第四节 三重积分的计算（ 2）
在柱坐标系下三重积分的计算
在球坐标系下三重积分的计算
1,平面上的极坐标系 +Z轴
3,柱坐标与直角坐标的关系：
??
?
?
?
?
?
?
zz
ry
rx
?
?
s i n
c o s
222 ryx ??
x
ytg ??
4,柱坐标的取值范围,??????????? zr,0,20 ??
2,柱坐标系中的坐标,zr,,?
柱坐标系回忆：
5,柱坐标系下的体积元,d r d zrddv ??
?=常数 过 Z轴的半平面
z=常数 平行于 XOY面的平面
r=常数 以 Z轴为中心轴的柱面
6,柱坐标系下坐标曲面：
例 1 计算 ???
?
? zdxd y dzI,其中 ? 是球面
4
222
??? zyx 与抛物面 zyx 3
22
??
所围的立体,
解
由
?
?
?
?
?
?
?
?
zz
ry
rx
?
?
s in
c o s
,
?
?
?
?
??
zr
zr
3
4
2
22
,3,1 ??? rz
知交线为
?? ? ?? ??? 2
3
2
42
0
3
0
r
r z d zrdrdI
.413??
面上，如图，投影到把闭区域 x o y?
.20
,30
4
3
:
2
2
????
??
????
r
rz
r
，
例２ 　 计算 ???
?
?? dxdy dzyxI )(
22
,其中 ?
是 曲线 zy 2
2
?, 0?x 绕 oz 轴旋转一周而成
的曲 面 与两平面,2?z 8?z 所围的立体,
解
由
?
?
?
?
?
0
22
x
zy
绕 oz 轴旋转得，
旋转面方程为,222 zyx ??
所围成的立体如图，
:2D,422 ?? yx
.
2
2
20
20
:
22
?
?
?
?
?
??
??
????
?
z
r
r
:1D,1622 ?? yx
,
8
2
40
20
:
21
?
?
?
?
?
??
??
????
?
z
r
r
所围成立体的投影区域如图，
2D1D
,)()(
21
2222
21
??????
??
????
???
d x d yd zyxd x d yd zyx
III
?? ???
1
2
8
2
1
D
r f d zr d r dI,3
45 ??
?? ???
2
2
2
2
2
D
r f d zr d r dI,6
25 ??
原式 ?I ?34
5
?? 62
5
?? 336,
??? ??? ? 8 24020 22r dzrrdrd
?? ? ??? ? 2 220 20 22r dzrrdrd
1· 球坐标系下的坐标：
2· 球坐标与直角坐标的关系：
4· 球坐标系下的体积元：
3· 球坐标的取值范围,
r,,??
??
?
?
?
?
?
?
?
??
??
c o s
s i ns i n
c o ss i n
rz
ry
rx
2222 rzyx ??? ?2222 s i nryx ??
???? ??????? 0,0,20 r
?s i n2rdV ?
几何解释：回忆球坐标系
Px y
z
o
),,( zyxM
?
r
?
??
z
y
xA
5· 球坐标系下的坐标曲面,（见图）
例 3 计算 ???
?
?? d x d y d zyxI )( 22,其中 ? 是 锥面
222 zyx ??, 与 平面 az ? )0( ?a 所围的立体,
解 1 采用球面坐标
az ??,c o s ??? ar
222 zyx ??,4????
,20,40,c o s0,????????????? ar
???
?
?? d x d y d zyxI )( 22
drrdd
a
? ??
?
?? ???? 4
0
c o s
0
342
0 s in
??????? ?
?
da )0c o s(51s in2 5
5
4
0
3
.10 5a??
解 2 采用柱面坐标
,,222 ayxD ??
???
?
?? d x d y d zyxI )( 22 ??? ? ?? a
r
a dzrr d rd 2
0
2
0
? ??? a drrar0 3 )(2 ]54[2
54 aa
a ????,10 5a??
222 zyx ???,rz ??
,20,0,,????????? arazr
例 4 求曲面 2222 2 azyx ??? 与 22 yxz ??
所围 成的立体体积,
解 ? 由锥面和球面围成,采用球面坐标，
由 2222 2 azyx ???
,2 ar ??
22 yxz ??,4????
,20,40,20,??????????? ar
由三重积分的性质知 ???
?
? d x d y d zV,
??? ???? ?? a drrddV 20 2020 s i n4
?
?
????? 4
0
3
3
)2(s in2 da
.)12(34 3a???
在柱面坐标下：
,20 ????,0 ar ??
,2 22 razr ???
,222 ayx ??投影区域 xyD,
?? ? ??
2222
0 0
ra
r
a dzr d rdI ? ?
.)12(34 3a???
例 5 试在三中坐标系中化三重积分 为三次积分，
其中 ?是由,z=R及 所围成的立体。
???
?
? dVzyxfI ),,(
22 yxz ??
知 ?在 XOY面的投影域为：
222,RyxD xy ??
在直角坐标系中：
? ? ?
?
?
?? ?
?
R
R
xr
xR
R
yx
dzzyxfdydxI
22
2
2 22
),,(
〖 解 〗 由已知两曲面的交线为：
??
???
??
?
22 yxz
Rz
知 ?在 XOY面的投影域为：
222,RyxD xy ??
在极坐系中：
? ? ??
?
???
2
0 0
),s i n,c o s(
R R
r
dzzrrfr d rdI
在球标系中：
? ? ??
? ? ?
????????
2
0
4
0
c o s
0
2 )c o s,s i ns i n,c o ss i n(s i n
R
drrrrfrddI
例 6 求由下列曲面围成的立体的体积
故选用柱坐标积分,
由于透影区域为
2222,6)1( yxzyxz ?????
4,22 ?? yxD xy
???
?
? dvV ? ? ?
?
?
?
?
2
0
2
0
6 2r
r
dzr d rd 332)6(2
2
0
2 ?? ???? ? drrrr
22222,2)2( yxzzzyx ?????
2222,)3( yxzyxz ????
2222 4,5)4( yxzyxz ?????
解（ 1）
22222,2 yxzzzyx ?????
【 注 】 区域为球顶锥底，
选用球坐标较为简便
drrdd? ? ??
? ? ?
???
2
0
4/
0
c o s2
0
2s i nI
??
解（ 2）
2222,yxzyxz ????
解（ 3）
6
4I
2
0
1
0 2
Pidzr d rd r
r
?? ? ? ?
?
?
【 注 】 区域为锥顶抛物底，
选用柱坐标较为简便
22
22
4
,5
yxz
yxz
??
???
解（ 4）
【 注 】 区域为球顶抛物底
? ??
? ??
?
?
2 22
22
4
0
5
4
2
0
4V
x yx
yx
dzdydx
3
)455(2 ?? ?
? ? ?
?
?
?
?
2
0
2
0
5
4
2
2
V
r
r
dzr d rd 3
)455(2 ?? ?
按直角坐标计算：方法 1
按柱坐标计算：方法 2
（因为该立体是旋转体，可以利用旋转体的体积公式）
? ? ? ? ? ???
? ? ? ?
?
??????
2
0
2
0
5
0
2
0
2/
2
s i n
c o s4
0
22
2
s i ns i nV
a r c t g
a r c t g
drrdddrrdd
3
)455(2 ?? ?
dzzz d z? ? ???
1
0
5
1
2 )5(4V ??
3
)455(2 ?? ?
按二重积分计算：
? ? ???
?
?
2
0
2
0
2
2 )
45(V dr
rrrd
3
)455(2 ?? ?
按球坐标计算：方法 3
按定积分计算：方法 4
方法 5
该题为球顶，但是的底部不是锥面，
所以采用柱坐标较为简便，如果是旋转
体，采用定积分更为简便。
方法比较：
〖 解 〗 以球面面为顶，抛物面为底，故选用柱坐标。
???
?
?? dVyxz 22I dzzdrrd
r
r
? ? ?
?
?
?
?
2
0
1
0
2
2
2
2
drrrr? ???
1
0
422 )2(? ?
105
34?
例 7 计算 ???
?
?? dVyxz 22I 2222 ???? zyx是由其中
围成的闭区域和 22 yxz ??
例 8 计算 其中 ?是第一挂限中的球面
与平面 Z=1 及, y=x 所围成的区域。
???
?
? zd VI 4
222 ??? zyx
xy 31?
按先二后一法计算：
按柱坐标计算：
???
?
? zd VI ? ? ?
?
?
4
6
3
0
4
1
2?
?
?
r
z d zr d rd
? ? ???
4
6
3
0
2 )14(
2
1
?
?
? drrrd
32
3??
?? ?? ???
2
1
2
2
1 )(
)4(241I dzzzd x d yz d z
zD
?
32
3??
〖 方法 1〗 利用先二后一法计算：
例 9 计算 其中 ?是由椭圆
围成的空间区域。
???
?
? dVz 2I 1
2
2
2
2
2
2
??? czbyax
〖 解 〗
d x d ydzz
c
c zD
? ??
?
?
)(
2 1I
3
15
4 abc??
?
?
??
c
c
dzczzab
1
2
2
2 )1(?
〖 方法 2〗 利用广义球坐标计算：
广义球坐标系下的体积元,drdda b crdV ???s i n2?
? ? ??
? ?
????
2
0 0
1
0
423 c o ss i nI drrdda b c
2
2
2
2
2
2
2
rczbyax ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
c o s
s i ns i n
c o ss i n
crz
bry
arx
3
15
4 abc??
〖 推广 〗
)(154I 222 cbaabc ??? ?
（ 1）计算 其中 ?是由椭圆
围成的空间区域。
???
?
??? dVzyx )(I 222 12
2
2
2
2
2
??? czbyax
（ 2）计算 其中 ?是由椭圆
围成的空间区域。
???
?
??? dVczbyax )(I 2
2
2
2
2
2 1
2
2
2
2
2
2
??? czbyax
=+I= 3
15
4 abc? 2c? cab 3
15
4 ? 2b? + bca3
15
4 ? 2a? abc?
5
4
一般地,
(1) 当被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的奇函数,
积分区域 ? 关于 z=0 平面对称，则三重积分为零,
(2) 当被积函数 ),,( zyxf 是关于 y 的奇函数,
积分区域 ? 关于 y=0 平面对称，则三重积分为零,
(3) 当被积函数 ),,( zyxf 是关于 x 的奇函数,
积分区域 ? 关于 x=0 平面对称，则三重积分为零,
若被积函数 ),,( zyxf 是偶函数，则三重积分为
?
在半个闭区域的三重积分的两倍,
例 10 利用对称性简化计算
???
?
???
???
d x d y d z
zyx
zyxz
1
)1l n (
222
222
其中积分区域 }1|),,{(
222
????? zyxzyx,
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 的 奇函数,z
.01 )1ln( 222
222
???? ??????
?
d x d y d zzyx zyxz
解 2)( zyx ???
)(2222 zxyzxyzyx ??????
例 6 计算 ???
?
?? d x d y d zzyx 2)( 其中 ? 是由抛物
面 22 yxz ?? 和球面 2222 ??? zyx 所围成的空
间闭区域,
其中 yzxy ? 是关于 y 的奇函数,
且 ? 关于 z o x 面对称,???
?
??? 0)( dvyzxy,
同理 ? zx 是关于 x 的奇函数,
且 ? 关于 y o z 面对称,,0???
?
?? x z d v
由对称性知 ??????
??
? dvydvx 22,
则 ???
?
??? d x d y d zzyxI 2)(
,)2( 22???
?
?? d x d yd zzx
在柱面坐标下：
,20 ????,10 ?? r,2 22 rzr ???
,122 ?? yx投影区域 xyD,
?? ? ?? ???? 22 2 22220 10 )c o s2(rr dzzrrdrdI
).89290(60 ???
柱面坐标的体积元素
球面坐标的体积元素
对称性简化运算
小 结
dzr d r dd x d yd z ??
dzd r drd x d y d z ??s i n2?