第二节 罗比达法则
型不定式的定值法"""00" ??
型不定式''0''''1"""0" 21 ???????
例如：,ta nlim
0 x
x
x ?
,s inln s inlnlim
0 bx
ax
x ?
)00( )(??
.
0
0
)(
)(
l i m
,)()(
,)(
)(
型未定式或称为
那末极限
大都趋于零或都趋于无穷与
两个函数时或如果当
?
?
???
??
? xF
xf
xFxf
xax
x
ax
定义
洛必达法则型未定式解法型及一,:00 ??
定义,这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来
确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
.,,,该法则仍然成立时以及时当 ????? xaxx;)()(,)( 都趋于零及函数时当设 xFxfx 01 ?;)()()(
),()(
0
2
???? xFxFxf
aa
都存在且及
本身可以除外点点的某领域内在
);()( )(lim)( 或为无穷大存在xF xf
ax ?
?
?
3
.)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf
axax ?
??
??
则
定理
证 定义辅助函数
,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxfxf,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxFxF
,),(0 xaU 内任取一点在 ?,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
?
??
)(
)(
?
?
F
f
?
??
)( 之间与在 ax?
,,aax ?? ?时当,)( )(lim AxF xfax ?????,)( )(li m AFfa ???? ? ???
.)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax ????? ?? ???
例 1
解
.ta nlim0 x xx ?求
)(
)( t a nli m
0 ?
??
? x
x
x
原式 1s e clim
2 x
x ?
?,1?
例 2
解
.123lim 23
3
1 ???
??
? xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1 ??
??
? xx
x
x
原式 26 6lim1 ?? ? x xx,23?
)00(
)00(
例 3
解
.
1
a r c t a n
2lim
x
x
x
?
???
?
求
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x
?
?
?
?
???
原式
2
2
1lim x
x
x ?
?
???,1?
)00(
例 4
ax
ax
ax ?
?
?
lnlnlim求
a
x
ax
1
1
1
??
?
lim
例 5
.
c o s
lim
x
ee xx
x ?
?? ?
? 1
2
0
求
解
x
ee
x
ee xx
x
xx
x s in
lim
c o s
lim
?
?
?
?
??
?
??
00 1
2
2
0
???
?
? x
ee xx
x c o s
lim
)( 00
注意：法则可以反复使用
tt
ttx
xx
x
tx s in
c o slim
s in
c o slim ???
??
11
0
2
22
2
0
令解
2
121
2
2
00
?
?
?
?? t
t
tt
t
tt
lim
s i n
c o s
lim 无穷小代换
例 6
22
2
0
1
xx
x
x s in
c o slim ?
?
求 )( 0
0
罗必达法则与无穷小代换联合使用，
往往更加简便。
例 7
解
.s inln s inlnlim
0 bx
ax
x ?
求
axbxb
bxaxa
x s i nco s
s i nco sl i m
0 ?
??
?
原式,1?
)(??
ax
bx
x c os
c oslim
0?
?
例 8
nx x
xlnlim
???
求
)(??
解 01
1
1
???
?????????? nxnxnx nxnx
x
x
x
li mli m
ln
li m
例 9
解
.3t a nt a nlim
2
x
x
x ??
求
x
x
x 3s e c3
s e clim
2
2
2
??
?原式
xx 2
2
2
c o s
3c o sli m
3
1
??
?
xx
xx
x s i nco s2
3s i n3co s6lim
3
1
2
?
??
?? x
x
x 2s in
6s inlim
2
??
?
x
x
x 2co s2
6co s6lim
2
??
?,3?
)(??
例 10 )(lim 0?
???
?? x
n
x e
x求 )(?
?
解
x
n
xx
n
xx
n
x e
xnn
e
nx
e
x
??? ?? 2
21 1 ?
???
?
??????
??? )(limlimlim
???
??? xnx e
n
??
!l i m.,,
高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比
时当
nxn xexx
x
,ln
??
:说明和例例 109
例 11
解
.t a nt a nlim 2
0 xx
xx
x
?
?
求
30
t a nl i m
x
xx
x
??
?
原式
x
xx
x 6
t a ns e c2lim 2
0?
?
2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
??
?
x
x
x
ta nlim
3
1
0?
?,31?
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好,
例 12
解
.lim 2 xx ex ????求 )0( ??
x
e x
x 2
lim
???
?原式 2li m
x
x
e
???
? 2li m
x
x
e
???
?,???
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解
决的类型, ),0
0( )(
?
?
型??0.1
步骤,,
10 ??
????,0
100 ????或
型未定式解法二,00,1,0,,0 ?????? ?
例 12
)0(lnlim
0
???
?
xx
x
?求
解
??
?
? ????? ?
??
??? xx
xxx
xxx
1l i mlnl i mlnl i m
000
0l i m
0
?
?
?
?? ?
?x
x
0lnlim
0
??
?
xx
x
特别地
请记住这个结果
例 13
解
).1s in1(lim
0 xxx
?
?
求 )( ???
0
1
0
1 ?????,
00
00
?
??
xx
xx
x s i n
s i nlim
0 ?
??
?
原式
xxx
x
x co ss i n
co s1lim
0 ?
??
?,0?
型???.2
步骤,
型00,1,0.3 ??
?
?
?
?
?
??
??
?
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
0
取对数
.0 ???
例 14
解
.lim0 xx x??求 )0( 0
xx
x e
ln
0l i m ???原式
xx
xe
lnlim
0 ???
2
0 1
1
li m
x
x
x
e
?
??
? 0e?,1?
x
x
x
e
1
lnlim
0 ??
?
步骤,
例 15
1
0
lim ?
? ?
xx
x
x求 )0(
0
xe
x
xx
x
x
x
xxxx eex ln)1(
0
ln)1(
0
1
0
lnlimlimlim ?
?
?
?
?
? ???
??
1
0
1
2
00
ln2l i mlnl i mlnlnl i m
??
?
??
??? ???? x
x
x
xxxx
xxx eee
10
lnl i m2
0 ??? ??
?
ee
xx
x
例 16
解
.lim 1
1
1
x
x
x ?
?
求 )1( ?
xx
x
e ln1
1
1
li m ?
?
?原式 xxxe ??? 1lnlim1 1
1
lim
1???
x
x,1?? e
例 17
x
x
x
x
x
x
xe
e
x
1)1l n (
1
l i m
1
1
0
0]
)1(
[l i m
??
?
??
?
求
x
x
x
xx
xx ee 2
1
1
1
l i m
)1l n (
l i m
0
20
?
???
?? ??
例 18
解
.)( c o tlim ln
1
0
x
x
x?
?
求 )( 0?
,)( co t )l n ( c o tln
1
ln
1 x
xx ex ??取对数得
)l n ( co tln 1l i m
0
xx
x
??
?
?
x
xx
x 1
s i n
1
c o t
1
l i m
2
0
??
?
??
xx
x
x s i nco s
lim
0 ?
??
??,1??,1??? e原式
2
1
)1(2
lim
0
??
?
?? ? ee xx
x
x
例 19
解
.c o slim x xx
x
?
??
求
1
s i n1l i m x
x
??
??
原式 ).s in1(lim xx ?? ??
极限不存在
洛必达法则失效。
)co s11(l i m xx
x
??
??
原式,1?
注意：洛必达法则的使用条件．
洛必达法则 型00,1,0 ??
型??? 型??0型0
0
型?? gfgf 1?? ffggf 11 11 ????
取对数
令 gfy ?
小 结
设
)(
)(
lim
xg
xf
是不定型极限，如果
)(
)(
xg
xf
?
?
的极
限不存在，是否
)(
)(
xg
xf
的极限也一定不存在？
举例说明,
思
考
题
不一定．
例,s i n)( xxxf ?? xxg ?)(
显然 ????? )( )(lim xg xfx 1co s1lim x
x
?
?? 极限不存在．
但 ??? )( )(lim xg xfx x xx
x
s inlim ?
?? 1?
极限存在．
思考题解答
一,填空题：
1, 洛必达法则除了可用于求,
0
0
”，及,
?
?
”两种
类型的未定式的极限外，也可通过变换解决
_____ ___ ____ _, ___ ____ ___ ___, _ ____ ___ ____,
_____ ___ ____ _, ___ ____ ___ ___,等型的未定式
的求极限的问题,
2,
x
x
x
)1l n (
l i m
0
?
?
=____ ___ ____,
3,
x
x
x
2ta nln
7ta nln
l i m
0?
=____ ___ ____ _.
练 习 题
二,用洛必达法则求下列极限：
1,
2
2
)2(
s inln
li m
x
x
x
??
?
?； 2,
x
x
x
a r c ta n
)
1
1l n (
l i m
?
???；
3, xx
x
2c o tlim
0?； 4,
)
1
1
1
2
(lim
2
1
?
?
?
?
xx
x；
5,
x
x
x
s i n
0
lim
??； 6,
x
x
x
t a n
0
)
1
(l i m
??；
7,
x
x
x )a r c t a n
2
(lim
????
,
三,讨论函数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
0,]
)1(
[
)(
2
1
1
1
xe
x
e
x
xf
x
x
当
当
,
在
处点 0?x
的连续性,
一,1,
00
,0,1,,0 ??????
?； 2, 1 ； 3, 1.
二,1,
8
1； 2, 1 ； 3,
2
1； 4,
2
1； 5, 1 ；
6, 1 ； 7,
?
?
2
e,
三、连续,
练习题解答 请记录