第四节 几种特殊类型函数的积分
有理函数的积分
三角函数有理式的积分
简单无理函数的积分
小结
两个多项式的商表示的函数称之,
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
xQ
xP
????
?????
?
?
?
?
1
1
10
1
1
10
)(
)(
?
?
其中 m, n 都是非负整数； naaa,,,10 ? 及
mbbb,,,10 ? 都是实数，并且 00 ?a, 00 ?b,
有理函数的定义：
一、有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式
利用多项式除法,假分式可以化成一个多
项式和一个真分式之和,
例 1 12
3
?
??
x
xx,
1
1
2 ??? xx
将有理函数化为部分分式之和,
,mn ? 这有理函数是； 真分式
,mn ? 这有理函数是； 假分式
难点
,)()( 121 ax Aax Aax A kkk ?????? ? ?
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
其中 kAAA,,,21 ? 都是常数,
特殊地,,1?k 分解后为 ;axA?
分母中若有因式,则分解后为 kax )( ?1
qpxx
NxM
qpxx
NxM
qpxx
NxM kk
kk ??
???
??
??
??
?
? 212
22
2
11 )()( ?
其中 ii NM,都是常数 ),,2,1( ki ??,
特殊地：,1?k 分解后为 ;2 qpxx
NMx
??
?
分母中若有因式,其中 kqpxx )( 2 ??
则分解后为 042 ?? qp
2
真分式化为部分分式之和的 待定系数法
65
3
2 ??
?
xx
x
)3)(2(
3
??
??
xx
x,
32 ???? x
B
x
A
),2()3(3 ????? xBxAx?
),23()(3 BAxBAx ??????
??
?
???
???
,3)23(
,1
BA
BA,
6
5
??
?
?
???
B
A
65
3
2 ??
??
xx
x,
3
6
2
5
???
??
xx
例 1
2)1( 1?xx
,1)1( 2 ????? x Cx BxA
)1()1()1(1 2 ????? xCxBxxA
代入特殊值来确定系数 CBA,,
取,0?x 1?? A 取,1?x 1?? B
取,2?x BA,并将 值代入 )1( 1??? C
.11)1( 11 2 ????? xxx2)1( 1?? xx
例 2
例 3
.1 5
1
5
2
21
5
4
2x
x
x ?
??
???
)1)(21(
1
2xx ??
),21)(()1(1 2 xCBxxA ?????
,)2()2(1 2 ACxCBxBA ??????
??
?
?
?
??
??
??
,1
,02
,02
CA
CB
BA
,51,52,54 ????? CBA
,121 2x CBxxA ? ???
)1)(21(
1
2xx ???
整理得
求积分,)1(
1
2 dxxx? ?
dxxx? ? 2)1( 1 dxxxx? ?????? ????? 11)1( 11 2
dxxdxxdxx ??? ????? 11)1( 11 2
.)1l n(11ln Cxxx ??????
解
例 4
求积分
解
.)1)(21( 1 2? ?? dxxx
dxx
x
dxx ?? ?
??
??? 21 5
1
5
2
21
5
4
? ?? dxxx )1)(21( 1 2
dxxdxxxx ?? ?????? 22 1 1511 251)21l n (52
.a rcta n51)1l n(51)21l n(52 2 Cxxx ??????
例 5
求积分
解
.
1
1
632
dx
eee
xxx?
???
令 6xet?,ln6 tx ??,6 dttdx ?
dx
eee
xxx?
??? 6321
1
dttttt 61 1 23 ????? ?
dtttt? ??? )1)(1( 16 2 dttttt? ?????? ?????? 21 331 36
例 6
Ctttt ??????? a rcta n3)1l n(23)1l n(3ln6 2
dttttt? ?????? ?????? 21 331 36
.)a r c t a n (3)1l n (23)1l n (3 636 Ceeex xxx ???????
2
3)1l n(3ln6 ???? tt dt
tt
td? ?
???
?
22
2
1
13
1
)1(
将有理函数化为部分分式之和后，只出
现三类情况：
多项式； ;
)( nax
A
? ;)( 2 nqpxx NMx ?? ?
讨论积分,)( 2? ??
? dx
qpxx
NMx
n
,42
22
2 pqpxqpxx ???
?
??
?
? ?????
令 tpx ?? 2
说明
,422 pqa ??,2MpNb ??则
? ?? ?? dxqpxx NMx n)( 2
? ?? dtat Mt n)( 22 ? ?? dtat b n)( 22
,222 atqpxx ????,bMtNMx ???记
,1?n
? ?? ? dxqpxx NMx n)( 2
122 ))(1(2 ????? natn
M,
)(
1
22? ?? dtatb n
,1?n ? ??
? dx
qpxx
NMx
2
)l n(2 2 qpxxM ??? ;2a r c t a n Ca
px
a
b ???
1
2
.,)( 22 为正整数其中计算 nax dxI nn ? ??
时有用分部积分法，当 1?n
dxax xnax xax dx nnn ?? ?????? ?? )()1(2)()( 22
2
122122
dxax aaxnax x nn ])()( 1[)1(2)( 22
2
122122 ??????? ? ??
))(1(2)( 211221 nnnn IaInax xI ????? ???即
])32()([)1(2 1 11222 ?? ????? nnn Inax xnaI于是
这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数,
有理函数的原函数都是初等函数,
以此作递推公式
])32()([)1(2 1 11222 ?? ????? nnn Inax xnaI于是
并由 ??
?
?
?
?
2
221
)(1
)(1
a
x
a
x
d
aax
dx
I
Caxa ?? a r c t a n1
结论
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构
成的函数称之．由于各种三角函数都可用 sinx、
cosx的有理式表示，故三角函数有理式也就是
sinx, cosx的有理式,一般记为
两个变量的有理式表示其中日 vuvuR,),(
)c o s,( s i n xxR
二、三角函数有理式的积分
,2s i n2co sco s 22 xxx ??
2co s2s i n2s i n
xxx ??
2
sec
2
tan2
2 x
x
?,
2
t a n1
2
t a n2
2 x
x
?
?
2
c o s
1
2
c o s
2
s i n
1
1
2
s i n
2
c o s
2
2
2
22
x
x
x
xx
?
?
?
?
2
s e c
2
t a n1
c o s
2
2
x
x
x
?
?,
2
t a n1
2
t a n 2
x
x
?
?
?
令 2ta n xu ?
,1 2s in 2uux ??,11co s 22uux ???
ux a r c t a n2?
duudx 21 2??
? ?dxxxR )co s,(s i n,1 211,1 2 2222 duuuuuuR ??????? ????
（万能置换公式）
求积分,c o ss i n1
s i n?
?? dxxx
x
解,1 2s i n 2uux ??
2
2
1
1c o s
u
ux
?
??,
1
2
2 duudx ??
由万能置换公式
? ?? dxxx x co ss i n1 s i n duuu u? ??? )1)(1( 2 2
duuu uuu? ?? ????? )1)(1( 112 2 22
例 7
duuu uu? ?? ???? )1)(1( )1()1( 2 22 duuu? ??? 211 duu? ?? 1 1
ua rcta n? )1l n(21 2u?? Cu ??? |1|ln
2t an
xu ??
2
x? |
2s e c|ln
x?,|
2ta n1|ln C
x ???
求积分,sin
1
4? dxx
解（一）,2ta n xu ?,1 2s i n 2uux ??,1 2 2 duudx ??
? dxx4sin1 duu uuu? ???? 4 642 8 331
Cuuuu ?????? ]3333 1[81 33,
2
t a n
24
1
2
t a n
8
3
2
t a n8
3
2
t a n24
1 3
3 C
xx
xx ???
??
?
????
?
?
??
?
?
??
例 8
解（二） 修改万能置换公式,xu tan?令
,1s i n 2uux ??,1 1 2 duudx ??
? dxx4sin1
du
u
u
u? ?
?
?????? ?
? 24
2
1
1
1
1
duu u? ?? 4 21
Cuu ???? 13 1 3,co tco t31 3 Cxx ????
解（三） 可以不用万能置换公式,
? dxx4sin1 dxxx )co t1(cs c 22? ??
x d xxx d x 222 c s cc o tc s c? ??? )(cot xd?
.co t31co t 3 Cxx ????
比较以上三种解法,便知万能置换不一定
是最佳方法,故三角有理式的计算中先考
虑其它手段,不得已才用万能置换,
结论
求积分,s i n3s i n
s i n1?
?
? dx
xx
x
解 2c o s2s i n2s i ns i n
BABABA ????
? ?? dxxx xs i n3s i n s i n1 ? ?? dxxx xco s2s i n2 s i n1
? ?? dxxx x2co ss i n4 s i n1
?? dxxx 2co ss i n 141 ?? dxx2co s141
例 9
? ?? dxxx xx 2 22 c o ss i n c o ss i n41 ?? dxx2co s141
?? ?? dxxdxxx s i n141co ss i n41 2?? dxx2co s141
?? ??? dxxxdx s i n141)(co sco s141 2?? dxx2co s141
xcos4
1?
2ta nln4
1 x?,ta n
4
1 Cx ??
),,( n baxxR ? ),,( n ecx baxxR ??
作代换去掉根号,
求积分 ?
? dx
x
x
x
11
解 令 tx x ??1,1 2tx x ???
例 10
讨论类型
解决方法
三、简单无理函数的积分
,112 ?? tx ? ?,12 22 ??? t td tdx
? ? dxx xx 11 ? ? ? ? dtt ttt? ???? 222 121? ??? 12 2 2t dtt
dtt? ?????? ???? 1112 2 Cttt ?????? 11ln2
.11ln12
2
Cx xxx x ?
???
?
???
? ?
?
??
?
? ??????
求积分,11
1
3? ??? dxxx
解 令 16 ?? xt,6 5 dxdtt ??
? ??? dxxx 3 11 1 dtttt 523 61 ??? ?
dtt t? ?? 16 3 Ctttt ?????? |1|ln6632 23
.)11l n (6131312 663 Cxxxx ??????????
说
明 无理函数去根号时,取根指数的 最小公倍数,
例 11
求积分,1213? ??? dxxx
x
解 先对分母进行有理化
原式 ? ?????? ???? dxxxxx xxx )1213)(1213( )1213(
? ???? dxxx )1213(
)13(1331 ??? ? xdx )12(1221 ??? ? xdx
.)12(31)13(92 2323 Cxx ?????
例 12
（注意：必须化成真分式）
（注意：万能公式并不万能）
有理式分解成部分分式之和的积分,
小 结
三角有理式的积分,（万能置换公式）
简单无理式的积分,
将分式分解成部分分式之
和时应注意什么？
思
考
题
分解后的部分分式必须是最
简分式,
思考题解答