第五节 隐函数的求导公式
一个方程的情形
方程组的情形
小结与思考题
上节回顾
多元复合函数的求导法则
连锁规则
全微分的形式不变性
u
v
x
z
y
链式法则如图示
???xz ???uz xu?? ???? vz,xv??
???yz ???uz yu?? ???? vz,yv??
u
v
x
z
y
链式法则图示及记忆法
???xz
?uf x
u
?
?
?? vf
,xv??
???yz yu??,yv??
?uf ?? vf
u
v
x
z
y
链式法则图示及记忆法
x
u
?
??
?
?
x
z
?1f ?? 2f
,xv??
?1f
???yz yu??,yv??
?? 2f
0),(.1 ?yxF
设函数 ),( yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内具有
连续的偏导数，且 0),(
00
?yxF, 0),(
00
?yxF
y
，
则方程 0),( ?yxF 在点 ),(
00
yxP 的某一邻域内恒能
唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数
)( xfy ?,它满足条件 )(
00
xfy ?,并有
y
x
F
F
dx
dy
??,
隐函数的求导公式
隐函数存在定理 1
一,一个方程的情形
例１　 验证方程 01
22
??? yx 在点 )1,0( 的某邻
域内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y
的隐函数 )( xfy ?,并求这函数的一阶和二阶导
数在 0?x 的值,
解 令 1),( 22 ??? yxyxF
则,2 xF x ?,2 yF y ?
,0)1,0( ?F,02)1,0( ??yF依定理知方程 01
22 ??? yx 在点 )1,0( 的某邻域
内能唯一确定一个单值可导、且 0?x 时 1?y 的
函数 )( xfy ?,
函数的一阶和二阶导数为
y
x
F
F
dx
dy ??,
y
x??,0
0
?
?xdx
dy
22
2
y
yxy
dx
yd ????
2y
y
x
xy ?
?
?
?
?
?
??
??,1
3y??
.1
0
2
2
??
?xdx
yd
例 2 已知 xyyx a rct a nln 22 ??,求 dxdy,
解 令
则
,a rct a nln),( 22 xyyxyxF ???
,),( 22 yx yxyxF x ???,),( 22 yx xyyxF y ???
y
x
F
F
dx
dy ??,
xy
yx
?
???
设函数 ),,( zyxF 在点,(
0
xP ),
00
zy 的某一邻域
内有连续的偏导数，且
,(
0
xF 0),
00
?zy, 0),,(
000
?zyxF
z
,
则方程,,( yxF 0) ?z 在点 ),,(
000
zyxP 的某一邻
域内恒能唯 一确定一个单值连续且具有连续偏
导数的函数 ),( yxfz ?,它满足条件
),(
000
yxfz ?
,
并有
z
x
F
F
x
z
??
?
?
,
z
y
F
F
y
z
??
?
?
0),,(.2 ?zyxF
隐函数存在定理 2
例 3 设 04222 ???? zzyx,求 2
2
x
z
?
?,
解 令
则
,4),,( 222 zzyxzyxF ????
,2 xF x ?,42 ?? zF z,2 zxFFxz
z
x
?????
?
2
2
x
z
?
?
2)2(
)2(
z
x
z
xz
?
?
?
??
? 2
)2(
2
)2(
z
z
x
xz
?
?
???
?
.)2( )2( 3
22
z
xz
?
???
例 4 设 ),( x y zzyxfz ???,求 xz??, yx??, zy??,
思路：
把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得
x
z
?
?
，
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得
y
x
?
?
，
把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得 zy??,
解 令,zyxu ???,xyzv ?
则 ),,( vufz ?
把 z 看成 yx,的函数对 x 求偏导数得
x
z
?
? )1(
x
zf
u ?
???? ),(
x
zxyyzf
v ?
????
整理得 xz??,1
vu
vu
x yff
yz ff
??
??
把 x 看成 yz,的函数对 y 求偏导数得
)1(0 ????? yxf u ),( yxyzxzf v ?????
整理得,
vu
vu
yz ff
x z ff
?
???
y
x
?
?
把 y 看成 zx,的函数对 z 求偏导数得
)1(1 ????? zyf u ),( zyxzxyf v ?????
整理得 zy??,1
vu
vu
x z ff
x y ff
?
???
??
?
?
?
0),,,(
0),,,(
vuyxG
vuyxF
设 ),,,( vuyxF, ),,,( vuyxG 在
点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内有对各个变量的连续
偏导数，且 0),,,(
0000
?vuyxF,),,,(
0000
vuyxG
0?,且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),(
),(
隐函数存在
定理 3
二,方程组的情形
在点 ),,,(
0000
vuyxP 不等于零，则方程组
0),,,( ?vuyxF, 0),,,( ?vuyxG
在点 ),,,(
0000
vuyxP 的某一邻域内恒能唯一确定一
组单值连续且具有连续偏导数的函数 ),( yxuu ?,
),( yxvv ?,它们满足条件 ),(
000
yxuu ?,vv ?
0
),(
00
yx
，并有
,
),(
),(1
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
vx
GF
Jx
u
??
?
?
??
?
?
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
xu
GF
Jx
v ??
?
???
?
?
),(
),(1
,
),(
),(1
vu
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
vy
GF
Jy
u ??
?
???
?
?
.
),(
),(1
vu
vu
yu
yu
GG
FF
GG
FF
yu
GF
Jy
v ??
?
???
?
?
例 5 设 0?? yvxu, 1?? xvyu,
求
x
u
?
?
，
y
u
?
?
，
x
v
?
?
和
y
v
?
?
.
解 1 直接代入公式；
解 2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 求导并移项x
,
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
v
x
v
x
x
u
y
u
x
v
y
x
u
x
xy
yxJ ??
,22 yx ??
在 0?J 的条件下，
xy
yx
xv
yu
x
u
?
?
??
?
?
?
,22 yx yvxu ????
xy
yx
vy
ux
x
v
?
?
?
?
?
?
,22 yx xvyu ???
将所给方程的两边对 求导，用同样方法得y
,22 yx yuxvyu ?????,22 yx yvxuyv ??????
隐函数存在定理 2
隐函数存在定理 3
小 结
隐函数存在定理 1
已知 )(
z
y
z
x
??,其中 ? 为可微函数，
求??
?
?
?
?
?
y
z
y
x
z
x
思
考
题
记 )(),,( zyzxzyxF ???,则 zF x 1?,
,1)( zzyF y ???? ?,)()( 22 z yzyz xF z ?????? ?
,
)(
z
yyx
z
F
F
x
z
z
x
? ??
???
?
?,
)(
)(
z
y
yx
z
y
z
F
F
y
z
z
y
?
?
??
??
???
?
?
于是 zyzyxzx ??????,
思考题解答