第二节 偏导数
偏导数的定义
小结
偏导数的计算
高阶导数
定义 设函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某一
邻域内有定义，当 y 固定在
0
y 而 x 在
0
x 处有
增量 x? 时，相应地函数有增量
=z
x
? ),(),(
0000
yxfyxxf ???,
如果
x
yxfyxxf
x ?
???
??
),(),(
lim
0000
0
存在，则称此极限为函数 ),( yxfz ? 在点
),(
00
yx
处对
x
的 偏导数,
定义 1
一,偏导数的定义及其计算法
同理可定义 函数 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 处对 y
的 偏导数, 为
y
yxfyyxf
y ?
???
??
),(),(
lim
0000
0
记为
0
0
yy
xxy
z
?
??
?
，
0
0
yy
xxy
f
?
??
?
，
0
0
yy
xx
y
z
?
? 或 ),(
00
yxf
y
,
0
0
yy
xxx
z
?
??
?
，
0
0
yy
xxx
f
?
??
?
，
0
0
yy
xxxz
?
? 或 ),( 00 yxf x,
记作：
如果函数 ),( yxfz ? 在区域 D 内任一点
),( yx 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x, y 的函数，它就称为函数 ),( yxfz ? 对
自变量 x 的偏导数，
记作
x
z
?
?
，
x
f
?
?
,xz 或 ),( yxf x,
同理可以定义函数 ),( yxfz ? 对自变量 y 的偏
导数，记作
y
z
?
?
，
y
f
?
?
,yz 或 ),( yxf y,
如 在 处 ),,( zyxfu ? ),,( zx
,),,(),,(lim),,(
0 x
zyxfzyxxfzyxf
xx ?
????
??
,),,(),,(lim),,(
0 y
zyxfzyyxfzyxf
yy ?
????
??
.),,(),,(lim),,(
0 z
zyxfzzyxfzyxf
zz ?
????
??
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例 1 求 22 3 yxyxz ??? 在点 )2,1( 处的偏导数．
解 ???xz ;32 yx ? ???yz,23 yx ?
????
?
?
2
1
y
xx
z
,82312 ????
???
?
?
2
1
y
xy
z,72213 ????
例 2 设 yxz ? )1,0( ?? xx,
求证 z
y
z
xx
z
y
x
2
ln
1
?
?
?
?
?
?
.
证 ???xz,1?yyx ???yz,ln xx y
y
z
xx
z
y
x
?
??
?
?
ln
1 xx
xyxy
x yy ln
ln
11 ?? ?
yy xx ??,2z? 原结论成立．
例 3 设 22ar c s i n
yx
xz
?
?,求
x
z
?
?,
y
z
?
?,
解 ?
?
?
x
z
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
? x
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
222
)(|| yx
y
y
yx
?
???
.|| 22 yx y??
|)|( 2 yy ?
???yz
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
? y
yx
x
yx
x 22
22
2
1
1
322
22
)(
)(
|| yx
xy
y
yx
?
????
yyx
x 1s g n
22 ??? )0( ?y
0
0
?
??
?
y
xy
z
不存在．
例 4 已知理想气体的状态方程 RTpV ?
（ R 为常数），求证,1??
?
?
?
?
?
?
?
?
p
T
T
V
V
p
.
证 ?? VRTp ;2VRTVp ????
?? pRTV ;pRTV ??? ?? RpVT ;RVpT ???
????????? pTTVVp 2VRT? pR? RV?,1??pVRT??
偏导数 xu?? 是一个整体记号，不能拆分 ;
).0,0(),0,0(,),(,yx ffxyyxfz 求设例如 ??
求分界点、不连续点处的偏导数要用
定义求；
解 xxf
xx
0|0|l i m)0,0(
0
???
?
0? ).0,0(yf?
有关偏导数的几点说明
1
2
偏导数存在与连续的关系
例如,函数
?
?
?
?
?
??
??
??
0,0
0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf,
依定义知在 )0,0( 处,0)0,0()0,0( ?? yx ff,
但函数在该点处并不连续, 偏导数存在 连续,
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在 连续，
3
偏导数的几何意义
,),()),(,,( 00000 上一点为曲面设 yxfzyxfyxM ?
如图
4
偏导数 ),( 00 yxf x 就是曲面被平面 0yy ?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 xTM 0 对 x 轴
的斜率,
偏导数 ),( 00 yxf y 就是曲面被平面 0xx ?
所截得的曲线在点 0M 处的切线 yTM 0 对 y 轴
的斜率,
几何意义,
),,(2
2
yxfx zxzx xx?????????? ???? ),(2
2
yxfy zyzy yy?????
?
??
?
?
?
?
),,(
2
yxfyx zxzy xy??????????? ???? ),(
2
yxfxy zyzx yx??????
?
??
?
?
?
?
?
?
函数 ),( yxfz ? 的二阶偏导数为
纯偏导
混合偏导
二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数,
定义 2
二,高阶偏导数
例 5 　设 13
323
???? xyxyyxz,
求
2
2
x
z
?
?
、
xy
z
??
?
2
、
yx
z
??
?
2
、
2
2
y
z
?
?
及
3
3
x
z
?
?
.
解 xz??,33 322 yyyx ??? yz?? ;92 23 xxyyx ???
2
2
x
z
?
?,6
2xy? 2
2
y
z
?
?;182 3 xyx ??3
3
x
z
?
?,6
2y?
xy
z
??
?2
.196 22 ??? yyxyx
z
??
?2
,196 22 ??? yyx
原
函
数
图
形
偏
导
函
数
图
形
偏
导
函
数
图
形
二
阶
混
合
偏
导
函
数
图
形
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导
函数图象间的关系：
例 6 设 byeu ax c o s?,求二阶偏导数,
解,co s byae
x
u ax?
?
? ;s i n bybe
y
u ax??
?
?
,c o s22
2
byeax u ax???,co s22
2
byeby u ax????
,s i n
2
bya b eyx u ax?????,s i n
2
bya b exy u ax?????
混合偏导数都相等吗？
具备怎样的条件才相等？
思
考
题
定理 如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域
D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导
数必相等．例 6 验证函数
22ln),( yxyxu ?? 满足
拉普拉斯方程,02
2
2
2
?????? yuxu
解 ),l n (21ln 2222 yxyx ????
,22 yx xxu ?????,22 yx yyu ????
,)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
xy
yx
xxyx
x
u
?
??
?
????
?
??
.)()( 2)( 222
22
222
22
2
2
yx
yx
yx
yyyx
y
u
?
??
?
????
?
?
222
22
222
22
2
2
2
2
)()( yx
yx
yx
xy
y
u
x
u
?
??
?
??
?
??
?
??,0?
偏导数的定义
偏导数的计算
偏导数的几何意义
高阶偏导数
小 结
若函数 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP 连
续，能否断定 ),( yxf 在点 ),( 000 yxP
的偏导数必定存在？
思
考
题
不能,
,),( 22 yxyxf ??
在 )0,0( 处连续,
但 )0,0()0,0( yx ff ? 不存在,
例如,
思考题解答