第七节 曲线的凹凸与拐点
曲线凹凸的定义
曲线凹凸的判定
曲线的拐点及求法
问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
o
x
y
o 1x 2x
)(xfy ?
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
x
y
o
)(xfy ?
1x 2x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
A
B C一、曲线凹凸的定义
定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称
恒有两点
内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
?
?
?;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称
恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
?
?
?;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸
内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
递增)(xf ? a b
B
A
0???y 递减)(xf ? 0???y
定理 1
.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则
上的图形是凹的在则
内若在二阶导数
内具有在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
???
???
二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定
例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy ?
解,3 2xy ???,6 xy ???
时，当 0?x,0???y
为凸的；在曲线 ]0,( ???
时，当 0?x,0???y 为凹的；在曲线 ),0[ ???
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 ?? ?? xx 内存在二阶导
数,则点 ? ?)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0" ?xf,
1.定义
注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2.拐点的求法
证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf ??
三、曲线的拐点及其求法
,])([)( 0 两边变号在则 xxfxf ?????
,))(,( 00 是拐点又 xfx?
,)( 0 取得极值在 xxf ??,条件由可导函数取得极值的
.0)( ???? xf
,)(
,)(
00
0
??? xf
xxf
且
的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx ??
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx ??
例 2
.
143 34
凹、凸的区间
的拐点及求曲线 ??? xxy
解 ),(,????D?
,1212 23 xxy ??? ).32(36 ???? xxy
,0???y令,32,0 21 ?? xx得
x )0,(?? ),32( ??)32,0(0 32
)(xf ??
)(xf
? ? ?0 0
凹的 凸的 凹的拐点 拐点)1,0( )2711,32(
).,32[],32,0[],0,( ????凹凸区间为
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线
也可能点不存在若
xfy
xfxxf
?
??注意,
例 4,3 的拐点求曲线 xy ?
解,0时当 ?x,31 3
2?
?? xy,94 3
5?
???? xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx ????
,0,)0,( ????? y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在 ??
,0,),0( ????? y内在,),0[ 上是凸的曲线在 ??
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy ??
思考题
设 )( xf 在 ),( ba 内二阶可导，且 0)( 0 ??? xf,
其中 ),(0 bax ?,则,( 0x ))( 0xf 是否一定为
曲线 )( xf 的拐点？举例说明,
思考题解答
因为 0)( 0 ??? xf 只是,( 0x ))( 0xf 为拐点
的 必要条件,
故,( 0x ))( 0xf 不一定是拐点,
例 4)( xxf ? ),( ????? 0)0( ???f
但 )0,0( 并不是曲线 )( xf 的拐点,
一,填空题：
1, 若函数 )( xfy ? 在 （ ba,）可导，则曲线 )( xf 在 ( ba,)
内取凹的充要条件是 ______ _____ _.
2, 曲线上 ________ ____ 的点，称作曲线的拐点,
3, 曲线 )1l n (
2
xy ?? 的拐点为 _____ ____ _.
4, 曲线
)1l n ( xy ??
拐点为 ______ _,
二,求曲线
x
ey
a r c t a n
? 的拐点及凹凸区间,
三,利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
2
2
yxyx
e
ee
?
?
?
)( yx ?
.
四、求曲线
?
?
?
?
?
?
?
2
s i n2
c o t2
ay
ax
的拐点,
练 习 题
五,试证明曲线
1
1
2
?
?
?
x
x
y 有三个拐点位于同一直线
上,
六,问 a 及 b 为何值时，点 (1,3 ) 为曲线
23
bxaxy ??
的拐点？
七,试决定
22
)3( ?? xky 中 k 的值,使曲线的拐点处
的法线通过原点,
一,1, ),()( baxf 在? 内递增或 0)(),,( ???? xfbax ；
2,凹凸部分的分界点；
3, ]2,(),,2[),
2
,2(
2
????
e； 4,
)2ln,1(),2ln,1( ?
.
二、拐点 ),
2
1
(
2
1
a r c t a n
e,在 ]
2
1
,( ?? 内是凹的,
在 ),
2
1
[ ?? 内是凸的,
四、拐点
)
2
3
,
3
32
( aa
及
)
2
3
,
3
32
( aa?
.
五,).
)32(4
31
,32(),
)32(4
31
,32(),1,1(
?
?
?
?
?
???
练习题答案
六、
2
9
,
2
3
??? ba,
七,
8
2
??k,
例如,32)( 2 ??? xxxf ).1)(3( ??? xx
,]3,1[ 上连续在 ?,)3,1( 上可导在 ?,0)3()1( ??? ff且
))3,1(1(,1 ????取,0)( ???f ),(2)( ??? xxf?
点击图片任意处播放 \暂停
变速直线运动在折
返点处,瞬时速度等
于零,
a b1? 2? x
y
o
)(xfy ?
.
,
水平的
在该点处的切线是点
上至少有一在曲线弧
C
ABC几何解释,
物理解释,
证
.)1( mM ?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf ?则
.0)( ?? xf由此得 ),,( ba???,0)( ???f都有
.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM ?设
.)(),( Mfba ??? 使内至少存在一点则在
),()( ????? fxf?,0)()( ??????? fxf
曲线凹凸的定义
曲线凹凸的判定
曲线的拐点及求法
问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
o
x
y
o 1x 2x
)(xfy ?
图形上任意弧段位
于所张弦的上方
x
y
o
)(xfy ?
1x 2x
图形上任意弧段位
于所张弦的下方
A
B C一、曲线凹凸的定义
定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称
恒有两点
内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
?
?
?;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称
恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
?
?
?;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸
内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
x
y
o
)(xfy ?
x
y
o
)(xfy ?
a b
A
B
递增)(xf ? a b
B
A
0???y 递减)(xf ? 0???y
定理 1
.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则
上的图形是凹的在则
内若在二阶导数
内具有在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
???
???
二、曲线凹凸的判定二、曲线凹凸的判定
例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy ?
解,3 2xy ???,6 xy ???
时，当 0?x,0???y
为凸的；在曲线 ]0,( ???
时，当 0?x,0???y 为凹的；在曲线 ),0[ ???
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 ?? ?? xx 内存在二阶导
数,则点 ? ?)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0" ?xf,
1.定义
注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2.拐点的求法
证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf ??
三、曲线的拐点及其求法
,])([)( 0 两边变号在则 xxfxf ?????
,))(,( 00 是拐点又 xfx?
,)( 0 取得极值在 xxf ??,条件由可导函数取得极值的
.0)( ???? xf
,)(
,)(
00
0
??? xf
xxf
且
的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx ??
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx ??
例 2
.
143 34
凹、凸的区间
的拐点及求曲线 ??? xxy
解 ),(,????D?
,1212 23 xxy ??? ).32(36 ???? xxy
,0???y令,32,0 21 ?? xx得
x )0,(?? ),32( ??)32,0(0 32
)(xf ??
)(xf
? ? ?0 0
凹的 凸的 凹的拐点 拐点)1,0( )2711,32(
).,32[],32,0[],0,( ????凹凸区间为
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线
也可能点不存在若
xfy
xfxxf
?
??注意,
例 4,3 的拐点求曲线 xy ?
解,0时当 ?x,31 3
2?
?? xy,94 3
5?
???? xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx ????
,0,)0,( ????? y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在 ??
,0,),0( ????? y内在,),0[ 上是凸的曲线在 ??
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy ??
思考题
设 )( xf 在 ),( ba 内二阶可导，且 0)( 0 ??? xf,
其中 ),(0 bax ?,则,( 0x ))( 0xf 是否一定为
曲线 )( xf 的拐点？举例说明,
思考题解答
因为 0)( 0 ??? xf 只是,( 0x ))( 0xf 为拐点
的 必要条件,
故,( 0x ))( 0xf 不一定是拐点,
例 4)( xxf ? ),( ????? 0)0( ???f
但 )0,0( 并不是曲线 )( xf 的拐点,
一,填空题：
1, 若函数 )( xfy ? 在 （ ba,）可导，则曲线 )( xf 在 ( ba,)
内取凹的充要条件是 ______ _____ _.
2, 曲线上 ________ ____ 的点，称作曲线的拐点,
3, 曲线 )1l n (
2
xy ?? 的拐点为 _____ ____ _.
4, 曲线
)1l n ( xy ??
拐点为 ______ _,
二,求曲线
x
ey
a r c t a n
? 的拐点及凹凸区间,
三,利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
2
2
yxyx
e
ee
?
?
?
)( yx ?
.
四、求曲线
?
?
?
?
?
?
?
2
s i n2
c o t2
ay
ax
的拐点,
练 习 题
五,试证明曲线
1
1
2
?
?
?
x
x
y 有三个拐点位于同一直线
上,
六,问 a 及 b 为何值时，点 (1,3 ) 为曲线
23
bxaxy ??
的拐点？
七,试决定
22
)3( ?? xky 中 k 的值,使曲线的拐点处
的法线通过原点,
一,1, ),()( baxf 在? 内递增或 0)(),,( ???? xfbax ；
2,凹凸部分的分界点；
3, ]2,(),,2[),
2
,2(
2
????
e； 4,
)2ln,1(),2ln,1( ?
.
二、拐点 ),
2
1
(
2
1
a r c t a n
e,在 ]
2
1
,( ?? 内是凹的,
在 ),
2
1
[ ?? 内是凸的,
四、拐点
)
2
3
,
3
32
( aa
及
)
2
3
,
3
32
( aa?
.
五,).
)32(4
31
,32(),
)32(4
31
,32(),1,1(
?
?
?
?
?
???
练习题答案
六、
2
9
,
2
3
??? ba,
七,
8
2
??k,
例如,32)( 2 ??? xxxf ).1)(3( ??? xx
,]3,1[ 上连续在 ?,)3,1( 上可导在 ?,0)3()1( ??? ff且
))3,1(1(,1 ????取,0)( ???f ),(2)( ??? xxf?
点击图片任意处播放 \暂停
变速直线运动在折
返点处,瞬时速度等
于零,
a b1? 2? x
y
o
)(xfy ?
.
,
水平的
在该点处的切线是点
上至少有一在曲线弧
C
ABC几何解释,
物理解释,
证
.)1( mM ?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf ?则
.0)( ?? xf由此得 ),,( ba???,0)( ???f都有
.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM ?设
.)(),( Mfba ??? 使内至少存在一点则在
),()( ????? fxf?,0)()( ??????? fxf
