第六节 傅立叶级数
问题的提出
小结
三角级数 三角函数系的正交性
函数展开成傅立叶级数
非正弦周期函数,矩形波
o t
u
???
1
1?
??
?
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?????
?
?
t
ttu
0,1
0,1)(
当
当
不同频率正弦波逐个叠加
?,7s i n714,5s i n514,3s i n314,s i n4 tttt ??? ????
一,问题的提出
tu s in4??
)3s i n31( s i n4 ttu ???
)5s i n513s i n31( s i n4 tttu ????
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4 ttttu ?????
)7s i n715s i n513s i n31( s i n4)( ??????? tttttu
)0,( ?????? tt
)9s i n917s i n715s i n513s i n31( s i n4 tttttu ??????
? ????? ?
? 10
)s i n ()(
n nn
tnAAtf 谐波分析
? ??????? ?
? 10
)s i nc o sc o ss i n(
n nnnn
tnAtnAA
? ?? ?
? 1
0 )s i nco s(
2 n nn nxbnxa
a
,2 00 Aa ?令,s i n nnn Aa ??,co s nnn Ab ??,xt ??
三角级数
1、三角级数
二、三角级数 三角函数系的正交性
??,s i n,c o s,2s i n,2c o s,s i n,c o s,1 nxnxxxxx
.],[ 上的积分等于零任意两个不同函数在 ???
,0c o s ?? ??? n x d x,0s in ?? ??? n x d x
三角函数系：
2.三角函数系的正交性
正交：
,,,0s ins in
??
?
??
??? ?
?? nm
nmnx d xmx
,,,0c o sc o s
??
?
??
??? ?
?? nm
nmnx d xmx
.0c o ss in ?? ??? n x d xmx ),2,1,( ??nm其中
问题,1.若能展开,是什么?ii ba,
2.展开的条件是什么?
? ??? ?
? 1
0 )s i nco s(
2)( k kk kxbkxa
axf若有
.)1( 0a求
dxkxbkxadxadxxf
k kk
])s i nco s([2)(
1
0 ? ? ????? ?
??
?
?
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?
??
傅里叶系数1
三、函数展开成傅立叶级数
,220 ??? a ???
?
?? dxxfa )(
1
0
k x d xbdxkxadxa
k
k
k
k s i nc o s2
11
0 ? ?? ??
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?
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?
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??? ? ?? ?? ?
.)2( na求
??? ? ??? ?? nx d xanx d xxf co s2co s)( 0
]c o ss i nc o sc o s[
1 ??
??? ? ??? ???
?
n x d xkxbn x d xkxa k
n k
?? ??? n x d xa n 2c o s,?? na
? ????? nx d xxfa n c o s)(1 ),3,2,1( ??n
.)3( nb求
??? ? ?? n xd xxfb n s i n)(1 ),3,2,1( ??n
?? ?????? ? n x d xan x d xxf s i n2s i n)( 0
]s ins ins inc o s[
1
??? ? ??? ??
?
?
?? n x d xkxbn x d xkxa k
n
k,?? nb
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),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
?
?
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
2
0
2
0
),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
?
?
nn x d xxfb
nn x d xxfa
n
n
或
傅里叶系数
? ??
?
? 1
0 )s i nc o s(
2 n nn nxbnxa
a
问题,
? ??
?
? 1
0 )s i nc o s(
2?)( n nn nxbnxa
axf 条件
傅里叶级数2
(2) 当 x 是 )( xf 的间断点时,
收敛于
2
)0()0( ??? xfxf;
设 )( xf 是以 ?2 为周期的周期函数, 如果它满足条件,
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且
至多只有有限个极值点,则 )( xf 的傅里叶级数收敛,
并且
( 1 ) 当 x 是 )( xf 的连续点时,级数收敛于 )( xf ;
(3) 当 x 为端点 ???x 时,
收敛于
2
)0()0( ?????? ff
.
狄利克雷 (Dirichlet)充分条件 定理3
函数展开成傅里叶级数的条件比展开成
幂级数的条件 低 的多,
解
以 ?2 为周期的矩形脉冲的波形
?
?
?
??????
???
?
tE
tE
tu
m
m
,
0,
)(
将其展开为傅立叶级数,
o t
u
???
mE
mE?
所给函数满足狄利克雷充分条件,
.),2,1,0( 处不连续在点 ?????? kkx
2
mm EE ??收敛于
2
)( mm EE ???,0?
注意,
例 1
).(,xfkx 收敛于时当 ?? 和函数图象为
o t
u
???
mE
mE?
? ????? nt d ttua n c o s)(1
?
?
?
??
?
?
?
?
?
0
0
c o s
1
c o s)(
1
n td tE
n td tE
m
m
),2,1,0(0 ??? n
? ????? nt d ttub n s i n)(1
?? ??? ????? 00 s i n1s i n)(1 nt d tEnt d tE mm
)co s1(2 ???? nnE m ])1(1[2 nmnE ????
??
?
?
?
??
???
???
?
?
,2,1,2,0
,2,1,12,
)12(
4
kkn
kkn
k
E m
??
?
????
1
)12s i n ()12( 4)(
n
m tn
n
Etu
),2,,0;( ???????????? tt
所求函数的傅氏展开式为
对于非周期函数,如果函数 只在
区间 上有定义,并且满足狄氏充
分条件,也可展开成傅氏级数,
)(xf
],[ ???
作法,
),()()()2( ?????? xfxFT周期延拓
)]0()0([21 ?????? ff端点处收敛于
注意,
将函数
?
?
?
???
?????
?
xx
xx
xf
0,
0,
)( 展开为傅立叶级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
拓广的周期函数的傅
氏级数展开式在
收敛于,)(xf
],[ ???
x
y
o ??? ?2??2
?
例 2
? ????? nx d xxfa n c o s)(1
?? ??? ????? 00 c o s)(1c o s)(1 nx d xxfnx d xxf
)1( c o s22 ??? nxn ]1)1[(22 ???? nn
? ????? dxxfa )(10
?? ??? ????? 00 )(1)(1 dxxfdxxf,??
??
?
?
?
??
???
??
?
?
?
?
,2,1,2,0
,2,1,12,
)12(
4
2
kkn
kkn
k
? ????? nx d xxfb n s i n)(1
?? ??? ????? 00 s i n)(1s i n)(1 nx d xxfnx d xxf,0?
??
?
??????
1
2 )12c o s ()12(
14
2)( n xnnxf )( ????? x
所求函数的傅氏展开式为
利用傅氏展开式求级数的和
,)12c o s ()12( 142)(
1
2?
?
?
??????
n
xnnxf?
,0)0(,0 ?? fx 时当 ????? 22
2
5
1
3
11
8
?
,4131211 222 ???????设
),8(51311
2
221
?? ????? ?
,614121 2222 ??????
,4131211 2223 ???????
,44 212 ???? ????,243
2
1
2
??? ???
21 ??? ??,6
2?
? ??? ?? 13 2.12
2?
?
小 结
基本概念；
傅里叶系数；
狄利克雷充分条件；
非周期函数的傅氏展开式；
傅氏级数的意义 —— 整体逼近
若函数 )()( xx ?? ??,问,)( x? 与 )( x?
的傅里叶系数 na, nb 与 n?, n? ),2,1,0( ??n
之间有何关系？
思
考
题
? ??? ??? n x d xxa n co s)(1
? ??? ?????? )()co s ()(1 tdntt
? ??? ???? n x d xx co s)(1
? ??? ??? n x d xx co s)(1 n?? ),2,1,0( ??n
思考题解答
? ??? ??? n x d xxb n s i n)(1
? ??? ?????? )()s i n ()(1 tdntt
? ??? ????? n x d xx s i n)(1
? ??? ???? n x d xx s i n)(1 n??? ),2,1( ??n
,nna ??,nnb ???