第六节 微分法的几何应用
空间曲线的切线与法平面
曲面的切平面与法线
要 点
设空间曲线的方程
)1(
)(
)(
)(
??
?
?
?
?
?
?
tz
ty
tx
?
?
?
o
z
yx
(1)式中的三个函数均可导,
M?
.
),,(
0
000
ttt
zzyyxxM
???
???????
对应于;),,,( 0000 ttzyxM ?对应于设
? M?
一、空间曲线的切线与法平面
考察割线趋近于极限位置 —— 切线的过程
z
zz
y
yy
x
xx
?
??
?
??
?
? 000
t?t? t?
上式分母同除以,t?
o
z
yx
M?
? M?割线 的方程为MM ?
,000 zzzy yyx xx ????????
,0,时即当 ???? tMM
曲线在 M处的切线方程
.
)()()( 0
0
0
0
0
0
t
zz
t
yy
t
xx
??? ?
??
?
??
?
?
切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,
? ?)(),(),( 000 tttT ??? ?????
法平面：过 M点且与切线垂直的平面,
0))(())(())(( 000000 ????????? zztyytxxt ???
例 1 求曲线,? ??
t u
u duex
0
c o s, ty s i n2?
tc o s?,
t
ez
3
1 ?? 在 0?t 处的切线和法平面方程,
解 当 0?t 时，,2,1,0 ??? zyx
,co s tex t??,s i nco s2 tty ???,3 3 tez ??
?,1)0( ??x,2)0( ??y,3)0( ??z
切线方程,3 22 11 0 ????? zyx
法平面方程,0)2(3)1(2 ????? zyx
.0832 ???? zyx即
1.空间曲线方程为,)(
)(
??
?
?
?
xz
xy
?
?
,),,( 000 处在 zyxM
,)()(1
0
0
0
00
x
zz
x
yyxx
?? ?
??
?
???
.0))(())(()( 00000 ???????? zzxyyxxx ??
法平面方程为
切线方程为
特殊地：
2.空间曲线方程为,0),,( 0),,(??? ??zyxG zyxF
切线方程为
,
0
0
0
0
0
0
yx
yx
xz
xz
zy
zy
GG
FF
zz
GG
FF
yy
GG
FF
xx ?
?
?
?
?
法平面方程为
.0
)()()( 0
0
0
0
0
0
?
????? zz
GG
FF
yy
GG
FF
xx
GG
FF
yx
yx
xz
xz
zy
zy
例 2 求曲线 6222 ??? zyx, 0??? zyx 在
点 )1,2,1( ? 处的切线及法平面方程,
解 1 直接利用公式 ;
解 2 将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
?
?
?
?
?
???
???
1
dx
dz
dx
dy
x
dx
dz
z
dx
dy
y
?
,zy xzdxdy ???
,zy yxdxdz ???
由此得切向量 },1,0,1{ ??T?
所求切线方程为,1 10 21 1 ?????? zyx
法平面方程为,0)1()2(0)1( ??????? zyx
0??? zx
,0
)1,2,1(
?
?dx
dy?,1
)1,2,1(
??
?dx
dz
设曲面方程为
0),,( ?zyxF
) },(),(),({ 000 tttT ??? ?????曲线在 M处的切向量
在曲面上任取一条通
过点 M的曲线
,
)(
)(
)(
:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tz
ty
tx
?
?
?
n? T?
M
二、曲面的切平面与法线
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx??令
则,Tn ???
由于曲线是曲面上通过 M 的任意一条
曲线，它们在 M 的切线都与同一向量 n
?
垂直，故
曲面上通过 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一
平面上，这个平面称为曲面在点 M 的 切平面,
切平面方程为
0))(,,(
))(,,())(,,(
0000
00000000
???
???
zzzyxF
yyzyxFxxzyxF
z
yx
通过点 ),,( 000 zyxM 而垂直于切平面的直线
称为曲面在该点的法线,
法线方程为
),,(),,(),,( 000
0
000
0
000
0
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zyx
?????
)},,(),,,(),,,({ 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx??
曲面在 M处的法向量即
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,
特殊地：空间曲面方程形为 ),( yxfz ?
曲面在 M处的切平面方程为
,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx ?????
曲面在 M处的法线方程为
.1),(),( 0
00
0
00
0
?
????? zz
yxf
yy
yxf
xx
yx
,),(),,( zyxfzyxF ??令
))(,())(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx ?????
切平面
上点的
竖坐标
的增量
的全微分在点函数 ),(),( 00 yxyxfz ?
因为曲面在 M处的切平面方程为
全微分的几何意义
),( yxfz ? 在 ),( 00 yx 的全微分，表示
曲面 ),( yxfz ? 在点 ),,( 000 zyx 处的
切平面上的点的竖坐标的增量,
若 ?, ?, ? 表示曲面的法向量的方向角，
并假定法向量的方向是向上的，即使得它与
z 轴的正向所成的角 ? 是锐角，则法向量的 方向
余弦 为
,1c o s 22
yx
x
ff
f
??
???
,
1
co s 22
yx
y
ff
f
??
???
.1 1c o s 22
yx ff ??
?? ),( 00 yxff xx ? ),(
00 yxff yy ?
其中
例 3 求旋转抛物面 122 ??? yxz 在点 )4,1,2(
处的切平面及法线方程,
解,1),( 22 ??? yxyxf
)4,1,2()4,1,2( }1,2,2{ ?? yxn
? },1,2,4{ ??
切平面方程为,0)4()1(2)2(4 ?????? zyx
,0624 ????? zyx
法线方程为,1 42 14 2 ?????? zyx
例 4 求曲面 32 ??? xyez z 在点 )0,2,1( 处的
切平面及法线方程,
解,32),,( ???? xyezzyxF z
,42 )0,2,1()0,2,1( ??? yF x,22 )0,2,1()0,2,1( ??? xF y
,01 )0,2,1()0,2,1( ???? zz eF
令
切平面方程
法线方程
,0)0(0)2(2)1(4 ??????? zyx
,042 ???? yx
.0 01 22 1 ????? zyx
例 5 求曲面 2132 222 ??? zyx 平行于平面
064 ??? zyx 的各切平面方程,
解 设 为曲面上的切点,),,( 000 zyx
切平面方程为
0)(6)(4)(2 000000 ?????? zzzyyyxxx
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
,664412 000 zyx ??,2 000 zyx ???
因为 是曲面上的切点,),,( 000 zyx
,10 ??? x
所求切点为
满足方程
),2,2,1( ),2,2,1( ???
0)2(12)2(8)1(2 ?????? zyx
2164 ???? zyx
0)2(12)2(8)1(2 ??????? zyx
2164 ????? zyx
切平面方程 (1)
切平面方程 (2)
空间曲线的切线方程与法平面方程
曲面的切平面方程与法线方程
本节要点
如果平面 01633 ???? zyx ?
与椭球面 163
222
??? zyx 相切,
求 ?,
思
考
题
},2,2,6{ 000 zyxn ??设切点 ),,,( 000 zyx
依题意知切向量为 }3,,3{ ??
3
22
3
6 000
???
zyx
?,00 xy ???,3 00 xz ??
切点满足曲面和平面方程
,
01693
01693
2
0
2
0
22
0
00
2
0
?
?
?
????
????
xxx
xxx
?
?
.2??? ?
思考题解答