第七节 正弦级数和余弦级数
奇函数和偶函数的傅立叶级数
小结
函数展开成正弦级数或余弦级数
(1) 当周期为 ?2 的奇函数 )( xf 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
),2,1(s i n)(
2
),2,1,0(0
0
?
?
?
?
?
??
?
?
nn x d xxfb
na
n
n
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦
项,又含有余弦项,但是,也有一些函数的傅里叶级
数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项,
定 理
一,奇函数和偶函数的傅立叶级数
(2) 当周期为 ?2 的偶函数 )( xf 展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
),2,1(0
),2,1,0(co s)(
2
0
?
?
??
?
?
? ?
?
nb
nn x d xxfa
n
n
证明,)()1( 是奇函数设 xf
??? ? ?? nx d xxfa n co s)(1 0? ),3,2,1,0( ??n
奇函数
??? ?0 s i n)(2 nx d xxf
),3,2,1( ??n
同理可证 (2)
如果 )( xf 为奇函数,傅氏级数 nxb
n
n s i n
1
?
?
?
称为 正弦级数, 如果 )( xf 为偶函数,傅氏级数 nxa
a
n
n c o s
2 1
0 ??
?
?
称为 余弦级数,
??? ? ?? nx d xxfb n s i n)(1
偶函数
定理证毕,
定义
设 )( xf 是周期为 ?2 的周期函数,它在 ),[ ??? 上
的表达式为 xxf ?)(,将 )( xf 展开成傅氏级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
,),2,1,0()12( 处不连续在点 ??????? kkx
2
)0()0( ?????? ff收敛于
2
)( ?????,0?
),())12(( xfkxx 处收敛于在连续点 ???
例 1
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?
??? ?2??2??3 ?3 x
y
0
,2)()12( 为周期的奇函数是以时 ???? xfkx?
和
函
数
图
象
),2,1,0(,0 ???? na n
??? ?0 s i n)(2 nx d xxfb n ??? ?0 s i n2 nx d xx
???
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s i nco s[2
n
nx
n
nxx
??? nn co s2,)1(2 1??? nn ),2,1( ??n
)3s i n312s i n21( s i n2)( ????? xxxxf
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n
n
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),3,;( ???????????? xx
)5s i n514s i n413s i n312s i n21( s i n2 xxxxxy ?????
xy?
观
察
两
函
数
图
形
将周期函数 tEtu s in)( ? 展开成傅氏级数,其中
E 是正常数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个
数轴上连续,
,)( 为偶函数tu?
,0?? nb
?? ?? 00 )(2 dttua
t
)(tu
0 ? ?2????2
E
??? ?0 s i n2 td tE,4?E?
),2,1( ??n
例 2
??? ?0 co s)(2 nt d ttua n ??? ?0 co ss i n2 nt d ttE
? ???? ?? 0 ])1s i n()1[s i n( dttntnE
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tn
n
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)6c o s3514c o s15 12c o s3121(4)( ?????? tttEtu ?
)( ?????? x
].14 2co s21[2
1
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n n
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).(
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xF
xf
函数
为周期的延拓成以上定义在设 ??
,0)( 0)()(
??
?
????
????
xxg
xxfxF令 ),()2( xFxF ?? ?且
则有如下两种情况,??
?
偶延拓
奇延拓
1、非周期函数的周期性延拓
二、函数展开成正、余弦级数
)()( xfxg ???
??
?
?
?
??????
?
???
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0)(
00
0)(
)(
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x
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xF则
x
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的傅氏正弦级数)( xf
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n n
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奇延拓,1
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axf )0( ??? x
x
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偶延拓,2
2.将延拓后的函数展开成正（余）弦级数
将函数 )0(1)( ????? xxxf 分别展开成正弦
级数和余弦级数,
解 (1)求正弦级数,
,)( 进行奇延拓对 xf
??? ?0 s i n)(2 nx d xxfb n ? ??? ?0 s i n)1(2 nx d xx
)co sco s1(2 ??????? nnn
?
?
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,6,4,2
2
,5,3,1
22
n
n
n
n
当
当
例 3
]3s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 ???????????? xxxx
)0( ??? x
1?? xy
]5s i n)2(514s i n43s i n)2(312s i n2s i n)2[(21 xxxxxx ???????????????
(2)求余弦级数,,)( 进行偶延拓对 xf
? ? ??? 00 )1(2 dxxa,2???
? ??? ?0 co s)1(2 nx d xxa n
)1(co s22 ???? nn ?
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,5,3,1
4
,6,4,20
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当
当
]5co s5 13co s3 1(c o s4121 22 ?????????? xxxx
)0( ??? x
1?? xy
)7c o s7 15c o s5 13c o s3 1( c o s4121 222 xxxxx ?????????
a.只有周期函数才能展成傅氏级数 ;;2,],0[,的傅氏级数唯一展成周期为上在 ??b
).(
,],[.
xf
c
级数处处收敛于
值点时上连续且只有有限个极在 ???
小 结
基本内容,
奇函数和偶函数的傅氏系数 ;正弦级数与余
弦级数 ;非周期函数的周期性延拓 ;
需澄清的几个问题,(误认为以下三情况正确 )
.
],[)()(,,
,],[)(
定义的函数
上成为才能使
应如何选择上定义的函数是在设
????? BAtftFBA
baxf
思
考
题
,,)( bBAaBA ???????应使
.2,2 abBabA ?????即
思考题解答
奇函数和偶函数的傅立叶级数
小结
函数展开成正弦级数或余弦级数
(1) 当周期为 ?2 的奇函数 )( xf 展开成傅里叶级数
时,它的傅里叶系数为
),2,1(s i n)(
2
),2,1,0(0
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一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦
项,又含有余弦项,但是,也有一些函数的傅里叶级
数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项,
定 理
一,奇函数和偶函数的傅立叶级数
(2) 当周期为 ?2 的偶函数 )( xf 展开成傅里叶级
数时,它的傅里叶系数为
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奇函数
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同理可证 (2)
如果 )( xf 为奇函数,傅氏级数 nxb
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称为 正弦级数, 如果 )( xf 为偶函数,傅氏级数 nxa
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称为 余弦级数,
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偶函数
定理证毕,
定义
设 )( xf 是周期为 ?2 的周期函数,它在 ),[ ??? 上
的表达式为 xxf ?)(,将 )( xf 展开成傅氏级数,
解 所给函数满足狄利克雷充分条件,
,),2,1,0()12( 处不连续在点 ??????? kkx
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)0()0( ?????? ff收敛于
2
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例 1
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1、非周期函数的周期性延拓
二、函数展开成正、余弦级数
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2.将延拓后的函数展开成正（余）弦级数
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解 (1)求正弦级数,
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小 结
基本内容,
奇函数和偶函数的傅氏系数 ;正弦级数与余
弦级数 ;非周期函数的周期性延拓 ;
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