第三节 复合函数的求导法则
复合函数的求导法则
小结
思考题
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
? ????
????
???
?
且其导数为可导
在点则复合函数可导在点
而可导在点如果函数
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
一、复合函数的求导法则
证,)( 0 可导在点由 uufy ? )(l i m 00 ufuyu ????? ??
)0lim()( 00 ?????? ?? ?? uufuy故
uuufy ?????? ?)( 0则
x
y
x ?
??
?? 0lim ])([li m 00 x
u
x
uuf
x ?
??
?
???
?? ?
x
u
x
uuf
xxx ?
???
?
???
?????? 0000 l iml iml im)(
).()( 00 xuf ? ???
推广 ),(),(),( xvvuufy ?? ???设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
???
? 的导数为则复合函数 ??
例 1,s i nln 的导数求函数 xy ?
解,s in,ln xuuy ???
dx
du
du
dy
dx
dy ??? x
u co s
1 ??
x
x
sin
cos? xcot?
.s i nln2 的导数求函数例 xey ?
:解 xevvuuy ??? si nln
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy ????
xev
u
??? c o s1
xx
x eee ??? c o ssi n
1
xx ctgee?
例 3,)1( 102 的导数求函数 ?? xy
解 )1()1(10 292 ????? xxdxdy
xx 2)1(10 92 ???,)1(20 92 ?? xx
例 4,a r c s i n22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy ???
解 )a r c s in2()2(
2
22 ??????
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa
??????
.22 xa ??
)0( ?a
例 5,)2(2
1ln
3
2
的导数求函数 ???? xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 ???? xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 ???????? xxxy )2(3
1
12 ???? xx
x
例 6,
1s i n
的导数求函数 xey ?
解 )1( s in
1s i n
??? xey x )1(1co s
1s i n
???? xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x ???
例 7 yxy ?? 求
2
a r c s i nc o s
解
)2a r c si n( c o s ??? xy
)
2
a r c si n(
2
a r c si nsi n ???? xx
21
1
2
1
2
a r c s i ns i n
x
x
?
????
例 8 xx tgy 210? y?求
解
)2(10ln10
)10(
2
2
????
???
xx t g
y
xx tg
xx tg
)2se c22(10ln10 22 xxxtgxx tg ????
例 9 yxxy ?? 求)a r c s i n (l n
])a rcs i n ( l n[ ??? xxy解
xx
xx 1
)( l n1
1)a r c s i n ( l n
2?
??
2)( l n1
1)ar c s i n ( l n
x
x
?
??
例 10 yaa rc t gy x ?? 求)(c o sln
])(co s[ l n ??? xaa r ct gy解
aa
a
aa r c t g
aa r c t g
x
x
x
x ln1
1)(s i n
)(c o s
1
2 ?????
x
x
a
aa
2
2
1
ln
?
??
例 11 y
xx
y ?
?
? 求
)c o sc o s (
1
解 )s i n1())c o ss i n ((
)c o s(c o s
1
2 xxxxxy ??????
???
)s i n1()c oss e c ()c os( xxxxxtg ??????
例 12 y
x
xy ?
?
?? 求)
1
1(c o s 2
2
)1(
)1(
2
1
)1(
2
1
)
1
1
(c o s2
x
x
x
x
x
x
x
y
?
????
?
?
?
??
解
2)1(
1
)
1
1
(c o s2
xxx
x
?
?
?
?
?
?
例 13 yfefey xxf ??? 求可微,,)()(
解,
??y ])([][)(][ )()( ????? xxfxxf efeefe
xxxfxxf eefeefxfe ??????? )()()( )()(
])()()([)( xxxxf eefefxfe ??????
例 14 )
2
1(1)1(
2 fxxfdx
d ?? 求已知
)1(,2xfdxd?解
xxxf
12)1(
32 ?
????
2)
1( 2
2
x
xf ????
1)21(,21)( ???????? fttf
复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链
导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常
数与基本初等函数的和、差、积、商,
小 结
若 )( uf 在 0u 不可导,)( xgu ? 在 0x 可导，且
)( 00 xgu ?,则 )]([ xgf 在 0x 处 （ ）．
（ 1 ）必可导； （ 2 ）必不可导； （ 3 ）不一定可导；
思
考
题
正确地选择是 （ 3）
例 ||)( uuf ?在 处不可导，0?u
取 xxgu s i n)( ?? 在 处可导，0?x
|s i n|)]([ xxgf ?在 处不可导，0?x ?)1(
取 4)( xxgu ?? 在 处可导，0?x
44 ||)]([ xxxgf ??在 处可导，0?x ?)2(
思考题解答