定积分习题课
主要内容
典型例题
问题 1:
曲边梯形的面积
问题 2:
变速直线运动的路程
存在定理 广义积分定积分
定
积
分
的
性
质
定
积
分
的
计
算
法
牛顿 -莱布尼茨公式 )()()( aFbFdxxfb
a ???
一、主要内容
实例 1 （求曲边梯形的面积 A）
i
n
i
i xfA ?? ?
??
)(lim
10
?
?
曲边梯形由连续曲线 )( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,bx ? 所围成,
1、问题的提出
实例 2 （求变速直线运动的路程）
i
n
i
i tvs ?? ?
??
)(l i m
10
?
?
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv ? 是时间
间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)( ?tv,求
物体在这段时间内所经过的路程 S.
分割、求和、取极限,
方法,
设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，在 ],[ ba 中任意
若干若干个分点 bxxxxxa
nn ??????? ? 1210 ?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，
各小区间的长度依次为 1???? iii xxx, ),2,1( ??i,
在各小区间上任取 一点 i? （ ii x??? ），
],,[],,[],,[ 12110 nn xxxxxx ??
2、定积分的定义
定义
怎样的分法，
? ??ba Idxxf )( ii
n
i
xf ??
??
)(l i m
10
?
?
.
也不论在小区间 ],[ 1 ii xx ? 上
的取法,只要当 0?? 时，和 S 总趋于 确定的极限 I,
在区间 ],[ ba 上的 定积分,
记为
记 },,,m a x { 21 nxxx ???? ??,如果不论对 ],[ ba
我们称这个极限 I 为函数 )( xf
作乘积 ii xf ?)( ? ),2,1( ??i
点 i? 怎样
并作和 ii
n
i
xfS ?? ?
?
)(
1
?,
可积的两个 充分 条件：
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时,
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点，则 )( xf 在区间
],[ ba 上可积,
3、存在定理
定理 1
定理 2
? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 )
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(
假设 bca ??
4、定积分的性质
性质 1
性质 2
性质 3
则 0)( ?? dxxfba )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )( )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,（ 1）
dxxfba? )( dxxfba?? )()( ba ?（ 2）
dxba ?? 1 dxba?? ab ??性质 4
性质 5
推论：
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ? )( ba ?? ?
设 M 及 m 分别是函数
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
)( xf 在区间 ],[ ba
上的最大值及最小值，
积分中值公式
性质 6
性质 7 (定积分中值定理 )
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
?? )()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数
是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
??? ? ? )( bxa ??
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
?? )()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个原函
数,
5、牛顿 — 莱布尼茨公式
定理 1
定理 2 （原函数存在定理）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原
函数，则
)()()( aFbFdxxf
b
a
???
.)]([)( baba xFdxxf ??也可写成
牛顿 — 莱布尼茨公式
.],[
],[:
上的增量它的任一原函数在区间
上的定积分等于一个连续函数在区间表明
ba
ba
定理 3 （微积分基本公式）
dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)(
换元公式
（ 1）换元法
（ 2）分部积分法
分部积分公式
?? ?? bababa v d uuvud v ][
6、定积分的计算法
(1)无穷限的广义积分
? ??a dxxf )( ????? bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在
时，称广义积分 发散,
? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(lim
７、广义积分
(2)无界函数的广义积分
?ba dxxf )( ? ???? ba dxxf?? )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在
时，称广义积分 发散,
? ba dxxf )( ? ???? ?? ba dxxf )(lim 0
? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?? bc dxxf )(
? ???? ?? ca dxxf )(l i m 0 ? ?????? bc dxxf?? )(lim 0
求下列极限例 1
22222 4
1
24
1
14
1[).1( l i m
nnnnn ?
??
?
?
???
?
))1(s i n2s i n( s i n1).2( lim nnnnn
n
??? ????
??
?
]
)(4
1
)(4
1
)2(4
1
14
1[1)1(
222
2 n
n
n
i
nn
n
?
??
?
??
?
?
?
? ??原式解：
二、典型例题
上的，在区间数从上式可以看出它是函 ]10[4 1)( 2xxf ??
于是一个积分和式,
???
?
?
?
?
?
?
1
0
2
1
0
2
1
0 2
)
2
(
)
2
(1
1
)
2
(12
1
4
1 x
d
x
dx
x
dx
x
原式
2
1a r c t a n
2a r c t a n
1
0 ??
x
)0)1(s i n2s i n( s i n1)2( lim ??????
?? n
n
nnnn ?
???
?原式
)s i n)1(s i n2s i n( s i n1 l i m ?????? nnnnnnn
n
??????
??
?
上的，在区间数从上式可以看出它是函 ]0[s i n)( ?xxf ?
于是一个积分和式,
? ??
?
?? 0
2s i n1 xdx原式
等式不通过计算证明下列不例 2
?? ? ?? ??? 2
1
2
1
2
1
2
0
2 22)2(
2
1s i n)1( 2 dxeexdx x?
0]
2
10[0]0,
2
1[)2( ????? yy 上，在上在
)21(1]2121[ 2
1
2 ??? ?? xee x,最小值为的最大值为上，在
解,xxxxx ??? s i ns i ns i n]
20[)1(
2 且上，在 ?
82
1s i n 22
0
22
0
2
0
2 ?
???
???? ?? xxdxdx
]
2
1
2
1[1]
2
1
2
1[ 21
2
1
2
1
2 ?
?????? ?
?
?? dxee x于是
设）（处处连续，且已知函数若例 51)(3 ??? x
)1()()(21)(
0
2 fdtttxxf x ????? ? 试计算?
证明,再求导分析：先展开提出 x
dtttxtxxf x )()2(21)(
0
22 ?? ???
??? ??? xxx dtttdtttxdttx 0 2002 )()(2)([21 ???
)()(2)(2)()(2[
2
1
)(
22
00
2 xxxxdtttxxdttx
xf
xx
????? ????
??
??
?? ?? xx dtttdttx 00 )()( ??
)()()()(
0
xxxxdttxf x ??? ????? ?
5)1()1()()( ?????????? ?? fxxf
dxx
dxt g x
t g x
x
x ?
?
??
0
s i n
0
00 s i n
4 l i m求极限例
解,)
0
0( 型不定型
xt g x
xxtg
x
2
00 s e c)s i n (
c o s)( s i n
lim ?
?
?
??
原式
2
1
00
]
)s i n (
s i n
s i n
)( s i n[l i m
t g x
t g x
t g x
x
x
xtg
x
???
??
1?
)(21)()(5
2 2
0 xfdttfxf
x x 求处处连续，且设例 ? ??
xxxf x 22ln22)( 22 ?????解：两边求导
2ln2)(2ln2)( 22 xx xfxf ?????
?? ?? x t dtexfdxxf 110 2)()(6 其中求例
解,想法 分部积分法
由 ? ?
? x t dtexf
1
2)( 2)( xexf ????
?? ??? 1010 10 )()()( dxxfxxxfdxxf
例 6
解
.2s i n120?
?
? dxx求
?
?
?? 20 co ss i n dxxx原式
??
?
?
?
???? 2
4
4
0
)co s( s i n)s i n( co s dxxxdxxx
.222 ??
)1(21 1
1
1
0
22 ???? ???? ? edxxedtex x xt
例 7
解
.c o ss i n s i n2
0?
?
? dxxx
x求
,c o ss i n s i n20?
?
?? dxxx
xI由,
c o ss i n
c o s2
0?
?
?? dxxx
xJ设
,220 ???? ?
?
dxJI则
?
?
?
??? 2
0 c o ss i n
c o ss i n dx
xx
xxJI ? ?
?
??? 2
0 c o ss i n
)s i n( c o s
x
xxd.0?
,22 ??I故得,4??I即
例 8
解
.12ln0 2? ?? dxe x求
,s i n te x ??令
.s i nco s,s i nln dtttdxtx ????则
?
?
? ??
6
2
)s i nco s(co s dtttt原式
?
??
2
6
2
s i n
co s dt
t
t
x
t
0 2ln
2
?
6
?
??
?
?
?
? ??
2
6
2
6
s i ns i n td ttdt,
2
3)32ln ( ???
例 9
解
.2s i nln40?
?
x d x求
,2 tx ?令,s i nln2
12s i nln 2
0
4
0 ??
??
? t d tx d x
?
?
? 40 2s i nln x d xI ?
?
? 40 )co ss i n2l n ( dxxx
?
?
??? 40 )co slns i nln2( ln dxxx
??
?
?
?
???? 2
4
4
0
s i nlns i nln2ln4 xdxxdx
?
?
??? 2
0
s inln2ln4 x d xI22ln4 ???
.2ln4???? I
例 10,])1(ln1
s i n[21
2
1
2
8?? ??? dxxx
x求
解 dxx?
?
??? 2
1
2
1 )1ln (0原式
dxxdxx ?? ????
?
2
1
0
0
2
1 )1ln ()1ln (
.21ln23ln23 ??
例 11,},
1m i n {2
2
2?
?
dxxx求
解 ?
?
?
?
?
?
?
?
1,
1
1,
},
1
m i n{
2
2
x
x
xx
x
x
?
是偶函数,
dxxx },1m i n {2 22
0?
?原式
?? ?? 2110 2 122 dxxdxx,2ln232 ??
例 12,)()1(,)(
1
0
2
0
22 ?? ?? ?? dxxfxdyexf x yy 求设
解 ? ? ???? 1
0 0
22 ][)1( 2 dxdyex x yy原式
?? ???? ???? 10 23100 23 22 )1(31])1(31[ dxexdyex xxx yy
? ???? ???10 21)1(2 ])1[()1(61 2 xdex x
ux ?? 2)1(令 ? ?? 0
16 duue
e u ).2(
6
1 ??? e
例 13,
c o s1
)( s i n
2c o s1
)( s i n
:,],0[)(
0 20 2 ??
??
?
?
?
?
?
dx
x
xf
dx
x
xxf
xf 证明上连续在设
证,tx ???令
)(c o s1 )( s in)(0 2 dtt tft ????? ??左边
,dtdx ??
dxx xfx? ? ???? 0 2co s1 )( s i n)(
dxxxxfdxxxf ?? ?? ????? 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in
dxxxfdxxxxf ?? ?? ???? 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in2即
.c o s1 )( s in2c o s1 )( s in 0 20 2 dxxxfdxxxxf ?? ?? ?????
例 14,)(
)(
)(
.0)(],[)(
2ab
xf
dx
dxxf
xfbaxf
b
a
b
a
???
?
??证明
上连续，且在区间设
证 作辅助函数
,)()()()( 2axtf dtdttfxF x
a
x
a
??? ??
)(2)(1)()(1)()( axxfdttfdttfxfxF x
a
x
a
?????? ???
,2)( )()( )( ??? ??? x
a
x
a
x
a
dtdtxf tfdttf xf
0)2)( )()( )(()( ????? ? dtxf tftf xfxF x
a
即
2)( )()( )( ??? xf tftf xf,0)( ?xf?
.)( 单调增加xF
,0)( ?aF?又,0)()( ??? aFbF
.)()()( 2abxf dxdxxf b
a
b
a
??? ??即
例 15,
123
)2(;
94
)1(
:
2
1 22 ?? ????
??
?? xxx
dx
xx
dx
求下列广义积分
解 (1) ??
??
?? ?????? 0 2
0
2 9494 xx
dx
xx
dx原式
?? ?????? ?????? bbaa x dxx dx 0 20 2 5)2(lim5)2(lim
b
baa
xx
0
0
5
2a r c t a n
5
1lim
5
2a r c t a n
5
1lim ????
??????
.5??
(2),123 1lim)(lim 2
11
?????
?? xxx
xf
xx
?
.)(1 的瑕点为 xfx ??
? ?? ??? ? 21 20 123lim ?? xxx dx原式
]
)
1
1(2
)
1
1(
[lim
2
1
220
? ??
??
?
??
? ??
x
x
d
2
10 2
11
a r c s inlim ?
? ??
?
??
?
x.
4
3a rcs i n
2 ?
??
一,选择题,
1, ??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
22222
21
lim
nn
n
n
n
n
n
n
? ( )
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1；
（ C ）
4
?； （ D ）
2
?
,
2,
?
?
x
dtt
dx
d
0
2
)1l n ( = （ ）
（ A ） )1ln(
2
?x ； （ B ） )1ln(
2
?t ；
（ C ） )1ln(2
2
?xx ； （ D ） )1ln(2
2
?tt,
练 习 题
3,
3
0
2
0
s i n
l i m
x
dtt
x
x
?
?
=( )
（ A ） 0 ； （ B ） 1 ；
（ C ）
3
1； （ D ） ?,
4,,定积分 ?
1
0
dxe
x
的值是 （ ）
（ A ） e ； （ B ）
2
1；
（ C ）
2
1
e； （ D ）
2
,
5,下列积分中，使用变换正确的是 （ ）
（ A ）,
s i n1
0
3?
?
?
x
dx
令 tx a r c t a n? ；
（ B ）
?
?
3
0
3 2
1 dxxx,令 tx s i n? ；
（ C ） ?
?
?
?2
1
2
2
1
)1l n (
dx
x
xx
，令 ux ??
2
1 ；
（ D ） ?
?
?
1
1
2
1 dxx,令
3
1
tx ?,
6,下列积分中，值为零的是 （ ）
（ A ） ?
?
1
1
2 dxx ； ( B ） ?
?
2
1
3 dxx ；
（ C ） ?
?
1
1
dx ； （ D ） ?
?
1
1
2 s i n xd xx,
7, 已知 5)2(,3)2(,1)0(
'
??? fff,
则
?
?
2
0
''
)( dxxxf （ ）
（ A ） 12 ； （ B ） 8 ；
（ C ） 7 ； （ D ） 6,
8,设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
x
xf
x
，则定积分
?
?
2
0
)1( dxxf
= （ ）
（ A ） )
1
1l n (1
e
?? ； （ B ） 3ln)1ln(2
2
??? e ；
（ C ） 2ln)
1
1l n (1 ???
e; （ D ） )
1
1l n (1
e
??,
9,广义积分
?
??
??
2
2
2xx
dx
= （ ）
（ A ） 4ln ； （ B ） 0 ；
（ C ） 4ln
3
1； （ D ）发散,
10,广义积分
?
?
??
2
0
2
34 xx
dx
（ ）
（ A ） 3ln1 ? ； （ B ）
3
2
ln
2
1；
（ C ） 3ln ； （ D ）发散,
二、证明不等式,
)2(,
612
1
2
1
0
??
?
?
?
n
x
dx
n
?
.
三、求下列函数的导数：
1,
?
?
?
3
2
4
1
)(
x
x
t
dt
xF ;
2.,由方程 1
s in
2
2
00
??
??
xy
t
dt
t
t
dte, 的为确定 xy
函数，求
dx
dy
.
四、求下列定积分：
1,
?
?
4
1
)1( xx
dx； 2,
?
??
a
xax
dx
0 22；
3,
?
?
3
0
1
ar c s i n dx
x
x； 4,
?
?
??
5
2
2
32 dxxx ；
5,
?
?
?
1
1
1
21
x
dx； 6,
?
??
??
?? 94
2
xx
dx；
7,
?
??
2
1 2
123 xxx
dx； 8,
?
??
?
1
1
1
dx
xx
.
五,设 ? ?1,0)( 在xf 上有连续导数，,0)0( ?f
且 1)(0 ??? xf,试证：
? ? ? ??? ?
1
0
3
2
1
0
)()( dxxfdxxf,
六,设 )( xf 在 [0, 1] 上有二阶连续导数，证明：
? ?
??
????
1
0
''
1
0
)()1(
2
1
)1()0(
2
1
)( dxxfxxffdxxf,
一,1, C ； 2, A ； 3, C ； 4, D ； 5, C ；
6, D ； 7, B ； 8, A ； 9, C ； 10, D.
三,1,
812
2
1
2
1
3
x
x
x
x
?
?
?； 2,
2
s in2
2
xe
y?
?,
四,1,
3
4
ln2 ； 2,
4
?； 3, 3
3
4
?? ； 4,
3
71；
5, 1 ； 6,
5
?； 7,
4
3
a r c s i n
2
?
?； 8, ?,
练习题解答 请记录
主要内容
典型例题
问题 1:
曲边梯形的面积
问题 2:
变速直线运动的路程
存在定理 广义积分定积分
定
积
分
的
性
质
定
积
分
的
计
算
法
牛顿 -莱布尼茨公式 )()()( aFbFdxxfb
a ???
一、主要内容
实例 1 （求曲边梯形的面积 A）
i
n
i
i xfA ?? ?
??
)(lim
10
?
?
曲边梯形由连续曲线 )( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,bx ? 所围成,
1、问题的提出
实例 2 （求变速直线运动的路程）
i
n
i
i tvs ?? ?
??
)(l i m
10
?
?
设某物体作直线运动，已知速度 )( tvv ? 是时间
间隔 ],[ 21 TT 上 t 的一个连续函数，且 0)( ?tv,求
物体在这段时间内所经过的路程 S.
分割、求和、取极限,
方法,
设函数 )( xf 在 ],[ ba 上有界，在 ],[ ba 中任意
若干若干个分点 bxxxxxa
nn ??????? ? 1210 ?
把区间 ],[ ba 分成 n 个小区间，
各小区间的长度依次为 1???? iii xxx, ),2,1( ??i,
在各小区间上任取 一点 i? （ ii x??? ），
],,[],,[],,[ 12110 nn xxxxxx ??
2、定积分的定义
定义
怎样的分法，
? ??ba Idxxf )( ii
n
i
xf ??
??
)(l i m
10
?
?
.
也不论在小区间 ],[ 1 ii xx ? 上
的取法,只要当 0?? 时，和 S 总趋于 确定的极限 I,
在区间 ],[ ba 上的 定积分,
记为
记 },,,m a x { 21 nxxx ???? ??,如果不论对 ],[ ba
我们称这个极限 I 为函数 )( xf
作乘积 ii xf ?)( ? ),2,1( ??i
点 i? 怎样
并作和 ii
n
i
xfS ?? ?
?
)(
1
?,
可积的两个 充分 条件：
当函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续时,
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上有界，
称 )( xf 在区间 ],[ ba 上可积,
且只有有限个间断点，则 )( xf 在区间
],[ ba 上可积,
3、存在定理
定理 1
定理 2
? ?ba dxxgxf )]()([ ?? ba dxxf )( ?? ba dxxg )(
?? ? baba dxxfkdxxkf )()( ( k 为常数 )
? ba dxxf )( ?? ?? bcca dxxfdxxf )()(
假设 bca ??
4、定积分的性质
性质 1
性质 2
性质 3
则 0)( ?? dxxfba )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 0)( ?xf,
则 dxxfba? )( dxxgba?? )( )( ba ?
如果在区间 ],[ ba 上 )()( xgxf ?,（ 1）
dxxfba? )( dxxfba?? )()( ba ?（ 2）
dxba ?? 1 dxba?? ab ??性质 4
性质 5
推论：
如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba 上连续，
则在积分区间 ],[ ba 上至少存在一个点 ?,
使 dxxfba? )( ))(( abf ?? ? )( ba ?? ?
设 M 及 m 分别是函数
则 )()()( abMdxxfabm ba ???? ?,
)( xf 在区间 ],[ ba
上的最大值及最小值，
积分中值公式
性质 6
性质 7 (定积分中值定理 )
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
?? )()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数
是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
??? ? ? )( bxa ??
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函数
dttfx
x
a?
?? )()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个原函
数,
5、牛顿 — 莱布尼茨公式
定理 1
定理 2 （原函数存在定理）
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的一个原
函数，则
)()()( aFbFdxxf
b
a
???
.)]([)( baba xFdxxf ??也可写成
牛顿 — 莱布尼茨公式
.],[
],[:
上的增量它的任一原函数在区间
上的定积分等于一个连续函数在区间表明
ba
ba
定理 3 （微积分基本公式）
dtttfdxxfba ?? ?? ?? ?? )()]([)(
换元公式
（ 1）换元法
（ 2）分部积分法
分部积分公式
?? ?? bababa v d uuvud v ][
6、定积分的计算法
(1)无穷限的广义积分
? ??a dxxf )( ????? bab dxxf )(l i m
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在
时，称广义积分 发散,
? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(lim
７、广义积分
(2)无界函数的广义积分
?ba dxxf )( ? ???? ba dxxf?? )(l i m 0
当极限存在时，称广义积分 收敛 ；当极限不存在
时，称广义积分 发散,
? ba dxxf )( ? ???? ?? ba dxxf )(lim 0
? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?? bc dxxf )(
? ???? ?? ca dxxf )(l i m 0 ? ?????? bc dxxf?? )(lim 0
求下列极限例 1
22222 4
1
24
1
14
1[).1( l i m
nnnnn ?
??
?
?
???
?
))1(s i n2s i n( s i n1).2( lim nnnnn
n
??? ????
??
?
]
)(4
1
)(4
1
)2(4
1
14
1[1)1(
222
2 n
n
n
i
nn
n
?
??
?
??
?
?
?
? ??原式解：
二、典型例题
上的，在区间数从上式可以看出它是函 ]10[4 1)( 2xxf ??
于是一个积分和式,
???
?
?
?
?
?
?
1
0
2
1
0
2
1
0 2
)
2
(
)
2
(1
1
)
2
(12
1
4
1 x
d
x
dx
x
dx
x
原式
2
1a r c t a n
2a r c t a n
1
0 ??
x
)0)1(s i n2s i n( s i n1)2( lim ??????
?? n
n
nnnn ?
???
?原式
)s i n)1(s i n2s i n( s i n1 l i m ?????? nnnnnnn
n
??????
??
?
上的，在区间数从上式可以看出它是函 ]0[s i n)( ?xxf ?
于是一个积分和式,
? ??
?
?? 0
2s i n1 xdx原式
等式不通过计算证明下列不例 2
?? ? ?? ??? 2
1
2
1
2
1
2
0
2 22)2(
2
1s i n)1( 2 dxeexdx x?
0]
2
10[0]0,
2
1[)2( ????? yy 上，在上在
)21(1]2121[ 2
1
2 ??? ?? xee x,最小值为的最大值为上，在
解,xxxxx ??? s i ns i ns i n]
20[)1(
2 且上，在 ?
82
1s i n 22
0
22
0
2
0
2 ?
???
???? ?? xxdxdx
]
2
1
2
1[1]
2
1
2
1[ 21
2
1
2
1
2 ?
?????? ?
?
?? dxee x于是
设）（处处连续，且已知函数若例 51)(3 ??? x
)1()()(21)(
0
2 fdtttxxf x ????? ? 试计算?
证明,再求导分析：先展开提出 x
dtttxtxxf x )()2(21)(
0
22 ?? ???
??? ??? xxx dtttdtttxdttx 0 2002 )()(2)([21 ???
)()(2)(2)()(2[
2
1
)(
22
00
2 xxxxdtttxxdttx
xf
xx
????? ????
??
??
?? ?? xx dtttdttx 00 )()( ??
)()()()(
0
xxxxdttxf x ??? ????? ?
5)1()1()()( ?????????? ?? fxxf
dxx
dxt g x
t g x
x
x ?
?
??
0
s i n
0
00 s i n
4 l i m求极限例
解,)
0
0( 型不定型
xt g x
xxtg
x
2
00 s e c)s i n (
c o s)( s i n
lim ?
?
?
??
原式
2
1
00
]
)s i n (
s i n
s i n
)( s i n[l i m
t g x
t g x
t g x
x
x
xtg
x
???
??
1?
)(21)()(5
2 2
0 xfdttfxf
x x 求处处连续，且设例 ? ??
xxxf x 22ln22)( 22 ?????解：两边求导
2ln2)(2ln2)( 22 xx xfxf ?????
?? ?? x t dtexfdxxf 110 2)()(6 其中求例
解,想法 分部积分法
由 ? ?
? x t dtexf
1
2)( 2)( xexf ????
?? ??? 1010 10 )()()( dxxfxxxfdxxf
例 6
解
.2s i n120?
?
? dxx求
?
?
?? 20 co ss i n dxxx原式
??
?
?
?
???? 2
4
4
0
)co s( s i n)s i n( co s dxxxdxxx
.222 ??
)1(21 1
1
1
0
22 ???? ???? ? edxxedtex x xt
例 7
解
.c o ss i n s i n2
0?
?
? dxxx
x求
,c o ss i n s i n20?
?
?? dxxx
xI由,
c o ss i n
c o s2
0?
?
?? dxxx
xJ设
,220 ???? ?
?
dxJI则
?
?
?
??? 2
0 c o ss i n
c o ss i n dx
xx
xxJI ? ?
?
??? 2
0 c o ss i n
)s i n( c o s
x
xxd.0?
,22 ??I故得,4??I即
例 8
解
.12ln0 2? ?? dxe x求
,s i n te x ??令
.s i nco s,s i nln dtttdxtx ????则
?
?
? ??
6
2
)s i nco s(co s dtttt原式
?
??
2
6
2
s i n
co s dt
t
t
x
t
0 2ln
2
?
6
?
??
?
?
?
? ??
2
6
2
6
s i ns i n td ttdt,
2
3)32ln ( ???
例 9
解
.2s i nln40?
?
x d x求
,2 tx ?令,s i nln2
12s i nln 2
0
4
0 ??
??
? t d tx d x
?
?
? 40 2s i nln x d xI ?
?
? 40 )co ss i n2l n ( dxxx
?
?
??? 40 )co slns i nln2( ln dxxx
??
?
?
?
???? 2
4
4
0
s i nlns i nln2ln4 xdxxdx
?
?
??? 2
0
s inln2ln4 x d xI22ln4 ???
.2ln4???? I
例 10,])1(ln1
s i n[21
2
1
2
8?? ??? dxxx
x求
解 dxx?
?
??? 2
1
2
1 )1ln (0原式
dxxdxx ?? ????
?
2
1
0
0
2
1 )1ln ()1ln (
.21ln23ln23 ??
例 11,},
1m i n {2
2
2?
?
dxxx求
解 ?
?
?
?
?
?
?
?
1,
1
1,
},
1
m i n{
2
2
x
x
xx
x
x
?
是偶函数,
dxxx },1m i n {2 22
0?
?原式
?? ?? 2110 2 122 dxxdxx,2ln232 ??
例 12,)()1(,)(
1
0
2
0
22 ?? ?? ?? dxxfxdyexf x yy 求设
解 ? ? ???? 1
0 0
22 ][)1( 2 dxdyex x yy原式
?? ???? ???? 10 23100 23 22 )1(31])1(31[ dxexdyex xxx yy
? ???? ???10 21)1(2 ])1[()1(61 2 xdex x
ux ?? 2)1(令 ? ?? 0
16 duue
e u ).2(
6
1 ??? e
例 13,
c o s1
)( s i n
2c o s1
)( s i n
:,],0[)(
0 20 2 ??
??
?
?
?
?
?
dx
x
xf
dx
x
xxf
xf 证明上连续在设
证,tx ???令
)(c o s1 )( s in)(0 2 dtt tft ????? ??左边
,dtdx ??
dxx xfx? ? ???? 0 2co s1 )( s i n)(
dxxxxfdxxxf ?? ?? ????? 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in
dxxxfdxxxxf ?? ?? ???? 0 20 2 c o s1 )( s inc o s1 )( s in2即
.c o s1 )( s in2c o s1 )( s in 0 20 2 dxxxfdxxxxf ?? ?? ?????
例 14,)(
)(
)(
.0)(],[)(
2ab
xf
dx
dxxf
xfbaxf
b
a
b
a
???
?
??证明
上连续，且在区间设
证 作辅助函数
,)()()()( 2axtf dtdttfxF x
a
x
a
??? ??
)(2)(1)()(1)()( axxfdttfdttfxfxF x
a
x
a
?????? ???
,2)( )()( )( ??? ??? x
a
x
a
x
a
dtdtxf tfdttf xf
0)2)( )()( )(()( ????? ? dtxf tftf xfxF x
a
即
2)( )()( )( ??? xf tftf xf,0)( ?xf?
.)( 单调增加xF
,0)( ?aF?又,0)()( ??? aFbF
.)()()( 2abxf dxdxxf b
a
b
a
??? ??即
例 15,
123
)2(;
94
)1(
:
2
1 22 ?? ????
??
?? xxx
dx
xx
dx
求下列广义积分
解 (1) ??
??
?? ?????? 0 2
0
2 9494 xx
dx
xx
dx原式
?? ?????? ?????? bbaa x dxx dx 0 20 2 5)2(lim5)2(lim
b
baa
xx
0
0
5
2a r c t a n
5
1lim
5
2a r c t a n
5
1lim ????
??????
.5??
(2),123 1lim)(lim 2
11
?????
?? xxx
xf
xx
?
.)(1 的瑕点为 xfx ??
? ?? ??? ? 21 20 123lim ?? xxx dx原式
]
)
1
1(2
)
1
1(
[lim
2
1
220
? ??
??
?
??
? ??
x
x
d
2
10 2
11
a r c s inlim ?
? ??
?
??
?
x.
4
3a rcs i n
2 ?
??
一,选择题,
1, ??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
22222
21
lim
nn
n
n
n
n
n
n
? ( )
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1；
（ C ）
4
?； （ D ）
2
?
,
2,
?
?
x
dtt
dx
d
0
2
)1l n ( = （ ）
（ A ） )1ln(
2
?x ； （ B ） )1ln(
2
?t ；
（ C ） )1ln(2
2
?xx ； （ D ） )1ln(2
2
?tt,
练 习 题
3,
3
0
2
0
s i n
l i m
x
dtt
x
x
?
?
=( )
（ A ） 0 ； （ B ） 1 ；
（ C ）
3
1； （ D ） ?,
4,,定积分 ?
1
0
dxe
x
的值是 （ ）
（ A ） e ； （ B ）
2
1；
（ C ）
2
1
e； （ D ）
2
,
5,下列积分中，使用变换正确的是 （ ）
（ A ）,
s i n1
0
3?
?
?
x
dx
令 tx a r c t a n? ；
（ B ）
?
?
3
0
3 2
1 dxxx,令 tx s i n? ；
（ C ） ?
?
?
?2
1
2
2
1
)1l n (
dx
x
xx
，令 ux ??
2
1 ；
（ D ） ?
?
?
1
1
2
1 dxx,令
3
1
tx ?,
6,下列积分中，值为零的是 （ ）
（ A ） ?
?
1
1
2 dxx ； ( B ） ?
?
2
1
3 dxx ；
（ C ） ?
?
1
1
dx ； （ D ） ?
?
1
1
2 s i n xd xx,
7, 已知 5)2(,3)2(,1)0(
'
??? fff,
则
?
?
2
0
''
)( dxxxf （ ）
（ A ） 12 ； （ B ） 8 ；
（ C ） 7 ； （ D ） 6,
8,设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
1
1
0,
1
1
)(
x
e
x
x
xf
x
，则定积分
?
?
2
0
)1( dxxf
= （ ）
（ A ） )
1
1l n (1
e
?? ； （ B ） 3ln)1ln(2
2
??? e ；
（ C ） 2ln)
1
1l n (1 ???
e; （ D ） )
1
1l n (1
e
??,
9,广义积分
?
??
??
2
2
2xx
dx
= （ ）
（ A ） 4ln ； （ B ） 0 ；
（ C ） 4ln
3
1； （ D ）发散,
10,广义积分
?
?
??
2
0
2
34 xx
dx
（ ）
（ A ） 3ln1 ? ； （ B ）
3
2
ln
2
1；
（ C ） 3ln ； （ D ）发散,
二、证明不等式,
)2(,
612
1
2
1
0
??
?
?
?
n
x
dx
n
?
.
三、求下列函数的导数：
1,
?
?
?
3
2
4
1
)(
x
x
t
dt
xF ;
2.,由方程 1
s in
2
2
00
??
??
xy
t
dt
t
t
dte, 的为确定 xy
函数，求
dx
dy
.
四、求下列定积分：
1,
?
?
4
1
)1( xx
dx； 2,
?
??
a
xax
dx
0 22；
3,
?
?
3
0
1
ar c s i n dx
x
x； 4,
?
?
??
5
2
2
32 dxxx ；
5,
?
?
?
1
1
1
21
x
dx； 6,
?
??
??
?? 94
2
xx
dx；
7,
?
??
2
1 2
123 xxx
dx； 8,
?
??
?
1
1
1
dx
xx
.
五,设 ? ?1,0)( 在xf 上有连续导数，,0)0( ?f
且 1)(0 ??? xf,试证：
? ? ? ??? ?
1
0
3
2
1
0
)()( dxxfdxxf,
六,设 )( xf 在 [0, 1] 上有二阶连续导数，证明：
? ?
??
????
1
0
''
1
0
)()1(
2
1
)1()0(
2
1
)( dxxfxxffdxxf,
一,1, C ； 2, A ； 3, C ； 4, D ； 5, C ；
6, D ； 7, B ； 8, A ； 9, C ； 10, D.
三,1,
812
2
1
2
1
3
x
x
x
x
?
?
?； 2,
2
s in2
2
xe
y?
?,
四,1,
3
4
ln2 ； 2,
4
?； 3, 3
3
4
?? ； 4,
3
71；
5, 1 ； 6,
5
?； 7,
4
3
a r c s i n
2
?
?； 8, ?,
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