第四节 对面积的曲面积分
概念的引入
小结
对面积的曲面积分的定义
对面积的曲面积分的计算方法
若曲面 ? 是光滑的,它的面密度为连
续函数 ),,( zyx?,求它的质量,
所谓曲面光滑
即曲面上各点处都
有切平面,且当点在
曲面上连续移动时,
切平面也连续转动,
实例
一、概念的引入
设曲面 ? 是光滑的,函数 ),,( zyxf 在 ?
上有界,把 ? 分成 n 小块 iS? （ iS? 同时也表示
第 i 小块曲面的面积）,设点 ),,( iii ??? 为 iS? 上
任意取定的点,作乘积 ?),,( iiif ??? iS?,
并作和 ?
?
?
n
i
iii
f
1
),,( ???
i
S?,如果当各小块曲面
的直径的最大值 0?? 时,这和式的极限存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面 ? 上对面积
的 曲面积分 或 第一类曲面积分,
1.定义定义 1
二、对面积的曲面积分的定义
即 ??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
?
?
),,(lim
1
0
???
?
记为 ??
?
dSzyxf ),,(,
??
?
?dSzyxf ),,( ????
??
?
21
),,(),,( dSzyxfdSzyxf,
对面积的曲面积分的性质
则及可分为分片光滑的曲面若,21 ???
叫被积函数，其中 ),,( zyxf,叫积分曲面?
首先让我们回忆：
二重积分中曲面面积的计算公式
对面积的曲面积分如何计算呢？
第九章 重积分
二重积分
三重积分
重积分的应用
第三节 二重积分的应用
曲面的面积
典型例题分析
平面薄板的重心
平面薄板的转动惯量
１．设曲面的方程为,),( yxfz ?
,Dx o y 面上的投影区域为在
,Dd ??设小区域
,),( ?dyx ?点
.
)),(,,(
的切平面
上过为 yxfyxMS?
.dsdS
dSdss
zd
?
?
则有
，为；截切平面为柱面，截曲面
轴的小于边界为准线，母线平行以 ?
如图，
?d ),( yx
M dA
x
y
z
s
?
o ?
一、曲面的面积
,面上的投影在为 xoydAd ??,c o s ?? ??? dSd
,1 1c o s 22
yx ff ??
???
?dffdS yx 221 ????
,1 22?? ????
D
yx dffS ?
曲面 S的面积元素
曲面面积公式为,dxdyS
xyD
y
z
x
z??
?
?
?
? ??? 22 )()(1
３．设曲面的方程为,),( xzhy ?
曲面面积公式为,? ? ? ?
.1 22 d z d xS
zxD
x
y
z
y??
?
?
?
? ???
２．设曲面的方程为,),( zygx ?
曲面面积公式为,? ? ? ? ;1 22 d y d zS
yzD
z
x
y
x??
?
?
?
? ???
同理可得;1]),,(,[ 22 d x d zyyzzxyxf
xzD
zx?? ???????? dSzyxf ),,(则
.1],),,([ 22 d yd zxxzyzyxf
yzD
zy?? ???????
?
dSzyxf ),,(则
推广,
),(,zxyy ??若曲面
2
),(.3 zyxx ??,若曲面3
1
),(,yxzz ??若曲面
dxdyzzyxzyxf
xzD
yx?? ??
221)],(,,[ ???? dSzyxf ),,(
则;1]),,(,[ 22 d x d zyyzzxyxf
xzD
zx?? ???????? dSzyxf ),,(则
.1],),,([ 22 d yd zxxzyzyxf
yzD
zy?? ???????
?
dSzyxf ),,(则
),(,zxyy ??若曲面
2
),(.3 zyxx ??,若曲面3
1
),(,yxzz ??若曲面
dxdyzzyxzyxf
xzD
yx?? ??
221)],(,,[ ???? dSzyxf ),,(
则
三、对面积的曲面积分的计算法
计算 ??
?
?? dszyx )(,其中 ? 为平面
5?? zy 被柱面 2522 ?? yx 所截得的部分,
例 1
积分曲面
?, yz ?? 5,
解
投影域,
}25|),{( 22 ??? yxyxD xy
??
?
?? dszyx )(故
?? ????
xyD
dxdyyyx )5(2 ?? ??
xyD
dxdyx )5(2
r d rrd ?? ???? ? 5020 )c o s5(2,2125 ??
d x d yzzdS yx 221 ?????
d x d y2)1(01 ????,2d x d y?
例 2 计算 dSxy z??
?
||,
其中 ? 为抛物面
22
yxz ?? （ 10 ?? z ）,
解 依对称性知：
被积函数 || x yz 关于
xoz, y o z 坐标面对称
轴对称，关于
抛物面
z
yxz 22 ??
有 ????
??
?
1
4 成立,( 1? 为第一卦限部分曲面 )
x y
z
d x d yzzdS yx 221 ?????
d x d yyx 22 )2()2(1 ???
原式 dSx yz??
?
? || dSx y z??
?
?
1
4
d x d yyxyxxy
xyD
2222 )2()2(1)(4 ???? ??
?
其中 1|),{( 22 ???? yxyxD xy,}0,0 ?? yx
利用极坐标 trx c o s?,try s i n?,
r d rrrttrdt ?? ??? 10 22220 41s i nc o s4
?
drrrtd t 210 50 412s i n2 2 ?? ?? ? 令 241 ru ??
duuu 25
1
)4 1(41 ?? ?,420 15125 ??
计算 ??
?
xdS,其中 ? 是圆柱面 122 ?? yx,
平面 2?? xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
例 3
解 ????????
????
???
321
其中 1?, 0?z,2?, 2?? xz,
3?, 122 ?? yx,投影域 1D, 122 ?? yx
显然 0
11
?? ????
? D
x d x d yxdS,
,011
12
??? ????
? D
dxdyxxdS
讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,（ 注意,21 xy ??? 分为左、右两片 ）
??
? 3
x d S ??
?
?
31
xdS ??
?
?
32
xdS
（左右两片投影相同）
?? ?????
xzD
zx dxdzyyx
2212
xoz
??
?
??
xzD
dxdz
x
xx
2
2
1
12
? ?? ??? 1 1 20212 x dzdxxx
,??
??
?
? xdS ?????? 00,
计算 dSzyx )( 222 ????
?
,其中 ? 为内接于球面
2222 azyx ??? 的八面体 azyx ??? |||||| 表面,
例 4
被积函数 ?),,( zyxf 222 zyx ??,解
关于坐标面、原点均对称,
积分曲面 ? 也具有对称性,
故原积分 ????
??
?
1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?, azyx ???,即 yxaz ???
d x d yzzdS yx 221 ??? dxd y3?
dSzyx )( 222 ????
? ???
???
1
)(8 222 dSzyx
dxdyyxayx
xyD
?? ????? 3])([8 222
.32 4a?
例 5 计算 ??
?
?? dszyx )( 222
其中 ? 为曲面 2222 azyx ???
解 解题步骤
一、
xyD的投影找 ?
二、
三、
dxdyzzds yx 221 ???? ?? 转化
)),(,,(),,( yxzyxfzyxf ??? ?? ? 的方程用
d x d yzzyxayx
dszyx
yx
D
2222222
222
1
''
))((
)(
???????
??
??
??
?
d x d y
yxa
aa
D
?? ??? 2222
? ? ??
?
?
2
0 0 22
3 a
ra
r d rda
例 6 计算 ??
?
?? dszyx )( 222
（ 1） 0222 ????? zyxaz 和为,
dxdyzzzyxI yx 22222 1
21
''))(( ?????? ????
??
???? ???
? D
d x d yyxdsa )( 222
1
? ??? ? ?? 20 0 322 a drrda
4
2
5 a??
的重心坐标求均匀的 上?)( 2
),,(,zyx设重心坐标为
0?? yx:由对称性知
2
222
222
2 a
d x d y
yxa
a
yxa
ds
z d s
z D
???
? ??
??
?? ????
??
?
?
2
a?
),,(,200 a重心为
例 7 计算 ??
? ??
222 zyx
ds
222 Ryx ????,:为其中
解
22
3
22
3
yRx
yRx
????
???
:
:
后
前
??
??
??
?
??
?
yzD
d y d z
yR
R
zR
zyx
ds
2222
222
1
前
? ?? ??? RR h zR dzyR dyR 0 2222
hR
R
z
RR
yR
00
12 a r c t a na r c s i n ??
R
ha r c t a n??
型曲线积分? 型曲面积分?
dsyxfc? ),( ??D dsyxf ),(
s
c
Lds ?? DD
Sds ???
dsyxm c?? ),(? dsyxm
D
),(????
?? ?? 比较
对面积的曲面积分的概念
对面积的曲面积分的解法是将其化为投影
域上的二重积分计算,
小 结
??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
??
),,(l i m
10
???
?
（按照曲面的不同情况分为三种）
在对面积的曲面积分化为二重积分
的公式中,有因子,试说明
这个因子的几何意义,
221 yx zz ??
思
考
题
是曲面元的面积,dS 221
1),c o s (
yx zz
zn
??
?
221 yx zz ??故 是曲面法线与 轴夹角的余弦
的倒数,
z
?
???
c o sc o s
ddSdSd ?????
?
?
?
?
dzz
zz
dd
dS yx
yx
2'2'
2'2'
1
1
1c o s
???
??
???
思考题解答
一,填空题,
1, 已知曲面 ? 的面 a积为,则 ?
??
?
ds10 _______ ；
2,
??
?
dszyxf ),,( =
??
yz
D
zyzyxf ),),,(( ___ _ _ ___ d y d z
3, 设 ? 为球面
2222
azyx ??? 在 x o y 平 面的上方部分,则
???
??
?
dszyx )(
222
____________ ；
练 习 题
a10
22 )()(1
z
x
y
x
?
??
?
??
42 a?
解
概念的引入
小结
对面积的曲面积分的定义
对面积的曲面积分的计算方法
若曲面 ? 是光滑的,它的面密度为连
续函数 ),,( zyx?,求它的质量,
所谓曲面光滑
即曲面上各点处都
有切平面,且当点在
曲面上连续移动时,
切平面也连续转动,
实例
一、概念的引入
设曲面 ? 是光滑的,函数 ),,( zyxf 在 ?
上有界,把 ? 分成 n 小块 iS? （ iS? 同时也表示
第 i 小块曲面的面积）,设点 ),,( iii ??? 为 iS? 上
任意取定的点,作乘积 ?),,( iiif ??? iS?,
并作和 ?
?
?
n
i
iii
f
1
),,( ???
i
S?,如果当各小块曲面
的直径的最大值 0?? 时,这和式的极限存在,
则称此极限为函数 ),,( zyxf 在曲面 ? 上对面积
的 曲面积分 或 第一类曲面积分,
1.定义定义 1
二、对面积的曲面积分的定义
即 ??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
?
?
),,(lim
1
0
???
?
记为 ??
?
dSzyxf ),,(,
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?
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?
21
),,(),,( dSzyxfdSzyxf,
对面积的曲面积分的性质
则及可分为分片光滑的曲面若,21 ???
叫被积函数，其中 ),,( zyxf,叫积分曲面?
首先让我们回忆：
二重积分中曲面面积的计算公式
对面积的曲面积分如何计算呢？
第九章 重积分
二重积分
三重积分
重积分的应用
第三节 二重积分的应用
曲面的面积
典型例题分析
平面薄板的重心
平面薄板的转动惯量
１．设曲面的方程为,),( yxfz ?
,Dx o y 面上的投影区域为在
,Dd ??设小区域
,),( ?dyx ?点
.
)),(,,(
的切平面
上过为 yxfyxMS?
.dsdS
dSdss
zd
?
?
则有
，为；截切平面为柱面，截曲面
轴的小于边界为准线，母线平行以 ?
如图，
?d ),( yx
M dA
x
y
z
s
?
o ?
一、曲面的面积
,面上的投影在为 xoydAd ??,c o s ?? ??? dSd
,1 1c o s 22
yx ff ??
???
?dffdS yx 221 ????
,1 22?? ????
D
yx dffS ?
曲面 S的面积元素
曲面面积公式为,dxdyS
xyD
y
z
x
z??
?
?
?
? ??? 22 )()(1
３．设曲面的方程为,),( xzhy ?
曲面面积公式为,? ? ? ?
.1 22 d z d xS
zxD
x
y
z
y??
?
?
?
? ???
２．设曲面的方程为,),( zygx ?
曲面面积公式为,? ? ? ? ;1 22 d y d zS
yzD
z
x
y
x??
?
?
?
? ???
同理可得;1]),,(,[ 22 d x d zyyzzxyxf
xzD
zx?? ???????? dSzyxf ),,(则
.1],),,([ 22 d yd zxxzyzyxf
yzD
zy?? ???????
?
dSzyxf ),,(则
推广,
),(,zxyy ??若曲面
2
),(.3 zyxx ??,若曲面3
1
),(,yxzz ??若曲面
dxdyzzyxzyxf
xzD
yx?? ??
221)],(,,[ ???? dSzyxf ),,(
则;1]),,(,[ 22 d x d zyyzzxyxf
xzD
zx?? ???????? dSzyxf ),,(则
.1],),,([ 22 d yd zxxzyzyxf
yzD
zy?? ???????
?
dSzyxf ),,(则
),(,zxyy ??若曲面
2
),(.3 zyxx ??,若曲面3
1
),(,yxzz ??若曲面
dxdyzzyxzyxf
xzD
yx?? ??
221)],(,,[ ???? dSzyxf ),,(
则
三、对面积的曲面积分的计算法
计算 ??
?
?? dszyx )(,其中 ? 为平面
5?? zy 被柱面 2522 ?? yx 所截得的部分,
例 1
积分曲面
?, yz ?? 5,
解
投影域,
}25|),{( 22 ??? yxyxD xy
??
?
?? dszyx )(故
?? ????
xyD
dxdyyyx )5(2 ?? ??
xyD
dxdyx )5(2
r d rrd ?? ???? ? 5020 )c o s5(2,2125 ??
d x d yzzdS yx 221 ?????
d x d y2)1(01 ????,2d x d y?
例 2 计算 dSxy z??
?
||,
其中 ? 为抛物面
22
yxz ?? （ 10 ?? z ）,
解 依对称性知：
被积函数 || x yz 关于
xoz, y o z 坐标面对称
轴对称，关于
抛物面
z
yxz 22 ??
有 ????
??
?
1
4 成立,( 1? 为第一卦限部分曲面 )
x y
z
d x d yzzdS yx 221 ?????
d x d yyx 22 )2()2(1 ???
原式 dSx yz??
?
? || dSx y z??
?
?
1
4
d x d yyxyxxy
xyD
2222 )2()2(1)(4 ???? ??
?
其中 1|),{( 22 ???? yxyxD xy,}0,0 ?? yx
利用极坐标 trx c o s?,try s i n?,
r d rrrttrdt ?? ??? 10 22220 41s i nc o s4
?
drrrtd t 210 50 412s i n2 2 ?? ?? ? 令 241 ru ??
duuu 25
1
)4 1(41 ?? ?,420 15125 ??
计算 ??
?
xdS,其中 ? 是圆柱面 122 ?? yx,
平面 2?? xz 及 0?z 所围成的空间立体的表面,
例 3
解 ????????
????
???
321
其中 1?, 0?z,2?, 2?? xz,
3?, 122 ?? yx,投影域 1D, 122 ?? yx
显然 0
11
?? ????
? D
x d x d yxdS,
,011
12
??? ????
? D
dxdyxxdS
讨论 3? 时,将投影域选在 x o z 上,（ 注意,21 xy ??? 分为左、右两片 ）
??
? 3
x d S ??
?
?
31
xdS ??
?
?
32
xdS
（左右两片投影相同）
?? ?????
xzD
zx dxdzyyx
2212
xoz
??
?
??
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x
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2
2
1
12
? ?? ??? 1 1 20212 x dzdxxx
,??
??
?
? xdS ?????? 00,
计算 dSzyx )( 222 ????
?
,其中 ? 为内接于球面
2222 azyx ??? 的八面体 azyx ??? |||||| 表面,
例 4
被积函数 ?),,( zyxf 222 zyx ??,解
关于坐标面、原点均对称,
积分曲面 ? 也具有对称性,
故原积分 ????
??
?
1
8,
( 其中 1? 表示第一卦限部分曲面 )
1?, azyx ???,即 yxaz ???
d x d yzzdS yx 221 ??? dxd y3?
dSzyx )( 222 ????
? ???
???
1
)(8 222 dSzyx
dxdyyxayx
xyD
?? ????? 3])([8 222
.32 4a?
例 5 计算 ??
?
?? dszyx )( 222
其中 ? 为曲面 2222 azyx ???
解 解题步骤
一、
xyD的投影找 ?
二、
三、
dxdyzzds yx 221 ???? ?? 转化
)),(,,(),,( yxzyxfzyxf ??? ?? ? 的方程用
d x d yzzyxayx
dszyx
yx
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1
''
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2
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例 6 计算 ??
?
?? dszyx )( 222
（ 1） 0222 ????? zyxaz 和为,
dxdyzzzyxI yx 22222 1
21
''))(( ?????? ????
??
???? ???
? D
d x d yyxdsa )( 222
1
? ??? ? ?? 20 0 322 a drrda
4
2
5 a??
的重心坐标求均匀的 上?)( 2
),,(,zyx设重心坐标为
0?? yx:由对称性知
2
222
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d x d y
yxa
a
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?
2
a?
),,(,200 a重心为
例 7 计算 ??
? ??
222 zyx
ds
222 Ryx ????,:为其中
解
22
3
22
3
yRx
yRx
????
???
:
:
后
前
??
??
??
?
??
?
yzD
d y d z
yR
R
zR
zyx
ds
2222
222
1
前
? ?? ??? RR h zR dzyR dyR 0 2222
hR
R
z
RR
yR
00
12 a r c t a na r c s i n ??
R
ha r c t a n??
型曲线积分? 型曲面积分?
dsyxfc? ),( ??D dsyxf ),(
s
c
Lds ?? DD
Sds ???
dsyxm c?? ),(? dsyxm
D
),(????
?? ?? 比较
对面积的曲面积分的概念
对面积的曲面积分的解法是将其化为投影
域上的二重积分计算,
小 结
??
?
dSzyxf ),,( iii
n
i
i Sf ?? ?
??
),,(l i m
10
???
?
（按照曲面的不同情况分为三种）
在对面积的曲面积分化为二重积分
的公式中,有因子,试说明
这个因子的几何意义,
221 yx zz ??
思
考
题
是曲面元的面积,dS 221
1),c o s (
yx zz
zn
??
?
221 yx zz ??故 是曲面法线与 轴夹角的余弦
的倒数,
z
?
???
c o sc o s
ddSdSd ?????
?
?
?
?
dzz
zz
dd
dS yx
yx
2'2'
2'2'
1
1
1c o s
???
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???
思考题解答
一,填空题,
1, 已知曲面 ? 的面 a积为,则 ?
??
?
ds10 _______ ；
2,
??
?
dszyxf ),,( =
??
yz
D
zyzyxf ),),,(( ___ _ _ ___ d y d z
3, 设 ? 为球面
2222
azyx ??? 在 x o y 平 面的上方部分,则
???
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?
dszyx )(
222
____________ ；
练 习 题
a10
22 )()(1
z
x
y
x
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42 a?
解
