理可得
例 5,),,(s i n )( nax ybabxey 求为常数设 ?
解 bxbebxaey axax c o ss i n ???
)c o ss i n( bxbbxae ax ??
)a rc t a n()s in (22 abbxbae ax ???????
)]co s ()s i n ([22 ?????????? bxbebxaebay axax
)2s i n (2222 ??????? bxbaeba ax
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)s i n ()( 222)( ????? nbxebay axnn )a rct a n( ab??
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
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0
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)2()1()()(
!
)1()1(
!2
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?2,高阶导数的运算法则,
莱布尼兹公式
例 6,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
????
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22
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1920
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218
2192220
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)9520(2 2220 ??? xxe x
nn xnx ??? ??????? )1()1()()4( )( ?
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)2s in ()( s in)2( )( ???? nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( ???? nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( ??? aaaa nxnx xnx ee ?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
??? n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
3.间接法,
常用高阶导数公式
例 7,,1
1 )5(
2 yxy 求设 ??
解 )1111(21112 ?????? xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( ??????? xxy
])1( 1)1( 1[60 66 ???? xx
例 8,,co ss i n )(66 nyxxy 求设 ??
解 3232 )( c o s)( s i n xxy ??
)c osc oss i n) ( s i nc os( s i n 422422 xxxxxx ????
xxxx 22222 c o ss i n3)c o s( s i n ???
x2s i n431 2?? 2 4co s1431 x????
x4co s8385 ??
).24co s (483)( ??????? nxy nn
高阶导数的定义及物理意义 ;
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );
n阶导数的求法 ;
1.直接法 ; 2.间接法,
小 结
设 连续，且,)(xg? )()()( 2 xgaxxf ??
求,)(af ??
思
考
题
)( xg? 可导
)()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf ???????
)( xg ??? 不一定存在 故用定义求 )(af ??
)(af ?? ax afxfax ? ???? ? )()(lim 0)( ?? af
ax
xf
ax ?
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)(l i m )]()()(2[l i m xgaxxg
ax ???? ? )(2 ag?
思考题解答
