对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
格林公式及其应用（ 2）
对面积的曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分
格林公式及其应用（ 1）
对坐标的曲面积分
高斯公式
斯托克斯公式
第一节 对弧长的曲线积分
问题的提出
几何意义和物理意义
对弧长曲线积分的概念
对弧长曲线积分的计算
曲线形构件的质量
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM
2M
1M
),( ii ?? L
.sM ?? ?匀质之质量
分割,,,,121 in sMMM ????
,),( iii s????取,),( iiii sM ???? ???
求和,),(
1
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???
n
i
iii sM ???
取极限,),(l i m
10
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???
n
i
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近似值
精确值
实例
一,问题的提出
,),(
,),(
,
),(,.
,,,.
),(,
1
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????
???
n
i
iii
iii
iii
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sf
sf
i
si
nLMMMLL
yxfxoyL
并作和
作乘积
点个小段上任意取定的一
为第又个小段的长度为设第个小段
分成把上的点用上有界在
函数面内一条光滑曲线弧为设
?
o x
y
A
B
1?nM
iM
1?iM2M1M
),( ii ?? L
1, 定义
二, 对弧长曲线积分的概念
.),(lim),(
,),(,
),(,
,0
1
0
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?
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?????
??
n
i
iii
L
L
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dsyxf
L
yxf
即记作线积分
第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧
则称此极限为函数这和的极限存在
时长度的最大值如果当各小弧段的
被积函数
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量,),(??
L dsyxM ?
.),(
,),(
存在对弧长的曲线积分
上连续时在光滑曲线弧当
? L dsyxf
Lyxf
曲线积分为
上对弧长的在空间曲线弧函数 ?),,( zyxf
.),,(lim),,(
10
i
n
i
iii sfdszyxf ??? ??
???
???
?
2,存在条件：
3,推广
)(,)(.1 21 LLLL ??? 是分段光滑的或若
.),(),(),(
2121 ???
??? LLLL dsyxfdsyxfdsyxf
.),(
),(.2
? L dsyxf
Lyxf
曲线积分记为
上对弧长的在闭曲线函数
注
意
.),(),()],(),([)1( ??? ??? LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf
).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkf LL ?? ?
.),(),(),()3(
21 ???
?? LLL dsyxfdsyxfdsyxf
).( 21 LLL ??
4,性质
)(
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)(
),(
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?? dtttttfdsyxf
tt
t
ty
tx
L
Lyxf
L
且上具有一阶连续导数在
其中的参数方程为
上有定义且连续在曲线弧设
定 理
三, 对弧长曲线积分的计算
.)(:)1( bxaxyL ??? ?
.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxf baL ?? ??? ??)( ba ?
特殊情形
.)(:)2( dycyxL ??? ?
.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxf dcL ?? ??? ??
)( dc ?
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)(
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??????
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推 广
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要用曲线方程化简被积函数 ),(.3 yxf;.2 ?? 一定要小于上限定积分的下限
.,,),( 而是相互有关的不彼此独立中 yxyxf
注
意
计算曲线积分要注意那些问题呢？
例 1 ).(,s i n
,c o s:,象限第椭圆求 ?
??
?
?
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tby
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L
解 dttbtatbtaI 222
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?
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?
??? ab duuba ab 222 )c o ss i n( 2222 tbtau ??令
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例 2
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,
2 一段到从其中
求
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L
解 dyyyI 22
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例 3
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的一段
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kz
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解
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例 4
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,
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为圆周其中
求
解 由对称性,知,222 ???
??? ?? dszdsydsx
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??? dsa3
2
.32
3a?
? ),2( 球面大圆周长?
??? dsa
,),()1( 的线密度时表示当 Lyx?;),(?? L dsyxM ?;,1),()2( ??? L dsLyxf 弧长时当
,),(
),()3(
处的高时柱面在点
上的表示立于当
yx
Lyxf
.),(?? L dsyxfS 柱面面积
s
L
),( yxfz ?
四、几何与物理意义
,)4( 轴的转动惯量轴及曲线弧对 yx
.,22 ?? ?? LyLx dsyIdsxI ??
曲线弧的重心坐标)5(
.,
?
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L
L
L
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曲线积分
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dxxfdsyxfL bay? ?? ?? ? )(),( 0当 y=0时
可见：定积分是曲线积分的特殊情形
曲线积分是定积分的推广
五、曲线积分与定积分的比较
对弧长曲线积分的概念
对弧长曲线积分的计算
对弧长曲线积分的应用
小 结
对弧长的曲线积分的定义中 的符号
可能为负吗？
iS?
思
考
题
iS? 的符号永远为正，它表示弧段的长度,
思考题解答
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对面积的曲面积分
第十章 曲线积分与曲面积分
格林公式及其应用（ 1）
对坐标的曲面积分
高斯公式
斯托克斯公式
第一节 对弧长的曲线积分
问题的提出
几何意义和物理意义
对弧长曲线积分的概念
对弧长曲线积分的计算
曲线形构件的质量
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二, 对弧长曲线积分的概念
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第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧
则称此极限为函数这和的极限存在
时长度的最大值如果当各小弧段的
被积函数
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积分和式
曲线形构件的质量,),(??
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存在对弧长的曲线积分
上连续时在光滑曲线弧当
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上对弧长的在闭曲线函数
注
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三, 对弧长曲线积分的计算
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曲线积分是定积分的推广
五、曲线积分与定积分的比较
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对弧长曲线积分的应用
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对弧长的曲线积分的定义中 的符号
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思考题解答
