第二节
函数 和差积商及反函数求导法则
和、差、积、商的求导法则
反函数的导数
例题分析
小结
基本导数公式
由导数定义,则极限式可导在若,)( 0xxf
x
xfxxf
x ?
?
?
)()(lim 00
0
??
? 0
0 )()(l i m
0 xx
xfxf
xx ?
?
?
或
)( 0xf ?均存在且为
,,的极限导数就是一类特殊形式换言之
.去求某类函数的极限因此可以利用导数定义
复习 再论导数定义
按照导数定义存在下列各题中均假定,)( 0xf ?
:,表示什么指出观察下列极限 A
Ax xfxxf
x
???
? ?
?
?
)()(lim)1( 00
0
存在且其中 )0(,0)0(,)(lim)2( 0 ffAx xfx ????
Ah hxfhxf
h
????
?
)()(lim)3( 00
0
解 )()1( 0xfA ???
)0()2( fA ??
)(2)3( 0xfA ??
例 1
0)0(:
,)0(,)(
??
?
f
fxf
证明
存在且为偶函数如果
x
fxff
x
)0()(l i m)0(
0
???
?
?证
t
ftftx
t ?
????
?
)0()(lim
0
令
t
ftfxf
t
)0()(lim)(
0
??
?
为偶函数?
)0(f ???
0)0( ??? f
例 2
,)( 0 存在若 xf ?
),,()()(lim 00
0
为常数求 cbach bhxfahxf
h
???
?
解
ch
xfbhxfxfahxf
h
)]()([)]()([lim 0000
0
??????
?
原式
])()()()([1l i m 0000
0 h
xfbhxf
h
xfahxf
ch
??????
?
)]()([1 00 xfbxfa
c
???? )(
0xfc
ba ???
例 3
1
)1()2(lim,)1(
1 ?
???
? x
fxff
x
求存在已知
1
)1()]1(1[lim
1 ?
????
? x
fxf
x
原式解
)1(f ???
x t g x
xfff
x
)1(c o slim,0)0(,)0(
0
???
?
求存在已知
解 ]1c o s
1c o s
)0()1( c o s[l i m
0 x t g x
x
x
fxf
x
??
?
???
?
原式
)0(21 f ???
例 4
例 5
并且可导
处也在点分母不为零们的和、差、积、商
则它处可导在点如果函数
,
)(
,)(),(
x
xxvxu
).0)((
)(
)()()()(
]
)(
)(
[)3(
);()()()(])()([)2(
);()(])()([)1(
2
?
???
??
??????
??????
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvxuxvxu
定理
一、和差积商的求导法则
证 (3) ),0)((,)( )()( ?? xvxv xuxf设
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?
hxvhxv
hxvxuxvhxu
h )()(
)()()()(lim
0 ?
????
?
h
xv
xu
hxv
hxu
h
)(
)(
)(
)(
li m
0
?
?
?
?
?
证 (1),(2)略,
hxvhxv
xvhxvxuxvxuhxu
h )()(
)]()()[()()]()([lim
0 ?
??????
?
)()(
)()()()()()(
lim
0 xvhxv
h
xvhxvxuxv
h
xuhxu
h ?
???????
?
?
2)]([
)()()()(
xv
xvxuxvxu ????
.)( 处可导在 xxf?;)(])([)1(
11
??
??
???
n
i
i
n
i
i xfxf
);(])([)2( xfCxCf ??? ;)()(
)()()(
)()()(])([)3(
1 1
21
21
1
? ? ??
???
?
???
?
?
?
?
n
i
n
ik
k
ki
n
n
n
i
i
xfxf
xfxfxf
xfxfxfxf
??
?
推论
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
x
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
? ?
??
??? ?
??
且有内也可导
在对应区间那末它的反函数且
内单调、可导在某区间如果函数
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
二、反函数的导数
证,xIx ?任取 x?以增量给
的单调性可知由 )( xfy ?,0??y
于是有
,1
y
xx
y
?
?
?
?
?
,)( 连续xf?
),0(0 ????? xy 0)( ?? y?又知
x
yxf
x ?
????
?? 0l i m)(
y
xy
?
?? ??
1lim
0
)(
1
y???
.)(1)( yxf ? ???即
),0( xIxxx ?????
例 1,s i n2 23 的导数求 xxxy ???
解 23 xy ?? x4?
例 2,ln2s i n 的导数求 xxy ??
解 xxxy lnco ss in2 ????
xxxy lnc o sc o s2 ???? xxx ln)s i n(s i n2 ????
xxx
1co ss i n2 ???
.cos x?
.2s i n1ln2co s2 xxxx ??
三、例题分析
例 3,t a n 的导数求 xy ?
解 )co ss i n()( t a n ????? xxxy
x
xxxx
2c o s
)( c o ss i nc o s)( s in ????
x
xx
2
22
c o s
s inc o s ?? x
x
2
2 s ecco s
1 ??
.s e c)( t a n 2 xx ??即
.c s c)( c o t 2 xx ???同理可得
例 4,s e c 的导数求 xy ?
解 )co s1()( s ec ????? xxy
x
x
2co s
)( co s ???,t a ns e c xx?
x
x
2co s
s in?
.co tcsc)( csc xxx ???同理可得
例 5,s i n h 的导数求 xy ?
解 ])(21[)( s i n h ?????? ? xx eexy )(21 xx ee ???,cosh x?
同理可得 xx s inh)( c o s h ?? xx 2c o s h
1)( t a nh ??
例 6 ).(,0),1ln (
0,)( xf
xx
xxxf ?
??
?
??
?? 求设
解,1)( ?? xf,0时当 ?x
,0时当 ?x
h
xhxxf
h
)1l n ()1l n (lim)(
0
??????
?
)11l n (1lim 0 xhhh ??? ?,1 1 x??
,0时当 ?x
h
hf
h
)01l n ()0(lim)0(
0
?????
???,1?
h
hf
h
)01l n ()]0(1l n [lim)0(
0
??????
???,1?
.1)0( ??? f
.0,
1
1
0,1
)(
??
???
??
?
??? x
x
x
xf
例 7,a r c s i n 的导数求函数 xy ?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 ????? yIyx?
,0c o s)( s in ??? yy且 内有在 )11( ??? xI
)( s in
1)( a r c s in
??? yx ycos
1?
y2s i n1
1
??
.1 1 2x??
.1 1)( a r c c o s 2xx ????同理可得;1 1)( a r c t a n 2xx ???,1 1)co t( 2xx ????arc
例 8,l o g 的导数求函数 xy a?
,0ln)( ??? aaa yy且,),0( 内有在 ???? xI
)(
1)( l o g
??? ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 ?????? yy Iax?
特别地,1)( ln xx ??
);()(])()([ xvxuxvxu ??????
.)( )(])( )([ xv xuxv xu ????
分段函数 求导时,分界点导数用左右导数求,
小 结
注
意
求曲线 上与 轴平行
的切线方程,
32 xxy ?? x
思
考
题
232 xy ??? 令 0??y 032 2 ??? x
3
2
1 ?x 3
2
2 ??x
切点为 ?
?
??
?
?
9
64,
3
2 ?
?
??
?
? ??
9
64,
3
2
所求切线方程为 9 64?y 9 64??y和
思考题解答