第三节 格林公式及其应用（ 1）
准备知识
格林公式在积分学中的地位
格林公式
典型例题分析
设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所围
成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区域,
否则称为复连通区域,
复连通区域单连通区域
D
D
（ 1）区域连通性的分类
一、准备知识
积分区域为：,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??
其中函数, 在区间 上连续,)(1 x? )(2 x? ],[ ba
［ X－型］
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
X型区域的特点, 穿过区域且平行于 y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
特别地 —— 简单区域
积分区域为：,dyc ?? ).()( 21 yxy ?? ??
［ Y－型］
)(2 yx ??)(1 yx ?? Dc
d
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
其中函数, 在区间 上连续,)(y1? )(y2? ],[ dc
Y型区域的特点, 穿过区域且平行于 x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
设空间区域 G,如果 G内任一闭曲面所围成
的区域全属于 G,则称 G是空间二维单连通域 ;
如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于
G的曲面,则称 G为空间一维单连通区域,
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
（ 2）闭区域 D的边界 C的正向
连成与由 21 LLL 组成与由 21 LLL
边界曲线 L的正向, 当观察者沿边界行走时,区
域 D总在他的左边,
2L
D
1L
2L
1L
D
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有一阶连
续偏导数,则有
???
??
?
?
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxdy
y
P
x
Q
)( ( 1 )
其中
L
是
D
的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫做 格林公式,
定 理
二、格林公式
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD ????? ??
证明 (1)
若区域 D 既是 ?X 型
又是 ?Y 型,即平行于
坐标轴的直线和 L 至
多交于两点,
}),()(),{( 21 dycyxyyxD ????? ??
y
xo a b
D
c
d
)(1 xy ??
)(2 xy ??
A
B
C
E
)(2 yx ??
)(1 yx ??
dxxQdyd x d yxQ yydc
D
???? ????? )( )(21??
?? ?? dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12 ??
?? ?? CA ECB E dyyxQdyyxQ ),(),(
?? ?? E ACC BE dyyxQdyyxQ ),(),(
?? L dyyxQ ),(
同理可证 ??? ??
??
LD dxyxPdxdyy
P ),(
y
xo
d
)(2 yx ??
D
c C
E
)(1 yx ??
若区域 D 由按段光
滑的闭曲线围成, 如图,
证明 (2)
L1L
2L3L
D
1D
2D3D
两式相加得 ??? ???
??
?
?
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
将 D 分成三个既是 ?X 型又是
?Y 型的区域 1D,2D,3D,
????
?? ?
??
?
??
?
??
?
?
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
?????? ?????????????????
321
)()()(
DDD
d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ
??? ??? ?????? CALBCLABL Qd yP d xQd yP d xQd yP d x 321
? ?? L Q d yP d x
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
1D
2D3D
L1L
2L3LA B C
??? ?????? 321 LLL Qd yP d xQd yP d xQd yP d x
? ? ?? ????
BC AC CAAB
?
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲
线所围成, 添加直线段 AB,CE,
则 D 的边界曲线由 AB,
2
L,B A,
A F C,C E,3L,EC 及 C G A 构成,
由 (2)知 ?? ?
??
?
?
D
d x d yyPxQ )(
????? ????? CEAFCBALAB 2{ ??? ????? C G AECL QdyPdx )(}3
? ?? L Q d yP d x
? ? ? ???? 2 3 1 ))(( L L L Q d yP d x
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
便于记忆形式,
??? ???
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxdy
QP
yx,格林公式的实质, 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系,
Green公式建立了平面区域 D上的二重积分与沿
区域边界上的曲线积分之间的关系, 不仅如此,
Green公式还给出了通过二重积分计算第二型曲线积
分的方法，从而简化了相当一部分曲线积分。
例 1 计算 ?
???? c dyyxdxxyxI )()( 222
其中,.,,的正向边界是闭区域 1010 ???? yxDC
解
222 yxQxyxP ????
x
y
1
1
D
1c
2c
3c
4c ????? ????
4321 ccccc
由积分的可加性得：
三、典型例题分析
应用 Green公式时务必检查三点：
? ?? ??????c
D
d
y
P
x
Q ?)(
?? ??
D
d x d yxx )( 2
? ?? 10 10 dyxdx 21?
应用 Green公式的得：
（ 1）曲线 C 是闭曲线
（ 2）曲线 C 取正向
),(),,( yxQyxP（ 3） 在 D+C上具有连续的一阶偏导数
例 2 计算
? ????? c dyxyxxydxxyyxI )s i ns i n()c o sc o s( 822 22
其中：
.
,:
的边界正向所围成
是闭区域
2
2
yx
xyDC
?
?
（ 1,1）
D
（ 1）曲线 C 是闭曲线
（ 2）曲线 C 取正向
应用格林公式前先验证条件
xyxxyQxyyxP 822 22 ????? s i ns i nc o sc o s
82222 ????????? yxxyxQyxxyyP s i nc o ss i nc o s
可见 P和 Q在 D+C上具有连续的一阶偏导数
? ?? ??????c
D
d
y
P
x
Q ?)(
???
D
d x d y8 3
8?
解 应用 Green公式的得：
可见 应用 Green公式的得能够简化曲线积分
例 3 计算 ?
???? c dyyxdxyxI )s i n()( 29
其中：
.)(,弧的上半周是闭区域 AByxDC 0141
2
2 ???y
x0
A
B
D
1
2
（ 1）曲线 C 是开曲线
应用格林公式前先验证条件
处理方法,添加线段 BO
)( D
O AB OBOCl
围成闭区域
弧???
y
x0
A
B
D
1
2
（ 2）曲线 取负向 弧OA BOBOCl ???
处理方法：
? ??? ??l
D（ 3）
上有连续的一阶偏导数在 Dl
yxQyxP
?
???? 29 s i n
综上分析，我们可
以创造条件使用格
林公式
? ???? c dyyxdxyxI )s i n()( 29
?
?
????
????
?
BO
BOC
dyyxdxyx
dyyxdxyx
)s i n()(
)s i n()(
29
29
dxdyyPxQ
D
?? ??????? )( ? ???? BO dyyxdxyx )s i n()( 29
????
D
dxdy2 ??
0
2
9dxx
10
22 10??? ?
该例给出了利用格林公式计算开曲线积分的方法
注
意
（ 1）添加曲线 时，尽量保证 易积分
dxdy
D
?? )(0c
（ 2）添加曲线 时，尽量保证 易积分
? ?0c Q d yP d x0c
（一般选 为平行坐标轴的直线）
0c
x
y
o L
例 4 计算 ?
AB
xdy,其中曲
线 AB 是半径为 r 的圆在
第一象限部分,
解 引入辅助曲线 L,
A
B
D
BOABOAL ???
应用格林公式,xQP ??,0 有
???? ???? ?? BOOABOABOAAB x d yx d yx d yx d y
001 ???? ??
D
dxdy,2
4
1 r???
例 5 计算 ?
?
?
L yx
y dxxdy
22
,其中 L 为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方
向为逆时针方向,
则当 022 ?? yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
?
?
?
?
?
?
?
?
222
22
)(
.
记 L 所围成的闭区域为 D,解
令 2222,
yx
xQ
yx
yP
?
?
?
??,
则当 022 ?? yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
?
?
?
?
?
?
?
?
222
22
)(
.
记 L 所围成的闭区域为 D,解
令 2222,
yx
xQ
yx
yP
?
?
?
??,
计算 ?
?
?
L yx
y dxxdy
22
,
其中 L 为, 逆时针方向,
222 ryx ??
先考察下面的例子：
（ 1）按曲线积分计算方法：
? ??L yx y d xxdy 22
.2??
???
?
d
r
rr? ?2
0 2
2222 s i nc o s
为参数x
（ 2）按格林公式计算方法：
? ??L yx y d xxdy 22 00 ???
??
?
?? ???? dxdydxdy
y
P
x
Q
DD
)(
请判断：两种积分结果哪一种正确，
并说明理由。
L
( 1 ) 当 D?)0,0( 时,
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,
1D
r
l
x
y
o
L
D
由格林公式知 ? ???L yx y d xxdy 022
作位于 D 内圆周 222,ryxl ??,
记 1D 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
y
xo
?? ????? lL yx y d xxdyyx y d xxdy 2222 x
y
o r
1Dl
L 02222 ?????? ??
lL yx
y d xxdy
yx
y d xxdy
( 其中 l 的方向
取逆时针方向 ).2??
(注意格林公式的条件 )
??? dr rr 2
2222 s inc o s ?? ?? 2
0
格林公式, ??? ??????? L
D
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP ??? 得??? ?? L
D
y d xx d yd x d y2
闭区域 D 的面积 ? ??
L
y d xx d yA 21,
取,,0 xQP ?? 得 ??
L
xdyA
取,0,??? QyP 得 ? ??
L
y d xA
应用格林公式可以计算平面面积
曲线 A MO 由函数
],0[,axxaxy ??? 表示,
例 6 计算抛物线 )0()( 2 ??? aaxyx 与 x 轴
所围成的面积,
解 ONA 为直线 0?y,
? ??? L yd xxdyA 21
?? ???? A M OONA yd xx d yyd xx d y 2121
)0,(aAN
M
? ?? A M O yd xxdy21
dxxaxdxaxaxa )()12(21 0 ???? ?
.614 20 adxxa a ?? ?
)0,(aAN
M
例 7 计算 ??
?
D
y
dxdye
2
,其中 D 是
以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点
的三角形闭区域,
解 令 2,0 yxeQP ???,
x
y
o
AB
1
1 D
则
2y
e
y
P
x
Q ??
?
??
?
?,
应用格林公式可以简化二重积分
应用格林公式,有
???
??
?? ?
BOABOA
y
D
y dyxedxdye 22
?? ?? ?? 10 22 dxxedyxe xOA y
).1(21 1??? e
22 yy xeQe
x
Q ?? ???
?
?
提
示
1.定积分与不定积分的联系
))()(()()()( xfxFaFbFdxxfba ?????
牛顿 --莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
)()( 的正向沿 LQ d yPd xd x d yyPxQ
L
D
??? ???????
格林公式
四、格林公式在积分学中的地位
3.三重积分与曲面积分的联系
?????
??
??????????? R d x d yQ d z d xPd y d zdvzRyQxP )(
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
dx dy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
)()()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??? R dzQ dyP dx
斯托克斯公式
二重积分与曲线积分的关系
应用格林公式可以简化曲线积分
本节要点
—— 格林公式 ; ??? ???
??
?
?
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
应用格林公式可以计算平面图形的面积
格林公式在积分学中的地位
应用格林公式可以简化二重积分
??? ???????? ?????
LD
Q d yP d xdxdyyPxQ
o x
y
A B
CD
E F
G
若区域 如图为
复连通域，试描述格
林公式中曲线积分中 L
的方向。
D
D
思
考
题
o x
y
A B
CD
E F
GD由两部分组成L
外 边界：
内 边界：
BCD AB
EGFE
思考题解答
准备知识
格林公式在积分学中的地位
格林公式
典型例题分析
设 D为平面区域,如果 D内任一闭曲线所围
成的部分都属于 D,则称 D为平面单连通区域,
否则称为复连通区域,
复连通区域单连通区域
D
D
（ 1）区域连通性的分类
一、准备知识
积分区域为：,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??
其中函数, 在区间 上连续,)(1 x? )(2 x? ],[ ba
［ X－型］
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
X型区域的特点, 穿过区域且平行于 y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
特别地 —— 简单区域
积分区域为：,dyc ?? ).()( 21 yxy ?? ??
［ Y－型］
)(2 yx ??)(1 yx ?? Dc
d
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
其中函数, 在区间 上连续,)(y1? )(y2? ],[ dc
Y型区域的特点, 穿过区域且平行于 x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点,
设空间区域 G,如果 G内任一闭曲面所围成
的区域全属于 G,则称 G是空间二维单连通域 ;
如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于
G的曲面,则称 G为空间一维单连通区域,
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
（ 2）闭区域 D的边界 C的正向
连成与由 21 LLL 组成与由 21 LLL
边界曲线 L的正向, 当观察者沿边界行走时,区
域 D总在他的左边,
2L
D
1L
2L
1L
D
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围
成,函数 ),(),( yxQyxP 及 在 D 上具有一阶连
续偏导数,则有
???
??
?
?
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxdy
y
P
x
Q
)( ( 1 )
其中
L
是
D
的取正向的边界曲线,
公式 (1) 叫做 格林公式,
定 理
二、格林公式
}),()(),{( 21 bxaxyxyxD ????? ??
证明 (1)
若区域 D 既是 ?X 型
又是 ?Y 型,即平行于
坐标轴的直线和 L 至
多交于两点,
}),()(),{( 21 dycyxyyxD ????? ??
y
xo a b
D
c
d
)(1 xy ??
)(2 xy ??
A
B
C
E
)(2 yx ??
)(1 yx ??
dxxQdyd x d yxQ yydc
D
???? ????? )( )(21??
?? ?? dcdc dyyyQdyyyQ )),(()),(( 12 ??
?? ?? CA ECB E dyyxQdyyxQ ),(),(
?? ?? E ACC BE dyyxQdyyxQ ),(),(
?? L dyyxQ ),(
同理可证 ??? ??
??
LD dxyxPdxdyy
P ),(
y
xo
d
)(2 yx ??
D
c C
E
)(1 yx ??
若区域 D 由按段光
滑的闭曲线围成, 如图,
证明 (2)
L1L
2L3L
D
1D
2D3D
两式相加得 ??? ???
??
?
?
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
将 D 分成三个既是 ?X 型又是
?Y 型的区域 1D,2D,3D,
????
?? ?
??
?
??
?
??
?
?
321
)()(
DDDD
d x d yyPxQd x d yyPxQ
?????? ?????????????????
321
)()()(
DDD
d x d yyPxQd x d yyPxQd x d yyPxQ
??? ??? ?????? CALBCLABL Qd yP d xQd yP d xQd yP d x 321
? ?? L Q d yP d x
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
1D
2D3D
L1L
2L3LA B C
??? ?????? 321 LLL Qd yP d xQd yP d xQd yP d x
? ? ?? ????
BC AC CAAB
?
G
D
3L
2L
F
C
E
1LA
B
证明 (3)
若区域不止由一条闭曲
线所围成, 添加直线段 AB,CE,
则 D 的边界曲线由 AB,
2
L,B A,
A F C,C E,3L,EC 及 C G A 构成,
由 (2)知 ?? ?
??
?
?
D
d x d yyPxQ )(
????? ????? CEAFCBALAB 2{ ??? ????? C G AECL QdyPdx )(}3
? ?? L Q d yP d x
? ? ? ???? 2 3 1 ))(( L L L Q d yP d x
),( 32,1 来说为正方向对 DLLL
便于记忆形式,
??? ???
?
?
?
L
D
Q dyP dxdxdy
QP
yx,格林公式的实质, 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系,
Green公式建立了平面区域 D上的二重积分与沿
区域边界上的曲线积分之间的关系, 不仅如此,
Green公式还给出了通过二重积分计算第二型曲线积
分的方法，从而简化了相当一部分曲线积分。
例 1 计算 ?
???? c dyyxdxxyxI )()( 222
其中,.,,的正向边界是闭区域 1010 ???? yxDC
解
222 yxQxyxP ????
x
y
1
1
D
1c
2c
3c
4c ????? ????
4321 ccccc
由积分的可加性得：
三、典型例题分析
应用 Green公式时务必检查三点：
? ?? ??????c
D
d
y
P
x
Q ?)(
?? ??
D
d x d yxx )( 2
? ?? 10 10 dyxdx 21?
应用 Green公式的得：
（ 1）曲线 C 是闭曲线
（ 2）曲线 C 取正向
),(),,( yxQyxP（ 3） 在 D+C上具有连续的一阶偏导数
例 2 计算
? ????? c dyxyxxydxxyyxI )s i ns i n()c o sc o s( 822 22
其中：
.
,:
的边界正向所围成
是闭区域
2
2
yx
xyDC
?
?
（ 1,1）
D
（ 1）曲线 C 是闭曲线
（ 2）曲线 C 取正向
应用格林公式前先验证条件
xyxxyQxyyxP 822 22 ????? s i ns i nc o sc o s
82222 ????????? yxxyxQyxxyyP s i nc o ss i nc o s
可见 P和 Q在 D+C上具有连续的一阶偏导数
? ?? ??????c
D
d
y
P
x
Q ?)(
???
D
d x d y8 3
8?
解 应用 Green公式的得：
可见 应用 Green公式的得能够简化曲线积分
例 3 计算 ?
???? c dyyxdxyxI )s i n()( 29
其中：
.)(,弧的上半周是闭区域 AByxDC 0141
2
2 ???y
x0
A
B
D
1
2
（ 1）曲线 C 是开曲线
应用格林公式前先验证条件
处理方法,添加线段 BO
)( D
O AB OBOCl
围成闭区域
弧???
y
x0
A
B
D
1
2
（ 2）曲线 取负向 弧OA BOBOCl ???
处理方法：
? ??? ??l
D（ 3）
上有连续的一阶偏导数在 Dl
yxQyxP
?
???? 29 s i n
综上分析，我们可
以创造条件使用格
林公式
? ???? c dyyxdxyxI )s i n()( 29
?
?
????
????
?
BO
BOC
dyyxdxyx
dyyxdxyx
)s i n()(
)s i n()(
29
29
dxdyyPxQ
D
?? ??????? )( ? ???? BO dyyxdxyx )s i n()( 29
????
D
dxdy2 ??
0
2
9dxx
10
22 10??? ?
该例给出了利用格林公式计算开曲线积分的方法
注
意
（ 1）添加曲线 时，尽量保证 易积分
dxdy
D
?? )(0c
（ 2）添加曲线 时，尽量保证 易积分
? ?0c Q d yP d x0c
（一般选 为平行坐标轴的直线）
0c
x
y
o L
例 4 计算 ?
AB
xdy,其中曲
线 AB 是半径为 r 的圆在
第一象限部分,
解 引入辅助曲线 L,
A
B
D
BOABOAL ???
应用格林公式,xQP ??,0 有
???? ???? ?? BOOABOABOAAB x d yx d yx d yx d y
001 ???? ??
D
dxdy,2
4
1 r???
例 5 计算 ?
?
?
L yx
y dxxdy
22
,其中 L 为一条无重点,
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方
向为逆时针方向,
则当 022 ?? yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
?
?
?
?
?
?
?
?
222
22
)(
.
记 L 所围成的闭区域为 D,解
令 2222,
yx
xQ
yx
yP
?
?
?
??,
则当 022 ?? yx 时,有
y
P
yx
xy
x
Q
?
?
?
?
?
?
?
?
222
22
)(
.
记 L 所围成的闭区域为 D,解
令 2222,
yx
xQ
yx
yP
?
?
?
??,
计算 ?
?
?
L yx
y dxxdy
22
,
其中 L 为, 逆时针方向,
222 ryx ??
先考察下面的例子：
（ 1）按曲线积分计算方法：
? ??L yx y d xxdy 22
.2??
???
?
d
r
rr? ?2
0 2
2222 s i nc o s
为参数x
（ 2）按格林公式计算方法：
? ??L yx y d xxdy 22 00 ???
??
?
?? ???? dxdydxdy
y
P
x
Q
DD
)(
请判断：两种积分结果哪一种正确，
并说明理由。
L
( 1 ) 当 D?)0,0( 时,
( 2 ) 当 D?)0,0( 时,
1D
r
l
x
y
o
L
D
由格林公式知 ? ???L yx y d xxdy 022
作位于 D 内圆周 222,ryxl ??,
记 1D 由 L 和 l 所围成,
应用格林公式,得
y
xo
?? ????? lL yx y d xxdyyx y d xxdy 2222 x
y
o r
1Dl
L 02222 ?????? ??
lL yx
y d xxdy
yx
y d xxdy
( 其中 l 的方向
取逆时针方向 ).2??
(注意格林公式的条件 )
??? dr rr 2
2222 s inc o s ?? ?? 2
0
格林公式, ??? ??????? L
D
Q d yP d xd x d yyPxQ )(
取,,xQyP ??? 得??? ?? L
D
y d xx d yd x d y2
闭区域 D 的面积 ? ??
L
y d xx d yA 21,
取,,0 xQP ?? 得 ??
L
xdyA
取,0,??? QyP 得 ? ??
L
y d xA
应用格林公式可以计算平面面积
曲线 A MO 由函数
],0[,axxaxy ??? 表示,
例 6 计算抛物线 )0()( 2 ??? aaxyx 与 x 轴
所围成的面积,
解 ONA 为直线 0?y,
? ??? L yd xxdyA 21
?? ???? A M OONA yd xx d yyd xx d y 2121
)0,(aAN
M
? ?? A M O yd xxdy21
dxxaxdxaxaxa )()12(21 0 ???? ?
.614 20 adxxa a ?? ?
)0,(aAN
M
例 7 计算 ??
?
D
y
dxdye
2
,其中 D 是
以 )1,0(),1,1(),0,0( BAO 为顶点
的三角形闭区域,
解 令 2,0 yxeQP ???,
x
y
o
AB
1
1 D
则
2y
e
y
P
x
Q ??
?
??
?
?,
应用格林公式可以简化二重积分
应用格林公式,有
???
??
?? ?
BOABOA
y
D
y dyxedxdye 22
?? ?? ?? 10 22 dxxedyxe xOA y
).1(21 1??? e
22 yy xeQe
x
Q ?? ???
?
?
提
示
1.定积分与不定积分的联系
))()(()()()( xfxFaFbFdxxfba ?????
牛顿 --莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
)()( 的正向沿 LQ d yPd xd x d yyPxQ
L
D
??? ???????
格林公式
四、格林公式在积分学中的地位
3.三重积分与曲面积分的联系
?????
??
??????????? R d x d yQ d z d xPd y d zdvzRyQxP )(
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
dx dy
y
P
x
Q
dz dx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
)()()(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??? R dzQ dyP dx
斯托克斯公式
二重积分与曲线积分的关系
应用格林公式可以简化曲线积分
本节要点
—— 格林公式 ; ??? ???
??
?
?
LD Qd yP d xd x d yy
P
x
Q )(
应用格林公式可以计算平面图形的面积
格林公式在积分学中的地位
应用格林公式可以简化二重积分
??? ???????? ?????
LD
Q d yP d xdxdyyPxQ
o x
y
A B
CD
E F
G
若区域 如图为
复连通域，试描述格
林公式中曲线积分中 L
的方向。
D
D
思
考
题
o x
y
A B
CD
E F
GD由两部分组成L
外 边界：
内 边界：
BCD AB
EGFE
思考题解答
