第二节 向量及其加减法
向量与数乘法
向量的概念
向量的加减法
向量与数乘法的概念
1.向量,既有大小又有方向的量,
2.向量表示：
以 1M 为起点,2M 为终点的有向线段,
1M
2M
?
?
a? 21MM
模长为 1的向量, 21MM 00a
5.零向量,模长为 0的向量, 0?
||a? 21MM| |3.向量的模,向量的大小,
4.单位向量,或
或
或
一,向量的概念
6.自由向量,不考虑起点位置的向量,
7.相等向量,大小相等且方向相同的向量,
8.负向量,大小相等但方向相反的向量, a??
9.向径：
a? b?
a?? a?
空间直角坐标系中任一点 与原点
构成的向量, OM
M
bababa ??? 方向相同且与相等.1
方向相同或相反与平行,baba ?//.2
2.3
?的夹角为与垂直,baba ??
称为互为相反的向量与相反,aa ?.4
二,两个向量的关系
1,加法,cba ??? ??
a?
b? c?
（平行四边形法则）
特殊地：若 a?‖ b?
a? b
? c? |||||| bac ??? ??分为同向和反向
b?
a?
c?
|||||| bac ??? ??
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
三,向量的加减法
（ 1）交换律,.abba ???? ???
（ 2）结合律,cbacba ?????? ????? )( ).( cba ??? ???
（ 3）,0)( ??? ??? aa
[2] 减法 )( baba ???? ???? a?b
?
b?? b??c?
ba
bac
??
???
??
??? )(ba
???
ba ???a?
b?
1,向量的加法符合下列运算规律：
1,设 ? 是一个数，向量 a? 与 ? 的乘积 a?? 规定为
,0)1( ?? a?? 与 a? 同向,|||| aa ?? ?? ?
,0)2( ?? 0?? ?a?
,0)3( ?? a?? 与 a? 反向,|||||| aa ?? ?? ??
a? a?2 a?
2
1?
四,向量与数的乘法
（ 1）结合律,)()( aa ?? ???? ? a?)(???
（ 2）分配律,aaa ??? ???? ??? )(
baba ???? ??? ??? )(
.
0
ab
aba
??
???
?? ?
?
，使一的实数分必要条件是：存在唯
的充平行于，那末向量设向量
2,数与向量的乘积符合下列运算规律：
3,两个向量的平行关系
定理
证 充分性 显然；
必要性 a?‖b?设,a
b
?
?
??取
取正值，同向时与当 ?ab ??
取负值，反向时与当 ?ab ??,ab ?? ??即有
.同向与此时 ab ??? ?aa ?? ?? ?且 aa
b ?
?
?
?,b??
.的唯一性?,设 ab ?? ??,又设 ab ?? ??
两式相减，得,0)( ?? ?? a??,即 0?? a???
，0?a??,故 0?? ??,?? ?即
同方向的单位向量，表示与非零向量设 aa ?? 0.4
按照向量与数的乘积的规定，
0|| aaa ??? ?,|| 0aa
a ??? ?
一个非零向量除以它的模的结果是一个与
原向量同方向的单位向量,
上式表明：
例 1 化简 ??
??
?
? ?????
5
3
2
15 abbba ?
???
?
解 ??
??
?
? ?????
5
3
2
15 abbba ?
???
?
ba ?? ?????? ??????? 551251)31(
.252 ba ?? ???
例 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形,
证 AM MC?
BM MD?
AD ? AM ? MD MC? ? BM BC?
AD 与 平行且相等,BC 结论得证,
?
?
A B
CD
M a
?b?
rcbacba 表示对角线用如图
三个棱为已知一个平行六面体的例
,,.,,,
.3
解,
a
b
c r
cbadcr ?????则
,d引入辅助向量
d
,,,.4 cba向量为已知立方体的三个边的例
求证为各边的中点,,,,,,FEDCBA
.,,组成一个三角形EFCDAB
A
B
C
D
E
F
a
b
c
解,
22
baAB ??
22
acCD ??
22
bcEF ???
.0 它们构成一个三角形????? EFCDAB
向量的概念 （注意与标量的区别）
向量的加减法 （平行四边形法则）
向量与数的乘法 （注意数乘后的方向）
小 结
已知平行四边形 ABCD的对角线
AC,a?? BD b??
试用 ba ??,表示平行四边形四边上对应的向量,
思
考
题
BC AD? ? AM ? MD ).(21 ba ?? ??
DC ? AB ? AM ? MB ).(21 ba
?? ??
A B
CD
M a
?b?
思考题解答
向量与数乘法
向量的概念
向量的加减法
向量与数乘法的概念
1.向量,既有大小又有方向的量,
2.向量表示：
以 1M 为起点,2M 为终点的有向线段,
1M
2M
?
?
a? 21MM
模长为 1的向量, 21MM 00a
5.零向量,模长为 0的向量, 0?
||a? 21MM| |3.向量的模,向量的大小,
4.单位向量,或
或
或
一,向量的概念
6.自由向量,不考虑起点位置的向量,
7.相等向量,大小相等且方向相同的向量,
8.负向量,大小相等但方向相反的向量, a??
9.向径：
a? b?
a?? a?
空间直角坐标系中任一点 与原点
构成的向量, OM
M
bababa ??? 方向相同且与相等.1
方向相同或相反与平行,baba ?//.2
2.3
?的夹角为与垂直,baba ??
称为互为相反的向量与相反,aa ?.4
二,两个向量的关系
1,加法,cba ??? ??
a?
b? c?
（平行四边形法则）
特殊地：若 a?‖ b?
a? b
? c? |||||| bac ??? ??分为同向和反向
b?
a?
c?
|||||| bac ??? ??
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
三,向量的加减法
（ 1）交换律,.abba ???? ???
（ 2）结合律,cbacba ?????? ????? )( ).( cba ??? ???
（ 3）,0)( ??? ??? aa
[2] 减法 )( baba ???? ???? a?b
?
b?? b??c?
ba
bac
??
???
??
??? )(ba
???
ba ???a?
b?
1,向量的加法符合下列运算规律：
1,设 ? 是一个数，向量 a? 与 ? 的乘积 a?? 规定为
,0)1( ?? a?? 与 a? 同向,|||| aa ?? ?? ?
,0)2( ?? 0?? ?a?
,0)3( ?? a?? 与 a? 反向,|||||| aa ?? ?? ??
a? a?2 a?
2
1?
四,向量与数的乘法
（ 1）结合律,)()( aa ?? ???? ? a?)(???
（ 2）分配律,aaa ??? ???? ??? )(
baba ???? ??? ??? )(
.
0
ab
aba
??
???
?? ?
?
，使一的实数分必要条件是：存在唯
的充平行于，那末向量设向量
2,数与向量的乘积符合下列运算规律：
3,两个向量的平行关系
定理
证 充分性 显然；
必要性 a?‖b?设,a
b
?
?
??取
取正值，同向时与当 ?ab ??
取负值，反向时与当 ?ab ??,ab ?? ??即有
.同向与此时 ab ??? ?aa ?? ?? ?且 aa
b ?
?
?
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.的唯一性?,设 ab ?? ??,又设 ab ?? ??
两式相减，得,0)( ?? ?? a??,即 0?? a???
，0?a??,故 0?? ??,?? ?即
同方向的单位向量，表示与非零向量设 aa ?? 0.4
按照向量与数的乘积的规定，
0|| aaa ??? ?,|| 0aa
a ??? ?
一个非零向量除以它的模的结果是一个与
原向量同方向的单位向量,
上式表明：
例 1 化简 ??
??
?
? ?????
5
3
2
15 abbba ?
???
?
解 ??
??
?
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5
3
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15 abbba ?
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?
ba ?? ?????? ??????? 551251)31(
.252 ba ?? ???
例 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形,
证 AM MC?
BM MD?
AD ? AM ? MD MC? ? BM BC?
AD 与 平行且相等,BC 结论得证,
?
?
A B
CD
M a
?b?
rcbacba 表示对角线用如图
三个棱为已知一个平行六面体的例
,,.,,,
.3
解,
a
b
c r
cbadcr ?????则
,d引入辅助向量
d
,,,.4 cba向量为已知立方体的三个边的例
求证为各边的中点,,,,,,FEDCBA
.,,组成一个三角形EFCDAB
A
B
C
D
E
F
a
b
c
解,
22
baAB ??
22
acCD ??
22
bcEF ???
.0 它们构成一个三角形????? EFCDAB
向量的概念 （注意与标量的区别）
向量的加减法 （平行四边形法则）
向量与数的乘法 （注意数乘后的方向）
小 结
已知平行四边形 ABCD的对角线
AC,a?? BD b??
试用 ba ??,表示平行四边形四边上对应的向量,
思
考
题
BC AD? ? AM ? MD ).(21 ba ?? ??
DC ? AB ? AM ? MB ).(21 ba
?? ??
A B
CD
M a
?b?
思考题解答
