第六章 定积分的应用
平面图形的面积
立体的体积
平面曲线的弧长
第 1 节 平面图形的面积
直角坐标情形
极坐标情形
定积分的元素法
回顾 曲边梯形求面积的问题
?? ba dxxfA )(
曲边梯形 由连续曲 线
)( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,
bx ? 所围成。 a b x
y
o
)(xfy ?
A
1.问题的提出
（ 1 ）把区间 ],[ ba 分成 n 个长度为
i
x? 的小区间，
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i
小窄曲边梯形的面积为 iA?,则 ?
?
??
n
i
i
AA
1
.
（ 2 ）计算 iA? 的近似值
iii xfA ??? )(? ii x???
（ 3） 求和，得 A的近似值,)(
1
ii
n
i
xfA ?? ?
?
?
（ 4） 求极限，得 A的精确值
ii
n
i
xfA ?? ?
??
)(lim
10
?
? ??
b
a dxxf )(
一、元素法的步骤如下
a b x
y
o
)(xfy ?
若用 A? 表示任一小区间
],[ xxx ?? 上的窄曲边梯形的面积，
则 ? ?? AA,并取 dxxfA )(??,
于是 ?? dxxfA )(
?? dxxfA )(l i m
.)(?? ba dxxf
x dxx ?
dA
面
积
元
素
提
示
这个方法通常叫做 元素
法,
引力和平均值
元素法的应用方向：
功
水压力
平面曲线的弧长
平面图形的面积
体 积
微元法的实质是什么？
思
考
题
微元法的实质仍是,和式,的极限,
思考题解答
x
y
o
)( xfy ?
a b x
y
o
)(1 xfy ?
)(2 xfy ?
a b
曲边梯形的面积
?? ba dxxfA )(
曲边梯形的面积
? ?? ba dxxfxfA )()( 12
x xxx ?? x?
二,直角坐标系情形
例 1 计算由两条抛物线 xy ?2 和 2xy ? 所围成的
图形的面积,
解 两曲线的交点
)1,1()0,0(
面积元素 dxxxdA )( 2??
选 为积分变量x ]1,0[?x
dxxxA )( 210 ?? ?
1
0
3
33
2
2
3
??
?
??
? ?? xx
.31?
2xy ?
2yx ?
例 2 计算由曲线 xxy 63 ?? 和 2xy ? 所围成
的图形的面积,
解 两曲线的交点
).9,3(),4,2(),0,0( ??
?
?
?
?
??
2
3 6
xy
xxy
选 为积分变量x ]3,2[??x
],0,2[)1( ??x dxxxxdA )6( 231 ???
],3,0[)2( ?x dxxxxdA )6( 322 ???
2xy?
xxy 63 ??
于是所求面积 21 AAA ??
dxxxxA )6( 20 2 3 ??? ?? dxxxx )6( 3230 ??? ?
.12253?
各积分区间上被积函数的形
式,
注
意 （ 1）
可以直接使用开始所述公式：
? ?? ba dxxfxfA )()( 12相应本题则有
dxxxxA ?
?
??? 3
2
23 )6(
去绝对值计算得
dxxxxA )6( 20 2 3 ??? ?? dxxxx )6( 3230 ??? ?
.12253?
积分变量只能选 x 吗？
注
意
（ 2）
思考题
例 3 计算由曲线 xy 22 ? 和直线 4?? xy 所围
成的图形的面积,
解 两曲线的交点
).4,8(),2,2( ??
?
?
?
??
?
4
22
xy
xy
选 为积分变量y ]4,2[??y
dyyydA ?
?
??
?
? ???
24
2
.184 2 ?? ??dAA
xy 22?
4??xy
如果仍选择 x作为积分变量，应为
? ?? 80 12 )()( dxxfxfA
])8,0[(,2)(2 ?? xxxf这里：
?
?
?
??
???
])8,2[(,4
])2,0[(,2)(
1 xx
xxxf （分段函数）
所以
dxxxA )]2(2[20 ??? ? dxxx )]4(2[82 ??? ?
?? ? 18
说明：
如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
ty
tx
?
?
曲边梯形的面积,)()(2
1?
?? t
t dtttA ??
（其中 1t,2t 对应曲线起 点与终 点的参数值）
在 [ 1t,2t ] 或 [ 2t, 1t ] 上 )( tx ?? 具有连续导数，
)( ty ?? 连续,
结合定积分的换元得到 ）（ 可由
?? ba dxxfA )(
注
意
例 4 求椭圆 12
2
2
2
?? byax 的面积,
解 椭圆的参数方程
??
?
?
?
tby
tax
s i n
c o s
由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积．
?? a yd xA 04 ??? 0
2
)c o s(s in4 tatdb
dttab ? ?? 20 2s i n4,ab??
设由曲线 )( ???r 及射线
?? ?, ?? ? 围成一曲边扇
形，求其面积．这里,)(??
在 ],[ ?? 上连续，且 0)( ???,
?? ?
?d
?? ?面积元素 ??? ddA 2)]([
2
1?
曲边扇形的面积,)]([21 2 ????
? dA ??
xo ?
?? d?
)(???r
三,极坐标系情形
例 5 求双纽线 ?? 2co s22 a? 所围平面图形
的面积,
解 由对称性知总面积 =4倍第
一象限部分面积
14 AA ?
??? daA 2co s214 40 2??,2a?
xy?
?? 2cos22 a?
1A
积分限
4
0 ??
是如何确定的？思考
题
例 6 求心形线 )c o s1( ??? ar 所围平面图形的
面积 )0( ?a,
解 ?? dadA 22 )co s1(21 ??
利用对称性知
.23 2a??
?d
?? d2)c o s1( ? ? ??? 02212 aA
??? d)c o sc o s21( 2????? 02a
??
?
??
? ??? ??? 2s in
4
1s in2
2
32a ?
0
例 7 计算阿基米德螺线 )0( ?? aar ?
上相应于
?
由 0到 的一段弧与极轴所围的面积。
解
??? daA 22
0
)(21??
32
3
4 ?a?
?2
Srr 所围成的面积及求由例 ?? c o s1c o s38 ???
解
1c o s2c o s1 c o s3 ??
?
?
?
??
? ?
?
?
r
r
2
1c os ??
3
?? ??
? ???? 30 2
3
22 )co s3(
2
1]co s1[
2
12 ? ?
? ???? ddS
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3
23
0
2 c o s9)c o sc o s21(
?
?
?
????? dd
389438 3633 ?????? ??? ?45?
Sx 轴所围成的面积求摆线一拱与例 9
解 摆线方程
??
?
??
??
)co s1(
)s i n(
tay
ttax
?? ??? ?? 20 2220 )c o s1( dttay d xS a
? ??? ?20 22 )c o sc o s21( dttta
)c o s402( 20 22 ????
?
? t d ta
222 32 aaa ??? ???
a?2a?
)(xy
S求星形线围成的面积例 10
星形线
?20
s i n
c o s
3
3
??
??
?
?
?
?
?
t
tay
tax
2
8
3
aS ??
?4
如何计算阿基米德螺线
)0( ?? aar ?
上相应于 由 0到
围的面积。
? 的一段弧与极轴所
思
考
题
提示, 关键是结合图形定出正确的积分限 。
??
?
?
daA 2
4
2
)(
2
1
??
思考题解答
在直角坐标系下平面图形的面积的计算
在参数方程形式下平面图形的面积的计算
在极坐标系下平面图形的面积的计算
（注意恰当的 选择积分变量 有助于
简化积分运算）
注
意
小 结
平面图形的面积
立体的体积
平面曲线的弧长
第 1 节 平面图形的面积
直角坐标情形
极坐标情形
定积分的元素法
回顾 曲边梯形求面积的问题
?? ba dxxfA )(
曲边梯形 由连续曲 线
)( xfy ? )0)(( ?xf,
x 轴与两条直线 ax ?,
bx ? 所围成。 a b x
y
o
)(xfy ?
A
1.问题的提出
（ 1 ）把区间 ],[ ba 分成 n 个长度为
i
x? 的小区间，
相应的曲边梯形被分为 n 个小窄曲边梯形，第 i
小窄曲边梯形的面积为 iA?,则 ?
?
??
n
i
i
AA
1
.
（ 2 ）计算 iA? 的近似值
iii xfA ??? )(? ii x???
（ 3） 求和，得 A的近似值,)(
1
ii
n
i
xfA ?? ?
?
?
（ 4） 求极限，得 A的精确值
ii
n
i
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??
)(lim
10
?
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b
a dxxf )(
一、元素法的步骤如下
a b x
y
o
)(xfy ?
若用 A? 表示任一小区间
],[ xxx ?? 上的窄曲边梯形的面积，
则 ? ?? AA,并取 dxxfA )(??,
于是 ?? dxxfA )(
?? dxxfA )(l i m
.)(?? ba dxxf
x dxx ?
dA
面
积
元
素
提
示
这个方法通常叫做 元素
法,
引力和平均值
元素法的应用方向：
功
水压力
平面曲线的弧长
平面图形的面积
体 积
微元法的实质是什么？
思
考
题
微元法的实质仍是,和式,的极限,
思考题解答
x
y
o
)( xfy ?
a b x
y
o
)(1 xfy ?
)(2 xfy ?
a b
曲边梯形的面积
?? ba dxxfA )(
曲边梯形的面积
? ?? ba dxxfxfA )()( 12
x xxx ?? x?
二,直角坐标系情形
例 1 计算由两条抛物线 xy ?2 和 2xy ? 所围成的
图形的面积,
解 两曲线的交点
)1,1()0,0(
面积元素 dxxxdA )( 2??
选 为积分变量x ]1,0[?x
dxxxA )( 210 ?? ?
1
0
3
33
2
2
3
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.31?
2xy ?
2yx ?
例 2 计算由曲线 xxy 63 ?? 和 2xy ? 所围成
的图形的面积,
解 两曲线的交点
).9,3(),4,2(),0,0( ??
?
?
?
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2
3 6
xy
xxy
选 为积分变量x ]3,2[??x
],0,2[)1( ??x dxxxxdA )6( 231 ???
],3,0[)2( ?x dxxxxdA )6( 322 ???
2xy?
xxy 63 ??
于是所求面积 21 AAA ??
dxxxxA )6( 20 2 3 ??? ?? dxxxx )6( 3230 ??? ?
.12253?
各积分区间上被积函数的形
式,
注
意 （ 1）
可以直接使用开始所述公式：
? ?? ba dxxfxfA )()( 12相应本题则有
dxxxxA ?
?
??? 3
2
23 )6(
去绝对值计算得
dxxxxA )6( 20 2 3 ??? ?? dxxxx )6( 3230 ??? ?
.12253?
积分变量只能选 x 吗？
注
意
（ 2）
思考题
例 3 计算由曲线 xy 22 ? 和直线 4?? xy 所围
成的图形的面积,
解 两曲线的交点
).4,8(),2,2( ??
?
?
?
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4
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xy
xy
选 为积分变量y ]4,2[??y
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?
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.184 2 ?? ??dAA
xy 22?
4??xy
如果仍选择 x作为积分变量，应为
? ?? 80 12 )()( dxxfxfA
])8,0[(,2)(2 ?? xxxf这里：
?
?
?
??
???
])8,2[(,4
])2,0[(,2)(
1 xx
xxxf （分段函数）
所以
dxxxA )]2(2[20 ??? ? dxxx )]4(2[82 ??? ?
?? ? 18
说明：
如果曲边梯形的曲边为参数方程
??
?
?
?
)(
)(
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tx
?
?
曲边梯形的面积,)()(2
1?
?? t
t dtttA ??
（其中 1t,2t 对应曲线起 点与终 点的参数值）
在 [ 1t,2t ] 或 [ 2t, 1t ] 上 )( tx ?? 具有连续导数，
)( ty ?? 连续,
结合定积分的换元得到 ）（ 可由
?? ba dxxfA )(
注
意
例 4 求椭圆 12
2
2
2
?? byax 的面积,
解 椭圆的参数方程
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由对称性知总面积等于 4倍第一象限部分面积．
?? a yd xA 04 ??? 0
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设由曲线 )( ???r 及射线
?? ?, ?? ? 围成一曲边扇
形，求其面积．这里,)(??
在 ],[ ?? 上连续，且 0)( ???,
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2
1?
曲边扇形的面积,)]([21 2 ????
? dA ??
xo ?
?? d?
)(???r
三,极坐标系情形
例 5 求双纽线 ?? 2co s22 a? 所围平面图形
的面积,
解 由对称性知总面积 =4倍第
一象限部分面积
14 AA ?
??? daA 2co s214 40 2??,2a?
xy?
?? 2cos22 a?
1A
积分限
4
0 ??
是如何确定的？思考
题
例 6 求心形线 )c o s1( ??? ar 所围平面图形的
面积 )0( ?a,
解 ?? dadA 22 )co s1(21 ??
利用对称性知
.23 2a??
?d
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4
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例 7 计算阿基米德螺线 )0( ?? aar ?
上相应于
?
由 0到 的一段弧与极轴所围的面积。
解
??? daA 22
0
)(21??
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4 ?a?
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Srr 所围成的面积及求由例 ?? c o s1c o s38 ???
解
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Sx 轴所围成的面积求摆线一拱与例 9
解 摆线方程
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星形线
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如何计算阿基米德螺线
)0( ?? aar ?
上相应于 由 0到
围的面积。
? 的一段弧与极轴所
思
考
题
提示, 关键是结合图形定出正确的积分限 。
??
?
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思考题解答
在直角坐标系下平面图形的面积的计算
在参数方程形式下平面图形的面积的计算
在极坐标系下平面图形的面积的计算
（注意恰当的 选择积分变量 有助于
简化积分运算）
注
意
小 结
