习 题 课
主要内容
典型例题
洛必达法则
Rolle
定理
Lagrange
中值 定理
常用的
泰勒公式
型00,1,0 ??
型??? 型??0型0
0
型??
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
xxF ?)(
)()( bfaf ?
0?n
gfgf 1?? fg
fggf 11 11 ???? 取对数
令 gfy?
单调性,极值与最值,
凹凸性,拐点,函数
图形的描绘 ;
曲率 ;求根方法,
导数的应用
一、主要内容
罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间
],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端
点的函数值相等，即 )()( bfaf ?,那末在 ),( ba
内至少有一点 )( ba ????,使得函数 )( xf 在该
点的导数等于零，
即 0)(
'
??f
1、罗尔中值定理
拉格朗日 （ L a g r a n g e ）中值定理 如果函数 )( xf
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那
末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba ????,使等式
))(()()(
'
abfafbf ???? 成立,
).10()( 0 ????????? ?? xxxfy
.的精确表达式增量 y?
有限增量公式,
2、拉格朗日中值定理
柯西 （ C a u c h y ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少
有一点 )( ba ????,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
?
?
?
?
?
F
f
bFaF
bfaf
成立,
推论
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
3、柯西中值定理
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
型未定式型及 ??00.1 0
型未定式000,1,0,,0.2 ?????? ?
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
的类型,),00( )(??
注意,洛必达法则的使用条件,
4、洛必达法则
泰勒 (Taylor) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x
的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶的导数,则
当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx ? 的一
个 n 次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
)()()!1( )()( 010
)1(
之间与在其中 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
5、泰勒中值定理
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
?
?
?
?
??????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x ???????? ?
)(
1
)1(
32
)1l n (
1
132
?
?
?
?
???????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
??????
?
?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
?
???
?
?
?
????
?
?
常用函数的麦克劳林公式
定理
.],[
)(0)(),(2
],[
)(0)(),(1
.
),(],[)(
0
0
上单调减少
在，那末函数内如果在
上单调增加；
在，那末函数内如果在
可导
内上连续，在在设函数
ba
xfyxfba
ba
xfyxfba
babaxfy
???
???
?
6、导数的应用
(1) 函数单调性的判定法
.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,
),(,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
的一个极大值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
的一个点
内是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
baxbaxf
?
?
定义
(2) 函数的极值及其求法
设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且
在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0' ?xf,定理 (必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数
叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf ??
函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得
极值的点称为 极值点,
极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小
值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
( 1 ) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx,
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
( 2 ) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
( 3 ) 如果当 ),(
00
xxx ??? 及 ),(
00
??? xxx 时,)(
'
xf 符
号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
?xf,0)(
0
''
?xf,那末
( 1) 当 0)( 0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
( 2) 当 0)( 0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 (第二充分条件 )
定理 (第一充分条件 )
);()1( xf ?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 ?? xf;,
)()()3(
判断极值点该点的符号
在在驻点左右的正负号或检查 xfxf ???
.)4( 求极值
求极值的步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比
较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就
是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就
是最值,(最大值或最小值 )
(3) 最大值、最小值问题
步骤,
实际问题求最值应注意,
1)建立目标函数 ;
2)求最值 ;
（或最小）值．函数值即为所求的最大
点，则该点的若目标函数只有唯一驻;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称
恒有两点
内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
?
?
?
(4) 曲线的凹凸与拐点
定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称
恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
?
?
?;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸
内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf;],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则
上的图形是凹的在则
内若在导数
内具有二阶在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
???
???
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
如果 )( xf 在 ),( 00 ?? ?? xx 内存在二阶导数,则点
? ?)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0" ?xf,
定理 1
定理 2
,0)(
,)(
0
0
??? xf
xxf
且
的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx ??
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx ??
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点曲线
是那末而且
的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
?
???????
方法 1:
方法 2:
利用函数特性描绘函数图形,
确定函数 )( xfy ? 的定义域,对函数进行
奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨
论,求出函数的一阶导数 )(
'
xf 和二阶导数 )(
"
xf ;
求出方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 在函数定义
域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数
不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
(5) 函数图形的描绘
第一步
第二步
确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其
他变化趋势 ;
确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符
号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹
凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
描出与方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 的根对
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综
合前四步讨论的结果画出函数的图形,
第三步
第四步
第五步
.1.1 20 dxyds ???弧微分
.lim.2
0
0
ds
dK
s
?
??
?曲率
.
)1( 2
3
2y
yk
??
???
曲率的计算公式
(6) 弧微分 曲率 曲率圆
.),(
,.
1
,
,).0(
),()(
处的曲率圆称此圆为曲线在点如图圆
为半径作为圆心以使取一点
在凹的一侧处的曲线的法线上在点
处的曲率为在点设曲线
M
D
k
DMD
Mkk
yxMxfy
????
?
?
定义
,是曲率中心D,是曲率半径?
.1,1 ???? kk
曲率圆.3 0
例 1
.
]
6
5
,
6
[s i nln
的正确性
上在验证罗尔定理对
??
? xy
解 ),1,0(,22,?? ???????? kkxkD
.]65,6[ 上连续且在 ??
内处处存在在又 )65,6(co t ???? xy
)65()6( ??? ff并且 2ln??
二、典型例题
.
]
6
5
,
6
[s i nln
的条件
上满足罗尔定理在函数
??
?? xy
,0c o t ??? xy由
内显然有解在 )65,6( ??,2??x
,2???取,0)( ???f则
这就验证了命题的正确性,
例 2,)1(51lim 5
2
0 xx
x
x ????
求极限
解,2的次数为分子关于 x?
5
1
5 )51(51 xx ????
)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx ???????
)(21 22 xoxx ????
)1()](21[lim 22
2
0 xxoxx
x
x ?????
?
?
原式,21??
.
)()(
,)1,0(
,:,1)1(,0)0(
,)1,0(,]1,0[)(
ba
f
b
f
a
baff
xf
??
?
?
?
??
??
?? 使内存在不同的在
对任意给定的正数试证
且内可导在上连续在设
例 3
证,均为正数与 ba? 10 ???? ba
a
,]1,0[)( 上连续在又 xf? 由介值定理,
,)( ba af ???使得 ),1,0(??存在
有上分别用拉氏中值定理在,]1,[],,0[)( ??xf
),0(),()0()0()( ????? ????? fff
)1,(),()1()()1( ????? ????? fff
?
?
,1)1(,0)0( ?? ff注意到 由 ?,?有
))(())((1 baf
b
baf
a
?????? ??
)(?f
ba
a
?
??
? ? )( )(11 ? ?? f f???? )(?f ba
b
?
??
?+ ?,得
)(
)(
?
??
f
f
??
.)()( baf bf a ?????? ??
).,0,0(,
2
ln)(lnln yxyx
yx
yxyyxx ???
?
???
证明不等式
例 4
证 ),0(ln)( ?? ttttf令
,1ln)( ??? ttf则,01)( ???? ttf
.0,0),,(),(ln)( 是凹的或在 ???? yxxyyxtttf
)2()]()([21 yxfyfxf ???于是
,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx ????即
.2ln)(lnln yxyxyyxx ????即
])1,0[(
2
1
)(:,1)(),1(
)0(,]1,0[)(
??????
?
xxfxff
fxf
证明
且上二阶可微在若函数
例 5
证 ],1,0[0 ?x设 有展成一阶泰勒公式处把在,)(0 xfx
2
0000 ))((2
1))(()()( xxfxxxfxfxf ???????? ?
则有令,1,0 ?? xx
2
01000 )(2
1)()()0( xfxxfxff ???????
2
02000 )1)((2
1)1)(()()1( xfxxfxff ???????? ?
?
?
2
02
2
010 )1)((2
1)(
2
1)( xfxfxf ???????? ??
?–?,),1()0( ff ?注意到 则有
,1)( ??? xf?
2
0
2
00 )1(2
1
2
1)( xxxf ?????
4
1)
2
1( 2
0 ??? x
,]1,0[0 知又由 ?x,21210 ??x 21)( 0 ?? xf于是有
.,0 可知命题成立的任意性由 x
.
,
,)1,
2
(s i n
2
程两曲线的公共曲率圆方
点处并写出向点具有相同的曲率和凹在
使抛物线与正弦曲线一抛物线
求作处上点过正弦曲线
MM
cbxaxy
Mxy
???
?
?
例 6
解
为曲率圆的圆心坐标分别
曲率半径和处的曲率在点曲线,),()( yxxfy ?
,
])(1[ 2
3
2y
yk
??
???
,1k??
?
?
?
??
?
?
??
??
??
??
???
??
y
y
yy
y
yy
xx
2
0
2
0
)(1
])(1[
,s i n)( xxfy ??对于曲线
,1)2( ??f有 ???? )2(f,1?
,2 cbxaxy ???对于曲线
?? )2(f有,24
2
cba ???? ??? )2(f,ba?? ???? )2(f,2a
若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导
数和二阶导数,于是有
,124
2
????? cba,0??? ba,12 ??a
??? )2(f,0
解此方程组得,21??a,
2
??b,
81
2?
??c
故所求作抛物线的方程为
.81221
2
2 ??????? xxy
),0,2(?
,1??曲率半径
曲率圆的方程为,1)2( 22 ???? yx
两曲线在点处的曲率圆的圆心为
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间
凹凸极值的单调区间求函数
?
??
x
x
xy
例 7
解,)1( 定义域,1??x
),,1()1,1()1,( ?????? ??即
1)( 2 ?
?????
x
xxxf? ),( xf?? 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
?
???
x
x,
)1(
)3(
22
22
?
??
x
xx
,0??y令,3,0,3??x得
y? 22
2
)1(
)3(2
?
??
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 ???? xx
,0???y令,0?x得可能拐点的横坐标
,lim)3( ???? yx? ;没有水平渐近线?
,li m 01 ????? yx又,lim 01 ????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ??
,li m 01 ?????? yx,lim 01 ?????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ???
x
ya
x ??
? lim? )1(1l i m 2 ???
?? x
xx
xx,1?
)(lim axyb x ?? ?? )(lim xyx ?? ?? 1l i m 2 ?? ?? x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy ??
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为
驻点以函数的不连续点
??
????
xx
xx
列表如下,
x )3,( ??? )1,0()1,3( ??3? )0,1(?
y?
y
? ?
y?
1? 0
?
? ?
极大值
0
拐点
0 0?
? ?
x 31
y?
y
?y?
极小值
0?
)3,1( ),3( ??
?
?
??? 3xy极大值,323?
?? 3xy极小值,323
).0,0(拐点为
x
y
o
xy?
1? 1
作图
一,选择题：
1, 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个
共同点，即 （ ）
（ A ） 它们都给出了 ξ 点的求法,
（ B ） 它们都肯定了 ξ 点一定存在，且给出了求 ξ 的
方法。
（ C ） 它们都先肯定了
?
点一定存在，而且如果满足
定理条件，就都可以用定理给出的公式计算 ξ 的
值,
（ D ） 它们只肯定了 ξ 的存在，却没有说出 ξ 的值是
什么，也没有给出求 ξ 的方法,
练 习 题
2, 若 )( xf 在 ),( ba 可导且 )()( bfaf ?,则 （ ）
（ A ） 至少存在一点 ),( ba??,使 0)( ?? ?f ；
（ B ） 一定不存在点 ),( ba??,使 0)( ?
? ?f；
（ C ） 恰存在一点
),( ba??
，使 0)( ?
? ?f；
（ D ） 对任意的
),( ba??
，不一定能使
0)( ?? ?f
,
3,已知
)( xf
在
],[ ba
可导，且方程 f(x) =0 在
),( ba
有
两个不同的根
?
与
?
，那么在
),( ba
（ ）
0)( ?? xf,
（ A ） 必有；
（ B ） 可能有；
（ C ） 没有；
（ D ） 无法确定,
4,如果 )( xf 在 ],[ ba 连续，在 ),( ba 可导,c 为介于
ba,之间的任一点，那么在 ),( ba （ ）找到两点
12
,xx,使 )()()()(
1212
cfxxxfxf ???? 成立,
（ A ）必能； （ B ）可能；
（ C ）不能； （ D ）无法确定能,
5,若
)( xf
在 ],[ ba 上连续，在
),( ba
内可导，且
),( bax ?
时，
0)( ?? xf
，又
0)( ?af
,则 （ ）,
（ A ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ B ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)( ?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的
正负号无法确定,
6, 0)(
0
?? xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点
处有极值的 （ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
7,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小
值，则 （ ）,
（ A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
（ B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
（ C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是
最小值；
（ D ）极大值必大于极小值,
8,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( ?? xf,
二阶导数 0)( ??? xf,则函数 )( xf 在此区间内 ( ).
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
9,设 0)(lim)(lim ??
??
xFxf
axax
，且在点
a
的某
邻域中 （点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在，
且
0)( ?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax ?
存在是
)(
)(
l i m
'
'
xF
xf
ax ?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件,
10, ?
?
?
?
x
x
x
c o s1
1c o s h
lim
0
（ ）,
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1
? ；
（ C ） 1 ； （ D ）
2
1
.
二、求极限：
1,
22
l i m
ax
axax
ax
?
???
?
?
（
0?a
）；
2,
3
1
0
)
s i n1
ta n1
(l i m
x
x
x
x
?
?
?；
3, )]
1
1l n ([lim
2
x
xx
x
??
??； 4,
x
x
x
c o s1
s i n
lim
0
?
?；
三、一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥
体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
四、若 0?x,试证 xx
x
x
???
?
)1l n (
1
.
五、设 dcxbxaxxf ????
23
)( 有拐点 （ 1, 2 ），
并在该点有水平切线，
)( xf
交
x
轴于点 （ 3, 0 ），
求
)( xf
.
六、确定
cba,,
的值，使抛物线 cbxaxy ???
2
与正弦曲线在点
)1,
2
(
?
相切，并有相同的曲率,
七、绘出函数
2
)1(4
)(
2
?
?
?
x
x
xf
的图形,
八、设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，在 ( 0,1 ) 内可导，且
1)1(,0)0( ?? ff,试证：对任意给定的正数 ba,在
)1,0( 内存在不同的 ??,，使 ba
f
b
f
a
???
)()(
''
??
,
一,1, D ； 2, D ； 3, A ； 4, B ； 5, D ；
6, B ； 7, C ； 8, D ； 9, B ； 10, C.
二,1,
a2
1； 2,
2
1
e ； 3,
2
1； 4,不存在,
三、
1:2
.
五、
4
9
4
3
4
3
4
1
)(
23
????? xxxxf,
六、
8
1
22
1
2
2
?
??
?
?? xxy ?,
练习题解答 请记录
主要内容
典型例题
洛必达法则
Rolle
定理
Lagrange
中值 定理
常用的
泰勒公式
型00,1,0 ??
型??? 型??0型0
0
型??
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
xxF ?)(
)()( bfaf ?
0?n
gfgf 1?? fg
fggf 11 11 ???? 取对数
令 gfy?
单调性,极值与最值,
凹凸性,拐点,函数
图形的描绘 ;
曲率 ;求根方法,
导数的应用
一、主要内容
罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间
],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端
点的函数值相等，即 )()( bfaf ?,那末在 ),( ba
内至少有一点 )( ba ????,使得函数 )( xf 在该
点的导数等于零，
即 0)(
'
??f
1、罗尔中值定理
拉格朗日 （ L a g r a n g e ）中值定理 如果函数 )( xf
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那
末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba ????,使等式
))(()()(
'
abfafbf ???? 成立,
).10()( 0 ????????? ?? xxxfy
.的精确表达式增量 y?
有限增量公式,
2、拉格朗日中值定理
柯西 （ C a u c h y ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少
有一点 )( ba ????,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
?
?
?
?
?
F
f
bFaF
bfaf
成立,
推论
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
3、柯西中值定理
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
型未定式型及 ??00.1 0
型未定式000,1,0,,0.2 ?????? ?
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
的类型,),00( )(??
注意,洛必达法则的使用条件,
4、洛必达法则
泰勒 (Taylor) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x
的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶的导数,则
当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx ? 的一
个 n 次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
)()()!1( )()( 010
)1(
之间与在其中 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
5、泰勒中值定理
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
?
?
?
?
??????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x ???????? ?
)(
1
)1(
32
)1l n (
1
132
?
?
?
?
???????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
??????
?
?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
?
???
?
?
?
????
?
?
常用函数的麦克劳林公式
定理
.],[
)(0)(),(2
],[
)(0)(),(1
.
),(],[)(
0
0
上单调减少
在，那末函数内如果在
上单调增加；
在，那末函数内如果在
可导
内上连续，在在设函数
ba
xfyxfba
ba
xfyxfba
babaxfy
???
???
?
6、导数的应用
(1) 函数单调性的判定法
.)()(
,)()(,,
,;)()(
,)()(,,
,
,
),(,),()(
0
00
0
0
00
0
0
的一个极小值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
的一个极大值是函数
就称均成立外除了点任何点
对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点
的一个点
内是内有定义在区间设函数
xfxf
xfxfxx
x
xfxf
xfxfxx
x
baxbaxf
?
?
定义
(2) 函数的极值及其求法
设 )( xf 在点 0x 处具有导数,且
在 0x 处取得极值,那末必定 0)( 0' ?xf,定理 (必要条件 )
定义
.)(
)0)((
的驻点做函数
叫的实根即方程使导数为零的点
xf
xf ??
函数的极大值与极小值统称为 极值,使函数取得
极值的点称为 极值点,
极值是函数的局部性概念,极大值可能小于极小
值,极小值可能大于极大值,
驻点和不可导点统称为 临界点,
( 1 ) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx,
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极大值,
( 2 ) 如果 ),,(
00
xxx ??? 有 ;0)(
'
?xf 而 ),(
00
??? xxx
有 0)(
'
?xf,则 )( xf 在
0
x 处取得极小值,
( 3 ) 如果当 ),(
00
xxx ??? 及 ),(
00
??? xxx 时,)(
'
xf 符
号相同,则 )( xf 在
0
x 处无极值,
设 )( xf 在
0
x 处具有二阶导数,
且 0)(
0
'
?xf,0)(
0
''
?xf,那末
( 1) 当 0)( 0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极大值 ;
( 2) 当 0)( 0
''
?xf 时,函数 )( xf 在
0
x 处取得极小值,定理 (第二充分条件 )
定理 (第一充分条件 )
);()1( xf ?求导数;0)()2( 的根求驻点，即方程 ?? xf;,
)()()3(
判断极值点该点的符号
在在驻点左右的正负号或检查 xfxf ???
.)4( 求极值
求极值的步骤,
1.求驻点和不可导点 ;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比
较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就
是最小值 ;
注意,如果区间内只有一个极值,则这个极值就
是最值,(最大值或最小值 )
(3) 最大值、最小值问题
步骤,
实际问题求最值应注意,
1)建立目标函数 ;
2)求最值 ;
（或最小）值．函数值即为所求的最大
点，则该点的若目标函数只有唯一驻;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称
恒有两点
内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
?
?
?
(4) 曲线的凹凸与拐点
定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称
恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
?
?
?;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸
内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf;],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则
上的图形是凹的在则
内若在导数
内具有二阶在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
???
???
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
如果 )( xf 在 ),( 00 ?? ?? xx 内存在二阶导数,则点
? ?)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0" ?xf,
定理 1
定理 2
,0)(
,)(
0
0
??? xf
xxf
且
的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx ??
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx ??
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点曲线
是那末而且
的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
?
???????
方法 1:
方法 2:
利用函数特性描绘函数图形,
确定函数 )( xfy ? 的定义域,对函数进行
奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨
论,求出函数的一阶导数 )(
'
xf 和二阶导数 )(
"
xf ;
求出方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 在函数定义
域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数
不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
(5) 函数图形的描绘
第一步
第二步
确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其
他变化趋势 ;
确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符
号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹
凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
描出与方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 的根对
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综
合前四步讨论的结果画出函数的图形,
第三步
第四步
第五步
.1.1 20 dxyds ???弧微分
.lim.2
0
0
ds
dK
s
?
??
?曲率
.
)1( 2
3
2y
yk
??
???
曲率的计算公式
(6) 弧微分 曲率 曲率圆
.),(
,.
1
,
,).0(
),()(
处的曲率圆称此圆为曲线在点如图圆
为半径作为圆心以使取一点
在凹的一侧处的曲线的法线上在点
处的曲率为在点设曲线
M
D
k
DMD
Mkk
yxMxfy
????
?
?
定义
,是曲率中心D,是曲率半径?
.1,1 ???? kk
曲率圆.3 0
例 1
.
]
6
5
,
6
[s i nln
的正确性
上在验证罗尔定理对
??
? xy
解 ),1,0(,22,?? ???????? kkxkD
.]65,6[ 上连续且在 ??
内处处存在在又 )65,6(co t ???? xy
)65()6( ??? ff并且 2ln??
二、典型例题
.
]
6
5
,
6
[s i nln
的条件
上满足罗尔定理在函数
??
?? xy
,0c o t ??? xy由
内显然有解在 )65,6( ??,2??x
,2???取,0)( ???f则
这就验证了命题的正确性,
例 2,)1(51lim 5
2
0 xx
x
x ????
求极限
解,2的次数为分子关于 x?
5
1
5 )51(51 xx ????
)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx ???????
)(21 22 xoxx ????
)1()](21[lim 22
2
0 xxoxx
x
x ?????
?
?
原式,21??
.
)()(
,)1,0(
,:,1)1(,0)0(
,)1,0(,]1,0[)(
ba
f
b
f
a
baff
xf
??
?
?
?
??
??
?? 使内存在不同的在
对任意给定的正数试证
且内可导在上连续在设
例 3
证,均为正数与 ba? 10 ???? ba
a
,]1,0[)( 上连续在又 xf? 由介值定理,
,)( ba af ???使得 ),1,0(??存在
有上分别用拉氏中值定理在,]1,[],,0[)( ??xf
),0(),()0()0()( ????? ????? fff
)1,(),()1()()1( ????? ????? fff
?
?
,1)1(,0)0( ?? ff注意到 由 ?,?有
))(())((1 baf
b
baf
a
?????? ??
)(?f
ba
a
?
??
? ? )( )(11 ? ?? f f???? )(?f ba
b
?
??
?+ ?,得
)(
)(
?
??
f
f
??
.)()( baf bf a ?????? ??
).,0,0(,
2
ln)(lnln yxyx
yx
yxyyxx ???
?
???
证明不等式
例 4
证 ),0(ln)( ?? ttttf令
,1ln)( ??? ttf则,01)( ???? ttf
.0,0),,(),(ln)( 是凹的或在 ???? yxxyyxtttf
)2()]()([21 yxfyfxf ???于是
,2ln2]lnln[21 yxyxyyxx ????即
.2ln)(lnln yxyxyyxx ????即
])1,0[(
2
1
)(:,1)(),1(
)0(,]1,0[)(
??????
?
xxfxff
fxf
证明
且上二阶可微在若函数
例 5
证 ],1,0[0 ?x设 有展成一阶泰勒公式处把在,)(0 xfx
2
0000 ))((2
1))(()()( xxfxxxfxfxf ???????? ?
则有令,1,0 ?? xx
2
01000 )(2
1)()()0( xfxxfxff ???????
2
02000 )1)((2
1)1)(()()1( xfxxfxff ???????? ?
?
?
2
02
2
010 )1)((2
1)(
2
1)( xfxfxf ???????? ??
?–?,),1()0( ff ?注意到 则有
,1)( ??? xf?
2
0
2
00 )1(2
1
2
1)( xxxf ?????
4
1)
2
1( 2
0 ??? x
,]1,0[0 知又由 ?x,21210 ??x 21)( 0 ?? xf于是有
.,0 可知命题成立的任意性由 x
.
,
,)1,
2
(s i n
2
程两曲线的公共曲率圆方
点处并写出向点具有相同的曲率和凹在
使抛物线与正弦曲线一抛物线
求作处上点过正弦曲线
MM
cbxaxy
Mxy
???
?
?
例 6
解
为曲率圆的圆心坐标分别
曲率半径和处的曲率在点曲线,),()( yxxfy ?
,
])(1[ 2
3
2y
yk
??
???
,1k??
?
?
?
??
?
?
??
??
??
??
???
??
y
y
yy
y
yy
xx
2
0
2
0
)(1
])(1[
,s i n)( xxfy ??对于曲线
,1)2( ??f有 ???? )2(f,1?
,2 cbxaxy ???对于曲线
?? )2(f有,24
2
cba ???? ??? )2(f,ba?? ???? )2(f,2a
若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导
数和二阶导数,于是有
,124
2
????? cba,0??? ba,12 ??a
??? )2(f,0
解此方程组得,21??a,
2
??b,
81
2?
??c
故所求作抛物线的方程为
.81221
2
2 ??????? xxy
),0,2(?
,1??曲率半径
曲率圆的方程为,1)2( 22 ???? yx
两曲线在点处的曲率圆的圆心为
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间
凹凸极值的单调区间求函数
?
??
x
x
xy
例 7
解,)1( 定义域,1??x
),,1()1,1()1,( ?????? ??即
1)( 2 ?
?????
x
xxxf? ),( xf?? 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
?
???
x
x,
)1(
)3(
22
22
?
??
x
xx
,0??y令,3,0,3??x得
y? 22
2
)1(
)3(2
?
??
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 ???? xx
,0???y令,0?x得可能拐点的横坐标
,lim)3( ???? yx? ;没有水平渐近线?
,li m 01 ????? yx又,lim 01 ????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ??
,li m 01 ?????? yx,lim 01 ?????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ???
x
ya
x ??
? lim? )1(1l i m 2 ???
?? x
xx
xx,1?
)(lim axyb x ?? ?? )(lim xyx ?? ?? 1l i m 2 ?? ?? x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy ??
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为
驻点以函数的不连续点
??
????
xx
xx
列表如下,
x )3,( ??? )1,0()1,3( ??3? )0,1(?
y?
y
? ?
y?
1? 0
?
? ?
极大值
0
拐点
0 0?
? ?
x 31
y?
y
?y?
极小值
0?
)3,1( ),3( ??
?
?
??? 3xy极大值,323?
?? 3xy极小值,323
).0,0(拐点为
x
y
o
xy?
1? 1
作图
一,选择题：
1, 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个
共同点，即 （ ）
（ A ） 它们都给出了 ξ 点的求法,
（ B ） 它们都肯定了 ξ 点一定存在，且给出了求 ξ 的
方法。
（ C ） 它们都先肯定了
?
点一定存在，而且如果满足
定理条件，就都可以用定理给出的公式计算 ξ 的
值,
（ D ） 它们只肯定了 ξ 的存在，却没有说出 ξ 的值是
什么，也没有给出求 ξ 的方法,
练 习 题
2, 若 )( xf 在 ),( ba 可导且 )()( bfaf ?,则 （ ）
（ A ） 至少存在一点 ),( ba??,使 0)( ?? ?f ；
（ B ） 一定不存在点 ),( ba??,使 0)( ?
? ?f；
（ C ） 恰存在一点
),( ba??
，使 0)( ?
? ?f；
（ D ） 对任意的
),( ba??
，不一定能使
0)( ?? ?f
,
3,已知
)( xf
在
],[ ba
可导，且方程 f(x) =0 在
),( ba
有
两个不同的根
?
与
?
，那么在
),( ba
（ ）
0)( ?? xf,
（ A ） 必有；
（ B ） 可能有；
（ C ） 没有；
（ D ） 无法确定,
4,如果 )( xf 在 ],[ ba 连续，在 ),( ba 可导,c 为介于
ba,之间的任一点，那么在 ),( ba （ ）找到两点
12
,xx,使 )()()()(
1212
cfxxxfxf ???? 成立,
（ A ）必能； （ B ）可能；
（ C ）不能； （ D ）无法确定能,
5,若
)( xf
在 ],[ ba 上连续，在
),( ba
内可导，且
),( bax ?
时，
0)( ?? xf
，又
0)( ?af
,则 （ ）,
（ A ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ B ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)( ?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的
正负号无法确定,
6, 0)(
0
?? xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点
处有极值的 （ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
7,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小
值，则 （ ）,
（ A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
（ B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
（ C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是
最小值；
（ D ）极大值必大于极小值,
8,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( ?? xf,
二阶导数 0)( ??? xf,则函数 )( xf 在此区间内 ( ).
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
9,设 0)(lim)(lim ??
??
xFxf
axax
，且在点
a
的某
邻域中 （点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在，
且
0)( ?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax ?
存在是
)(
)(
l i m
'
'
xF
xf
ax ?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件,
10, ?
?
?
?
x
x
x
c o s1
1c o s h
lim
0
（ ）,
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1
? ；
（ C ） 1 ； （ D ）
2
1
.
二、求极限：
1,
22
l i m
ax
axax
ax
?
???
?
?
（
0?a
）；
2,
3
1
0
)
s i n1
ta n1
(l i m
x
x
x
x
?
?
?；
3, )]
1
1l n ([lim
2
x
xx
x
??
??； 4,
x
x
x
c o s1
s i n
lim
0
?
?；
三、一个半径为 R 的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥
体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？
四、若 0?x,试证 xx
x
x
???
?
)1l n (
1
.
五、设 dcxbxaxxf ????
23
)( 有拐点 （ 1, 2 ），
并在该点有水平切线，
)( xf
交
x
轴于点 （ 3, 0 ），
求
)( xf
.
六、确定
cba,,
的值，使抛物线 cbxaxy ???
2
与正弦曲线在点
)1,
2
(
?
相切，并有相同的曲率,
七、绘出函数
2
)1(4
)(
2
?
?
?
x
x
xf
的图形,
八、设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，在 ( 0,1 ) 内可导，且
1)1(,0)0( ?? ff,试证：对任意给定的正数 ba,在
)1,0( 内存在不同的 ??,，使 ba
f
b
f
a
???
)()(
''
??
,
一,1, D ； 2, D ； 3, A ； 4, B ； 5, D ；
6, B ； 7, C ； 8, D ； 9, B ； 10, C.
二,1,
a2
1； 2,
2
1
e ； 3,
2
1； 4,不存在,
三、
1:2
.
五、
4
9
4
3
4
3
4
1
)(
23
????? xxxxf,
六、
8
1
22
1
2
2
?
??
?
?? xxy ?,
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