第三节 泰勒中值定理
问题的提出
Pn和 Rn的确定
泰勒 (Taylor)中值定理
麦克劳林 (Maclaurin)公式
简单的应用
小结
1,设 )( xf 在 0x 处连续,则有
2,设 )( xf 在 0x 处可导,则有
例如,当 x 很小时,xe x ?? 1,xx ?? )1ln (
[ ??? )()( 0xfxf ]
)]())(()()([ 0000 xxoxxxfxfxf ??????
（如下图）
)()( 0xfxf ?
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
一、问题的提出
xey ?
xy ?? 1
o
xey ?
o
xy?
)1ln( xy ??
寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf ?误差 )()()( xPxfxR ?? 可估计
1、精确度不高； 2、误差不能估计。
设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1( ?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
nnn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0202010 ???????? ?
误差 )()()( xPxfxR nn ??
不足,
问题,
0x
)(xfy ?
o x
y
)()( 00 xfxP n ?
)()( 00 xfxP n ?????
)()( 00 xfxP n ???
????
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同
近
似
程
度
越
来
越
好
1.若在 点相交0x
分析,
二,Pn和 Rn的确定
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)( ???
),( 00 xfa ?
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
??
??
??
????? ?
得 ),,2,1,0()(!1 0)( nkxfka kk ???
),(1 01 xfa ??? )(!2 02 xfa ????
,?? )(! 0)( xfan nn ??
泰勒 ( T a y l o r ) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x 的
某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶的导数,则当
x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx ? 的一个 n
次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
其中 10
)1(
)(
)!1(
)()( ?? ?
?
? n
n
n xxn
fxR ? (? 在
0x 与 x 之间 ),
三、泰勒 (Taylor)中值定理
证明, 由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶导数,且两函数 )( xR
n 及
1
0 )(
?? nxx 在以
0x 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n ?
?
?
??
??
0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0 ??
??
? ?? n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 ???????? xRxRxRxR nnnnn ?
如此下去,经过 )1( ?n 次后,得
两函数 )( xR
n
? 及 nxxn ))(1(
0
?? 在以
0
x 及
1
? 为端
点的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1
???
????
??
?
n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
?
?
?
?
? ?!1
)(
)(
)(
)1(
1
0 ?
?
?
?
?
n
R
xx
xR
n
n
n
n ?
( 之间与在 nx ?? 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在 ??
?
? x
xnn
R
n
n
???
???
?
?
??
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 次近似多项式?
?
???
n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
则由上式得
,0)()1( ?? xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn ?? ??
拉格朗日形式的余项 ? ? ? ?
1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)( ??
?
?
?
??
?
? nn
n
n xxn
M
xx
n
f
xR
?
])[()(! )()( 00
0
0
)(
nk
n
k
k
xxoxxk xfxf ????? ?
?
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n ?
? ?? ?
??
皮亚诺形式的余项
0)( )(l i m
00
??
? n
n
xx xx
xR及
].)[()( 0 nn xxoxR ??即
1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf ?? ????
2,取 0
0
?x,
? 在 0 与 x 之间,令 )10( ??? ??? x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
?
?
?
?
n
n
n
x
n
xf
xR
?注
意
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
n
n
n
xO
x
n
f
x
f
xffxf
?
??
??
???? ?
)10(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1(
)(
2
??
?
?
??
??
????
?
?
?
? n
n
n
n
x
n
xf
x
n
f
x
f
xffxf ?
四、麦克劳林 (Maclaurin)公式
求 xexf ?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf ??????? ??
1)0()0()0()0( )( ????????? nffff ?
xn exf ?? ?? )()1(注意到 代入公式,得
).10()!1(!!21 1
2
????????? ? ?
?
n
xn
x x
n
e
n
xxxe ?
例 1
五、简单的应用
由公式可知 !!21
2
n
xxxe nx ????? ?
估计误差 )0( ?x设
!
1
!2
111,1
nex ?????? ?取
.)!1( 3?? n其误差 )!1( ?? eR n
).10()!1()!1()( 1 ?????? ? ?
?
n
xx
n xn
e
n
exR
求 xxf si n)( ? 的 n 阶麦克劳林公式,
解 xxf s i n)( ? )
2s i n ()(
)( ?nxxf n ??
0)0(1)0(
0)0(1)0(0)0(
)4( ??????
??????
ff
fff
代入 Taylor公式得：
n
n
n R
n
xxxxx
2
1253
)!12()1(!5!3s i n ????????
?
?
例 2
12
2 )!12(
)
2
12
s i n (
)( ?
?
?
?
? nn x
n
n
x
xR
??
xxn ~s i n1 时特别 ?
误差：
6!3
)
2
3
s i n ( 3
3
2
x
x
x
R ?
?
?
??
53
!5
1
!3
1s i n3 xxxxn ???? 时特别
!7!7
)
2
7s i n ( 7
6
xx
R ?
??
?
?
?
类似地可得：
12
2642
)!2(
)1(
!6!4!2
1cos ????????? n
n
n R
n
xxxxx ?
22
12 )!22(
)
2
)12(c o s (
)( ??
?
??
? nn x
n
nx
xR
?
?
)()1(
32
)1l n ( 1
32
xR
n
xxxxx
n
n
n ???????? ??
1
1)1)(1(
)1()( ?
???
?? n
n
n
n xxnxR ?
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
?
?
?
?
??????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x ???????? ?
)(
1
)1(
32
)1ln (
1
132
?
?
?
?
???????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
??????
?
?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
?
???
?
?
?
????
?
?
常用函数的麦克劳林公式
12
2642
)!2(
)1(
!6!4!2
1cos ????????? n
n
n R
n
xxxxx ?
22
12 )!22(
)
2
)12(c o s (
)( ??
?
??
? nn x
n
nx
xR
?
?
)()1(32)1l n ( 1
32
xRnxxxxx n
n
n ???????? ??
计算 4
0
3co s2
lim
2
x
xe x
x
??
?
,
解 )(!2
11 4422 xoxxe x ?????
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx ????
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x ???????
12
7)(12
7
lim 4
44
0
?
?
?
? x
xox
x
原式
例 3
例 4 xyxf +=),( 1 1求 麦克劳林展式
解
xxf +=)( 1
1
k
kk
k k
k
k
fa )1(
!
!)1(
!
)0()( ?????
2
1
)1(
)1(
)!1()1(
)( ?
?
?
?
??
? n
n
n
x
n
xf
)0(f
!)1()0()( nf nn ??
)()1(1
1
1 32
xRxxxx
x n
nn ????????
?
? ??
1
2
1
)1(
)!1()1()( ?
?
?
?
??? n
n
n
n xx
nxR
θ
类似地可得,
)(1
1
1 2
xRxxx
x
n
n ??????
?
?
1
2)1(
1
)( ??
?
? nnn x
x
xR
θ
xy?
xy si n?
播放
1, T a y l o r 公式在近似计算中的应用 ;小 结
播放
2, T aylor 公式的数学思想 - -- 局部逼近,小 结
利用泰勒公式求极限 3
)1(s i nlim
x
xxxe x
x
??
??
思
考
题
)(!3!21 3
32
xoxxxe x ?????? )(!3s i n 3
3
xoxxx ???
????
?? 3
)1(s i nlim
x
xxxe x
x
3
3
3
3
32
)1()(
!3
)(
!3!2
1
l i m
x
xxxo
x
xxo
xx
x
x
???
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
??
3
3
33
)(
!3!2lim
x
xoxx
x
??
?
?? 6
1?
思考题解答
一,当 1
0
??x 时，求函数
x
xf
1
)( ? 的 n 阶泰勒公式,
二,求函数
x
xexf ?)( 的 n 阶麦格劳林公式,
三,验证
2
1
0 ?? x 时，按公式
62
1
32
xx
xe
x
???? 计算
x
e 的近似值，可产生的误差小于 0.01,并求
e
的
近似值，使误差小于 0.01,
四,应用三阶泰勒公式求
3
30
的近似值，并估计误差,
五,利用泰勒公式求极限：
1,
x
ex
x
x
4
2
0 s i n
c o s
lim
2
?
?
?；
2, )]
1
1l n ([lim
2
x
xx
x
??
??
.
练 习 题
2
2
1
1
)(.5
2
)(.4
)(.3
c o s)(.2
)1l n ()(.1
2
x
xf
ee
xf
exf
xxf
xxxf
xx
x
?
?
?
?
?
?
??
?
?
一,])1()1()1(1[
1
2 n
xxx
x
????????? ?
)1,0(
)]1(1[
)1(
)1(
2
1
1
?
???
?
??
?
?
?
?
?
n
n
n
x
x
.
二、
)!1(!2
3
2
?
?????
n
xx
xxxe
n
x
?
)10(,)1(
)!1(
1
1
????
?
?
?
??
? nx
xexn
n
.
三、
645.1?e
.
四、
5
3
3
1088.1,1 0 7 2 4.330
?
??? R
.
五,1,
12
1
,2,
2
1
.
练习题解答 请记录