第四节 多元复合函数的求导法则
链式法则
全微分的形式不变性
小结 与思考题
证
),()( tttu ?? ?????则 );()( tttv ?? ?????
如果函数 )( tu ?? 及 )( tv ?? 都在点 t 可导，
函数 ),( vufz ? 在对应点 ),( vu 具有连续偏导数，
则复合函数 )](),([ ttfz ??? 在对应点 t 可导，且
其导数可用下列公式计算,
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
?
?
?
?
?
?,
，获得增量设 tt ?
定理
一、链式法则
由于函数 ),( vufz ? 在点 ),( vu 有连续偏导数
,21 vuvvzuuzz ????????????? ??
当 0?? u, 0?? v 时，01 ??, 02 ??
t
v
t
u
t
v
v
z
t
u
u
z
t
z
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
21 ??
当 0?? t 时,0?? u, 0?? v
,dtdutu ???,dtdvtv ???
.lim
0 dt
dv
v
z
dt
du
u
z
t
z
dt
dz
t
???????????
??
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,
如 dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz ?????????
u
v
w
tz
以上公式中的导数 称为 全导数,dtdz
上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况,)].,(),,([ yxyxfz ???
如果 ),( yxu ?? 及 ),( yxv ?? 都在点 ),( yx
具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 ),( vufz ? 在对应
点 ),( vu 具有连续偏导数，则复合函数
)],(),,([ yxyxfz ??? 在对应点 ),( yx 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
u
v
x
z
y
链式法则如图示
???xz ??
?
u
z
x
u
?
? ?
?
??
v
z,
x
v
?
?
???yz ??
?
u
z
y
u
?
? ?
?
??
v
z,
y
v
?
?
类似地再推广，设 ),( yxu ??, ),( yxv ??,
),( yxww ? 都在点 ),( yx 具有对 x 和 y 的偏导数，复合
函数 )],(),,(),,([ yxwyxyxfz ??? 在对应点 ),( yx
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
z
w
v
u
y
x
特殊地 ),,( yxufz ? ),( yxu ??
即 ],,),,([ yxyxfz ??
,xfxuufxz ???????????,yfyuufyz ???????????
令,xv ?,yw ?
其中
,1???xv,0???xw,0???yv,1???yw
把复合函数 ],),,([ yxyxfz ??
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
把 ),,( yxufz ?
中的 u 及 y 看作不
变而对 x 的偏导数
两者的区别
区
别
类
似
例 1 设 vez u s i n?,而 xyu ?, yxv ??,
求
x
z
?
?
和
y
z
?
?
.
解 ???xz ??
?
u
z
x
u
?
? ?
?
??
v
z
x
v
?
?
1c o ss i n ???? veyve uu ),c o ss i n( vvye u ??
???yz ??
?
u
z
y
u
?
? ?
?
??
v
z
y
v
?
?
1co ss i n ???? vexve uu ).c o ss i n( vvxe u ??
例 2 设 tuvz si n??,而
teu ?
,tv c o s?,
求全导数
dt
dz
.
解
t
z
dt
dv
v
z
dt
du
u
z
dt
dz
?
???
?
???
?
??
ttuve t co ss i n ???
ttete tt co ss i nco s ???
.c o s)s i n( c o s ttte t ???
例 3 设 ),( x y zzyxfw ???, f 具有二阶
连续偏导数，求
x
w
?
?
和
zx
w
??
? 2
.
解 令,zyxu ??? ;xyzv ?
记,),(1 u vuff ????,),(
2
12 vu
vuff
??
????
同理有,2f?,11f??,22f??
???xw xvvfxuuf ??????????? ;21 fyzf ????
???? zxw
2
)( 21 fyzfz ????? ;221 zfyzfyzf ? ?????? ???
?? ??zf1 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 11 ;1211 fxyf ??????
?? ??zf2 zvvfzuuf ???? ??????? ?? 22 ;2221 fxyf ??????
于是 ???? zxw
2
1211 fxyf ????? 2y ?? )( 2221 fxyfyz ??????
.)( 22221211 fyfzxyfzxyf ????????????
设函数 ),( vufz ? 具有连续偏导数，则有全微分
dv
v
z
du
u
z
dz
?
?
?
?
?
? ; 当 ),( yxu ??, ),( yxv ??
时，有 dy
y
z
dx
x
z
dz
?
?
?
?
?
?,
质：全微分形式不变性的实
其全微分总是的函数
的函数，还是中间变量，是自变量不论
,,vu
yxz
二、全微分形式不变性
dxxvvzxuuz ?????? ????????????
dyyzdxxzdz ??????
dyyvvzyuuz ?
?
??
?
?
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?? dy
y
udx
x
u
u
z ?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?? dy
y
vdx
x
v
v
z
duuz???,dvvz???
例 4 已知 02 ???? zxy eze,求 xz?? 和 yz??,
解,0)2( ???? zxy ezed?
,02)( ????? ? dzedzxyde zxy
)()2( y d xxdyedze xyz ??? ?
dyexedxeyedz z
xy
z
xy
)2()2( ????
??
x
z
?
?,
2??
?
z
xy
e
ye
y
z
?
?,
2??
?
z
xy
e
xe
小 结
链式法则（分三种情况）
（特别要注意课中所讲的特殊情况）
全微分形式不变性 （ 理解其实质）
对弧长曲线积分的应用
设 ),,( xvufz ?,而 )( xu ??, )( xv ??,
则
x
f
dx
dv
v
f
dx
du
u
f
dx
dz
?
?
?
?
?
?
?
?
?,
试问
dx
dz
与
x
f
?
?
是否相同？为什么？
思
考
题
不相同,
等式左端的 z 是作为一个自变量 x 的函数，
而等式右端最后一项 f 是作为 xvu,,的三元函数，
写出来为
????? xxvux dxduufdxdz ),,(,),,(),,( xvuxxvu xfdxdvvf ??????
思考题解答