第五节 对坐标的曲面积分
双侧曲面的概念
两类曲面积分之间的联系
对坐标的曲面积分的概念与性质
对坐标的曲面积分的计算
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
一,双侧曲面的概念
n?
曲面的分类, 1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典
型
双
侧
曲
面
莫比乌斯带典型 单侧曲面,
播放
曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,
面在 xoyS?,
在有向曲面 Σ 上取一小块
.
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
?
?
?
?
?
?
???
??
??
时当
时当
时当
?
??
??
xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy??
为上的投影 xyS )( ?曲面 S?
流向曲面一侧的流量,
( 1 ) 流速场为 常向量 v?,有向 平面区域 S,求单
位时间流过 S 的流体的质量 ? ( 假定 密度为 1 ),
A
v?
0n?
?
Sv
nSvnvS
nvS
vS
??
????
?
??
?
????
?
)(
c os
c os
00
0
?
?
流量
实例
二,对坐标的曲面积分的概念
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
???
?
),,(),,(),,(),,( ???
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位
时间内流向 Σ 指定侧的流
体的质量 ?,
x
y
z
o
?
x
y
z
o
? ?
iS? ),,( iii ???
iv
?
in?
把曲面 Σ 分成 n 小块 is? ( is? 同时也代表
第 i 小块曲面的面积 ),
1,分割
在 上任取一点is?
),,( iii ???
2,近似代替
iv?则该点流速为 in?法向量为,
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii ???? ??? c o sc o sc o s0 ???,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,,( niSvSnv iiii ?210 ???? ??
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii ???
?
?????????
???
???
?
3,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量
?
?
??
n
i
ii Snv
1
0 ??
?
?
??
n
i
ii Snv
1
0 ??
iiii
iiiiii
n
i
iii
S
RQP
????
?????????
}c o s,c o s,{ c o s
)},,(),,,(,),,({ ?? ?
? 1
}c o s,c o s,{ c o s
)},,(),,,(,),,({
iiiiii
iiiiii
n
i
iii
SSS
RQP
??????
????????? ?? ?
? 1
}c o s,c o s,{ c o s
)},,(),,,(,),,({
iiiiii
iiiiii
n
i
iii
SSS
RQP
??????
????????? ?? ?
? 1
4.取极限 0??,的精确值取极限得到流量 ?
?
???
??
n
i
ii Snv
1
0
0
??
?
lim
记作：
??
?
? dSnv 0 ????
??
n
i
ii Snv
1
0
0
?
?
lim
定义 设 Σ为光滑的有向曲面,
)},,(),,,(),,,({),,( zyxRzyxQzyxPzyxF ?
向量函数
其中
在 Σ上有界,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
把 Σ分成 i 块小曲面 ( 同时又表
示第 i 块小曲面的面积 ),
iS? iS?
三, 对坐标的曲面积分的定义及性质
在三个坐标面上的投影分别为,iS?
iixy
iizx
iiyz
SS
SS
SS
???
???
???
c o s)(
,c o s)(
,c o s)(
?
?
?
是 上任意取定的一点,),,( iii ??? iS?
如果当小块曲面的直径的最大值 时，极限0??
xyiiiizxiiii
n
i
yziiii SRSQSP ))(,,())(,,())(,,([lim ????????????? ???
?? 10
处的单位法向量为,),,( iii ???
}c o s,c o s,{ c o s iiin ????0
在有向曲面 Σ 上 对坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二
类曲面积分 )
存在,则称此极限为函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
记作
??
?
?? dxdyzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,(
或
??
?
? dSnF 0
即：
??
?
??? dxdyzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,(
xyiiiizxiiii
n
i
yziiii SRSQSP ))(,,())(,,())(,,([l i m ????????????? ??? ?
?? 10
??
?
? dSnF 0
被积函数积分曲面
??
?
?? dSnF 0
??
?
?? dSv
dSRQP??
?
?? }c o s,c o s,{ c o s},,{ ???
??
?
?? }c o s,c o s,{ c o s},,{ dSdSdSRQP ???
??
?
?? },,{},,{ d x d yd z d xd y d zRQP
??
?
??? R d x d yQ d z d xP d y d z
},,{ d x d yd z d xd y d zdS ?
??
?
??? dSRQP }c o sc o sc o s{ ???
其
他
形
式
：
?
???
??
n
i
ii SnF
1
0
0
l i m
?
变 形
其中
) },,,(),,,(),,,({),,( zyxRzyxQzyxPzyxF ?
}c o s,c o s,{ c o s ????
0
n
为有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ d x d yd z d xd y d zdSndS ??
0
称为 有 向曲面元,
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
?
被积函数积分曲面
类似可定义 ???
???
??
n
i
yziiii SPd y d zzyxP
10
))(,,(lim),,( ???
?
???
???
??
n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,( ???
?
特别地：
存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲
面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ????
?
物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ???? ??
?
性质,
????
??
??
???
??????
??
21
21
.1
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d z可加性
????
????
????
???
???
???
??
??
??
dxdyzyxRdxdyzyxR
d z d xzyxQd z d xzyxQ
d y d zzyxPd y d zzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(.2 有向性
设积分曲面 Σ 是由
方程 ),( yxzz ? 所给
出的曲面上侧,Σ 在
xoy 面上的投影区域
为
xy
D,函数
),( yxzz ? 在
xy
D 上具
有一阶连续偏导数,
? ),( yxfz ?
xyD
x
y
z
o
xys)(?
被积函数 在 Σ上连续, ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
四、对坐标的曲面积分的计算法
??
?
??? R d x d yQ d z d xP d y d zI ??
?
?? dSnA 0??
dS
ff
ffRQP
yx
yx??
? ??
????
22 )'()'(1
}1,','{},,{
向量点积法 ? ?
,1,,),,(,yx ffyxfz ?????? 法向量为设情形 1
dxdyff
ff
ffRQP
yx
D yx
yx
xy
22
22
)'()'(1
)'()'(1
}1,','{},,{ ??
??
???? ??
dxdyffRQP yx
D xy
}1,,{},,{ ?????? ??
.}1,,{},,{ d x d yffRQPxoy yx
D xy
?????? ??面投影在将
??
?
??? R d x d yQ d z d xP d y d zI ??? ?? dSnA 0??
dS
ff
ffRQP
zx
zx??
? ??
????
22 )'()'(1
}',1,'{},,{
向量点积法
? ?,,1,),,(,zx ffxzfy ?????? 法向量为设情形 2
d z d xff
ff
ffRQP
zx
D zx
zx
xy
22
22
)'()'(1
)'()'(1
}',1,'{},,{ ??
??
???? ??
d z d xffRQP zx
D zx
},1,{},,{ ?????? ??
.},1,{},,{ d z d xffRQPz o x zx
D zx
?????? ??面投影在将
??
?
??? R d x d yQ d z d xP d y d zI ??
?
?? dSnA 0??
dS
ff
ffRQP
zy
zy??
? ??
????
22 )'()'(1
}',',1{},,{
向量点积法
? ?,,,1),,(,zy ffzyfx ?????? 法向量为设情形 3
d y d zff
ff
ffRQP
zz
D zy
zy
yz
22
22
)'()'(1
)'()'(1
}',',1{},,{ ??
??
???? ??
d y d zffRQP zy
D yz
},,1{},,{ ?????? ??
.},,1{},,{ d y d zffRQPz o x zy
D yz
?????? ??面投影在将
．在第四卦限部分的上侧为平面
为连续函数其中
计算
1
,),,(,]),,([
]),,(2[]),,([
????
??
???? ??
?
zyx
zyxfdxdyzzyxf
d z d xyzyxfd y d zxzyxfI
例 1
x
yo
z 1
11?
?
解 利用 向量点积法
},1,1,1{ ??? n?? 的法向量为
yxz ??? 1
d x d y
zzyxfyzyxfxzyxfI
xyD
}1,1,1{
]}),,([],),,(2[,]),,({[
?
????? ??
?? ???
xyD
dxdyzyx )( ???
xyD
d x d y1
.21?
dxdyzzyxfyzyxfxzyxf
xyD
]}),,([]),,(2[]),,({[ ?????? ??
代入被积函数将 yxz ??? 1
1?
所截部分的外侧．被平面锥面
为其中计算
2,1
,
22
2
????
???? ??
?
zzyxz
dxdyzx d z d xy d y d zI
例 2
解
,
,
22
22
yx
y
f
yx
x
f
y
x
?
??
?
???
D
?
利用 向量点积法
?? ???? ? 21 220 r d rrd,215 ???
???
xyD
d x d yyxz ),(2
?? ???
xyD
dxdyyx )( 22
? ? dxdy
yx
y
yx
xyxzxyI
xyD
?? ?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???? 1,,),(,,
2222
2
]41:[ 22 ??? yxD xy
特殊情形 第二型曲面积分只有一部分
???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
???? ??
? yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(（ 2） 则有给出由如果,),( zyxx ??
（ 1） 则有给出由如果,),( yxzz ??
（ 3） 则有给出由如果,),( xzyy ?? ???? ??
? zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
例 3 计算 ??
?
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
??? zyx 外侧
在 0,0 ?? yx 的部分,
解 两部分和分成把 21 ???;1,2211 yxz ?????
,1,2222 yxz ????
x
y
z
2?
?
1? ?
??????
???
??
12
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
???? ???????
xyxy DD
dxdyyxxydxdyyxxy )1(1 2222
?? ???
xyD
d x d yyxxy 2212
.1521c o ss i n2 22?? ???
xyD
r d r drr ???
习题选讲
习题选讲
习题选讲
习题选讲
习题选讲
习题选讲
设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 给出,Σ 在
xoy 面上的投影区域为
xy
D,函数 ),( yxzz ? 在
xy
D
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
对坐标的曲面积分为
??
??
??
?
xyD
d x d yyxzyxR
d x d yzyxR
)],(,,[
),,(
xyD
),( yxfz ?
?
x
y
z
o
dsn?
五, 两类曲面积分之间的联系
曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
1
1
c o s
,
1
c o s
,
1
c o s
22
22
22
yx
yx
y
yx
x
zz
zz
z
zz
z
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
对面积的曲面积分为
???? ??
? xyD
dxdyyxzyxRdSzyxR )],(,,[co s),,( ?所以 dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ????
??
?
( 注意取曲面的两侧均成立 )
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
两类曲面积分之间的联系
例 4 计算 z d xd ydy dzxz ????
?
)(
2
,其中 Σ 是
旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz ?? 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解 ??
?
? d y d zxz )( 2
有上在曲面,?
?
??
?
?? dsxz ?co s)( 2
??
?
?? dxdyxz ??co sco s)( 2
??
??
?
?
????
???
d x d yzxxz
z d x d yd y d zxz
]))([(
)(
2
2
?? ????????
xyD
d x d yyxxxyx )}(21)(])(41{[ 2222
?? ???
xyD
dxdyyxx )](21[ 222
?? ???? ? 20 22220 )21co s( r d rrrd
.
1
1c o s,
1
c o s 2222
yxyx
x
??
??
??
? ??
.8??
小 结
第二型曲面积分的概念
第二型曲面积分的计算方法
曲面的侧
两类曲面积分的关系
设 ? 为球面 1
222
??? zyx,若以其
球面的外侧为正侧，试问
22
1 zxy ???
之左侧 （即 oy 轴与其法线成钝角的一侧）
是正侧吗？那么
22
1 zxy ???? 的左侧
是正侧吗？
思
考
题
此时 的左侧为 负 侧,221 zxy ???
而 的左侧为 正 侧, 221 zxy ????
思考题解答
双侧曲面的概念
两类曲面积分之间的联系
对坐标的曲面积分的概念与性质
对坐标的曲面积分的计算
观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的 )
曲面分 上 侧和 下 侧 曲面分 内 侧和 外 侧
一,双侧曲面的概念
n?
曲面的分类, 1.双侧曲面 ; 2.单侧曲面,
典
型
双
侧
曲
面
莫比乌斯带典型 单侧曲面,
播放
曲面法 向量的指向 决定曲面的 侧,
决定了侧的曲面称为 有向曲面,
曲面的投影问题,
面在 xoyS?,
在有向曲面 Σ 上取一小块
.
0c o s0
0c o s)(
0c o s)(
)(
?
?
?
?
?
?
???
??
??
时当
时当
时当
?
??
??
xy
xy
xyS
.)( 表示投影区域的面积其中 xy??
为上的投影 xyS )( ?曲面 S?
流向曲面一侧的流量,
( 1 ) 流速场为 常向量 v?,有向 平面区域 S,求单
位时间流过 S 的流体的质量 ? ( 假定 密度为 1 ),
A
v?
0n?
?
Sv
nSvnvS
nvS
vS
??
????
?
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?
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)(
c os
c os
00
0
?
?
流量
实例
二,对坐标的曲面积分的概念
(2) 设稳定流动的不可压缩流体 ( 假定密度为 1)
的速度场由
kzyxRjzyxQizyxPzyxv
???
?
),,(),,(),,(),,( ???
给出,Σ 是速度场中的一片有向曲面,函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
都在 Σ 上连续,求在单位
时间内流向 Σ 指定侧的流
体的质量 ?,
x
y
z
o
?
x
y
z
o
? ?
iS? ),,( iii ???
iv
?
in?
把曲面 Σ 分成 n 小块 is? ( is? 同时也代表
第 i 小块曲面的面积 ),
1,分割
在 上任取一点is?
),,( iii ???
2,近似代替
iv?则该点流速为 in?法向量为,
该点处曲面 Σ 的单位法向量
kjin iiii ???? ??? c o sc o sc o s0 ???,
通过 is? 流向指定侧的流量的近似值为
).,,,( niSvSnv iiii ?210 ???? ??
,),,(),,(),,(
),,(
kRjQiP
vv
iiiiiiiii
iiii ???
?
?????????
???
???
?
3,求和 通过 Σ 流向指定侧的流量
?
?
??
n
i
ii Snv
1
0 ??
?
?
??
n
i
ii Snv
1
0 ??
iiii
iiiiii
n
i
iii
S
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}c o s,c o s,{ c o s
)},,(),,,(,),,({ ?? ?
? 1
}c o s,c o s,{ c o s
)},,(),,,(,),,({
iiiiii
iiiiii
n
i
iii
SSS
RQP
??????
????????? ?? ?
? 1
}c o s,c o s,{ c o s
)},,(),,,(,),,({
iiiiii
iiiiii
n
i
iii
SSS
RQP
??????
????????? ?? ?
? 1
4.取极限 0??,的精确值取极限得到流量 ?
?
???
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n
i
ii Snv
1
0
0
??
?
lim
记作：
??
?
? dSnv 0 ????
??
n
i
ii Snv
1
0
0
?
?
lim
定义 设 Σ为光滑的有向曲面,
)},,(),,,(),,,({),,( zyxRzyxQzyxPzyxF ?
向量函数
其中
在 Σ上有界,
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
把 Σ分成 i 块小曲面 ( 同时又表
示第 i 块小曲面的面积 ),
iS? iS?
三, 对坐标的曲面积分的定义及性质
在三个坐标面上的投影分别为,iS?
iixy
iizx
iiyz
SS
SS
SS
???
???
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c o s)(
,c o s)(
,c o s)(
?
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?
是 上任意取定的一点,),,( iii ??? iS?
如果当小块曲面的直径的最大值 时，极限0??
xyiiiizxiiii
n
i
yziiii SRSQSP ))(,,())(,,())(,,([lim ????????????? ???
?? 10
处的单位法向量为,),,( iii ???
}c o s,c o s,{ c o s iiin ????0
在有向曲面 Σ 上 对坐标 yx,的曲面积分 ( 也称 第二
类曲面积分 )
存在,则称此极限为函数
),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
记作
??
?
?? dxdyzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,(
或
??
?
? dSnF 0
即：
??
?
??? dxdyzyxRd z d xzyxQd y d zzyxP ),,(),,(),,(
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?? 10
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?
? dSnF 0
被积函数积分曲面
??
?
?? dSnF 0
??
?
?? dSv
dSRQP??
?
?? }c o s,c o s,{ c o s},,{ ???
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?? }c o s,c o s,{ c o s},,{ dSdSdSRQP ???
??
?
?? },,{},,{ d x d yd z d xd y d zRQP
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??? R d x d yQ d z d xP d y d z
},,{ d x d yd z d xd y d zdS ?
??
?
??? dSRQP }c o sc o sc o s{ ???
其
他
形
式
：
?
???
??
n
i
ii SnF
1
0
0
l i m
?
变 形
其中
) },,,(),,,(),,,({),,( zyxRzyxQzyxPzyxF ?
}c o s,c o s,{ c o s ????
0
n
为有向曲面 Σ 上点 ),,( zyx 处的单位法向量,
},,{ d x d yd z d xd y d zdSndS ??
0
称为 有 向曲面元,
???
???
??
n
i
xyiiii SRd x d yzyxR
10
))(,,(lim),,( ???
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被积函数积分曲面
类似可定义 ???
???
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10
))(,,(lim),,( ???
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???
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n
i
zxiiii SQd z d xzyxQ
10
))(,,(lim),,( ???
?
特别地：
存在条件,
当 ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP 在有向光滑曲
面 Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在,
组合形式,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ????
?
物理意义,
d x d yzyxRd z d xzyxQd yd zzyxP ),,(),,(),,( ???? ??
?
性质,
????
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??
???
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21
21
.1
R d x d yQ d z d xP d y d zR d x d yQ d z d xP d y d z
R d x d yQ d z d xP d y d z可加性
????
????
????
???
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???
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??
dxdyzyxRdxdyzyxR
d z d xzyxQd z d xzyxQ
d y d zzyxPd y d zzyxP
),,(),,(
),,(),,(
),,(),,(.2 有向性
设积分曲面 Σ 是由
方程 ),( yxzz ? 所给
出的曲面上侧,Σ 在
xoy 面上的投影区域
为
xy
D,函数
),( yxzz ? 在
xy
D 上具
有一阶连续偏导数,
? ),( yxfz ?
xyD
x
y
z
o
xys)(?
被积函数 在 Σ上连续, ),,(),,,(),,,( zyxRzyxQzyxP
四、对坐标的曲面积分的计算法
??
?
??? R d x d yQ d z d xP d y d zI ??
?
?? dSnA 0??
dS
ff
ffRQP
yx
yx??
? ??
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22 )'()'(1
}1,','{},,{
向量点积法 ? ?
,1,,),,(,yx ffyxfz ?????? 法向量为设情形 1
dxdyff
ff
ffRQP
yx
D yx
yx
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22
22
)'()'(1
)'()'(1
}1,','{},,{ ??
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dxdyffRQP yx
D xy
}1,,{},,{ ?????? ??
.}1,,{},,{ d x d yffRQPxoy yx
D xy
?????? ??面投影在将
??
?
??? R d x d yQ d z d xP d y d zI ??? ?? dSnA 0??
dS
ff
ffRQP
zx
zx??
? ??
????
22 )'()'(1
}',1,'{},,{
向量点积法
? ?,,1,),,(,zx ffxzfy ?????? 法向量为设情形 2
d z d xff
ff
ffRQP
zx
D zx
zx
xy
22
22
)'()'(1
)'()'(1
}',1,'{},,{ ??
??
???? ??
d z d xffRQP zx
D zx
},1,{},,{ ?????? ??
.},1,{},,{ d z d xffRQPz o x zx
D zx
?????? ??面投影在将
??
?
??? R d x d yQ d z d xP d y d zI ??
?
?? dSnA 0??
dS
ff
ffRQP
zy
zy??
? ??
????
22 )'()'(1
}',',1{},,{
向量点积法
? ?,,,1),,(,zy ffzyfx ?????? 法向量为设情形 3
d y d zff
ff
ffRQP
zz
D zy
zy
yz
22
22
)'()'(1
)'()'(1
}',',1{},,{ ??
??
???? ??
d y d zffRQP zy
D yz
},,1{},,{ ?????? ??
.},,1{},,{ d y d zffRQPz o x zy
D yz
?????? ??面投影在将
．在第四卦限部分的上侧为平面
为连续函数其中
计算
1
,),,(,]),,([
]),,(2[]),,([
????
??
???? ??
?
zyx
zyxfdxdyzzyxf
d z d xyzyxfd y d zxzyxfI
例 1
x
yo
z 1
11?
?
解 利用 向量点积法
},1,1,1{ ??? n?? 的法向量为
yxz ??? 1
d x d y
zzyxfyzyxfxzyxfI
xyD
}1,1,1{
]}),,([],),,(2[,]),,({[
?
????? ??
?? ???
xyD
dxdyzyx )( ???
xyD
d x d y1
.21?
dxdyzzyxfyzyxfxzyxf
xyD
]}),,([]),,(2[]),,({[ ?????? ??
代入被积函数将 yxz ??? 1
1?
所截部分的外侧．被平面锥面
为其中计算
2,1
,
22
2
????
???? ??
?
zzyxz
dxdyzx d z d xy d y d zI
例 2
解
,
,
22
22
yx
y
f
yx
x
f
y
x
?
??
?
???
D
?
利用 向量点积法
?? ???? ? 21 220 r d rrd,215 ???
???
xyD
d x d yyxz ),(2
?? ???
xyD
dxdyyx )( 22
? ? dxdy
yx
y
yx
xyxzxyI
xyD
?? ?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???? 1,,),(,,
2222
2
]41:[ 22 ??? yxD xy
特殊情形 第二型曲面积分只有一部分
???? ??
? xyD
d x d yyxzyxRd x d yzyxR )],(,,[),,(
???? ??
? yzD
d yd zzyzyxPd yd zzyxP ],),,([),,(（ 2） 则有给出由如果,),( zyxx ??
（ 1） 则有给出由如果,),( yxzz ??
（ 3） 则有给出由如果,),( xzyy ?? ???? ??
? zxD
d z d xzxzyxQd z d xzyxQ ]),,(,[),,(
注意,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,
例 3 计算 ??
?
x y z d x d y
其中 Σ 是球面
1
222
??? zyx 外侧
在 0,0 ?? yx 的部分,
解 两部分和分成把 21 ???;1,2211 yxz ?????
,1,2222 yxz ????
x
y
z
2?
?
1? ?
??????
???
??
12
x y z d x d yx y z d x d yx y z d x d y
???? ???????
xyxy DD
dxdyyxxydxdyyxxy )1(1 2222
?? ???
xyD
d x d yyxxy 2212
.1521c o ss i n2 22?? ???
xyD
r d r drr ???
习题选讲
习题选讲
习题选讲
习题选讲
习题选讲
习题选讲
设有向曲面 Σ 是由方程 ),( yxzz ? 给出,Σ 在
xoy 面上的投影区域为
xy
D,函数 ),( yxzz ? 在
xy
D
上具有一阶连续偏导数,),,( zyxR 在 Σ 上连续,
对坐标的曲面积分为
??
??
??
?
xyD
d x d yyxzyxR
d x d yzyxR
)],(,,[
),,(
xyD
),( yxfz ?
?
x
y
z
o
dsn?
五, 两类曲面积分之间的联系
曲面 Σ 的法向量的方向余弦为
.
1
1
c o s
,
1
c o s
,
1
c o s
22
22
22
yx
yx
y
yx
x
zz
zz
z
zz
z
??
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
对面积的曲面积分为
???? ??
? xyD
dxdyyxzyxRdSzyxR )],(,,[co s),,( ?所以 dSzyxRd x d yzyxR ?c o s),,(),,( ????
??
?
( 注意取曲面的两侧均成立 )
dSRQP
d x d yRQd z d xPd y d z
)c o sc o sc o s( ?????
??
?
?
???
??
两类曲面积分之间的联系
例 4 计算 z d xd ydy dzxz ????
?
)(
2
,其中 Σ 是
旋转抛物面 )(
2
1
22
yxz ?? 介于平面 0?z 及
2?z 之间的部分的下侧,
解 ??
?
? d y d zxz )( 2
有上在曲面,?
?
??
?
?? dsxz ?co s)( 2
??
?
?? dxdyxz ??co sco s)( 2
??
??
?
?
????
???
d x d yzxxz
z d x d yd y d zxz
]))([(
)(
2
2
?? ????????
xyD
d x d yyxxxyx )}(21)(])(41{[ 2222
?? ???
xyD
dxdyyxx )](21[ 222
?? ???? ? 20 22220 )21co s( r d rrrd
.
1
1c o s,
1
c o s 2222
yxyx
x
??
??
??
? ??
.8??
小 结
第二型曲面积分的概念
第二型曲面积分的计算方法
曲面的侧
两类曲面积分的关系
设 ? 为球面 1
222
??? zyx,若以其
球面的外侧为正侧，试问
22
1 zxy ???
之左侧 （即 oy 轴与其法线成钝角的一侧）
是正侧吗？那么
22
1 zxy ???? 的左侧
是正侧吗？
思
考
题
此时 的左侧为 负 侧,221 zxy ???
而 的左侧为 正 侧, 221 zxy ????
思考题解答
