第五节 函数幂级数展开式的应用
计算定积分
小结
求数项级数的和
欧拉公式
近似计算
,21 ??? ????? naaaA
,21 naaaA ????? ?
.21 ???? ?? nnn aar误差
给定项数,求近似值并估计精度 ;
给出精度,确定项数,
关健, 通过估计 余项,确定精度或项数,
两类问题
依 据
1
2
一,近似计算
若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决 ;
若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为
等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和,
.10,5?使其误差不超过的近似值计算 e
解,!1!211 2 ??? ?????? nx xnxxe
,1?x令,!1!2111 ne ????? ?得
常用方法
1
2
例 1
余和,
?????? )!2( 1)!1( 1 nnr n )211()!1( 1 ?????? nn
))1( 1111()!1( 1 2 ???????? nnn !1nn??
,10 5??nr欲使,10!1 5??? nn只要
,10! 5?? nn即,10322560!88 5???而
!8
1
!3
1
!2
111 ?????? ?e 7 1 8 2 8.2?
.
,9s i n
!3
s i n 0
3
并估计误差
的近似值计算利用
x
xx ??
解 20s i n9s i n 0 ??,)20(6120 3?? ??
5
2 )20(!5
1 ??r 5)2.0(
1 2 0
1?
3 0 0 0 0 0
1?,10 5??
0 0 0 6 4 6.01 5 7 0 7 9.09s i n 0 ??? 1 5 6 4 3 3.0?
其误差不超过,510?
例 2
.,
,
ln
1
,
s i n
,
2
难以计算其定积分函数表示
原函数不能用初等例如函数
xx
x
e x?
逐项积分展开成幂级数
定积分的近似值被积函数
解法：
二、计算定积分
第四项 30001!77 1 ??,10 4??
取前三项作为积分的近似值,得
!55
1
!33
11s i n1
0 ?????? dxx
x 9461.0?
.10,s i n 410 ?? 精确到的近似值计算 dxx x
?? ????? 642 !71!51!311s i n xxxx x解 ),( ?????x
?????????? !77 1!55 1!33 11s i n10 dxx x
收敛的交错级数
例 3
直接法 ; 拆项法 ; 递推法,
.2 1a rc t a n
1
2 的和求 ?
?
?n n
解,21a rct a n1 ?s
8
1a rcta n
2
1a rcta n
2 ??s
8
1
2
1
1
8
1
2
1
a r c t a n
??
?
?
,32a r c t a n?
1、利用级数和的定义
1 2 3
例 4
三、求数项级数的和
18
1a rcta n
3
2a rcta n ??
18
1a rcta n
23 ?? ss,4
3a r c t a n?
1a rcta n1a rcta n ???? n ns n )(4 ???? n
.42 1a r c t a n
1
2
????
?n n
故
,1a rcta n1 kks k ???假设
22
1a rcta n1a rcta n
kk
ks
k ?
??,
1a rcta n ?? k
k
,l i m
010
n
n
nx
n
n xaa ??
?
??
?
?
?
??,)(
0
n
n
n xaxs ?
?
?
?求得
).(lim
10
xsa
xn n ??
?
?
?? ? (逐项积分、逐项求导 )
.2 12
1
的和求 ?
?
?
?
n
n
n
解,2 12)( 22
1
??
?
? ?? n
n
n x
nxs令 )2,2(?
2.阿贝尔法（构造幂级数法）
例 5
依据
? ??
?
? ???
1 0
22 )
2
12()(
n
x n
n dxx
nxs ??
?
?
??
1
12
)2(
n
n
nx
))2(1(
1
2
?? ?
?
?n
nx
x )2
1(
2
2
???? xxx
)2( 2 ??? xx,)2( 2 22
2
x
x
?
??
22
2
1 )2(
2l i m
x
x
x ?
??
??)(lim1 xsx ??,3?,32
12
1
???
?
?n
n
n故
.2!
1
2
的和求 ?
?
?n
nn
n
解,!)(
1
2
n
n
xnnxs ?
?
?
?令 ),( ????
n
n
xn nnnxs ?
?
?
???
1 !
)1()(? n
n
n
n
xnxnn ??
?
?
?
? ?
???
11 )!1(
1
!
)1(
?? ?
?
?
?
????
01
2
!)!( n
n
n
n
n
xx
n
xx
xx xeex ????? )1(2
,)1( xxe x ??
??
?
?
1
2
2!n nn
n )
2
1(s?
2
1)1
2
1(21 ?? e,
4
3 e?
例 6
复数项级数,
?? ??????? )()()( 2211 nn jvujvujvu
.),3,2,1(,为实常数或实函数其中 ??nvu nn若 ?
?
?
?
1n
nuu,?
?
?
?
1n
nvv,
则称级数 ?
?
?
?
1
)(
n
nn ivu 收敛,且其和为 ivu ?,
定义 1
四、欧拉公式
若 ?? ???????
222
2
2
2
2
1
2
1 nn vuvuvu 收敛,
则 ?
?
? 1n
nu,?
?
? 1n
nv 绝对收敛,称复数项级数绝对收敛,复数项级数绝对收敛的概念
,!!21
2
?? ?????? nxxxe
n
x
,)!12()1(!5!3s i n
12
1
53
?? ????????
?
?
n
xxxxx nn
,)!2()1(!4!21c o s
242
?? ??????? nxxxx
n
n
)( ?????? x
)( ?????? x
)( ?????? x
定义 2
三个基本展开式
的幂级数展开式由 xe
?? ?????? njx jxnjxjxe )(!1)(!211 2
)
)!12(
)1(
!3
1
(
)
)!2(
)1(
!2
1
1(
12
3
2
2
??
??
?
?
?????
??????
?
n
x
xxj
n
x
x
n
n
n
n
xjx s i nco s ??
xcos
xsin
xjxe jx s i nco s ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
j
ee
x
ee
x
jxjx
jxjx
2
s i n
2
c o s
xjxe jx s i nco s ????又
揭示了三角函数和复变数指数函数之间的
一种关系,
欧拉公式
)s i n( co s yjyee xjyx ???
结论
小 结
近似计算
求不可积类函数的定积分
求数项级数的和
欧拉公式的证明
微分方程的幂级数解法
利用幂级数展开式,求极限,s i na rc s i nlim 3
0 x
xx
x
?
?
思
考
题
,542 31321a r c s i n
53
????????? xxxx
,!5 33!3 3341s i n 5
5
3
3
3
??
?
??
? ????? ?xxx
)1( ?x
)( ??x
,s i na rcs i nlim 3
0 x
xx
x
?
?
将上两式代入
思考题解答
?
?
?
?
?
?
??
?
?
????
?
?
542
31
32
1
lim
53
0
xx
xx
x
?
?
?
?
?
? ???? ?5533
!5
33
!3
33
4
1 xx原式 =
)(
)(
6
1
l i m 33
33
0 xox
xox
x ?
??
?
?,6
1??