第二节 二重积分的计算法
在直角坐标下计算二重积分
在极坐标下计算二重积分
如果积分区域为：,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??
其中函数, 在区间 上连续,)(1 x? )(2 x? ],[ ba
［ X－型］
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
一,利用直角坐标系计算二重积分
为曲顶柱体的体积．
为底，以曲面的值等于以
),(
),(
yxf
zDdyxf
D
??? ??
应用计算“平行截
面面积为已知的立
体求体积”的方法,
a 0x b
z
y
x
)( 0xA
),( yxfz ?
)(1 xy ??
)(2 xy ??
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
b
a
x
x
dyyxfdxdyxf ?
?
?得
.),(),( )(
)(
2
1
?? ? ??
D
d
c
y
y
dxyxfdydyxf ?
?
?
如果积分区域为：,dyc ?? ).()( 21 yxy ?? ??
［ Y－型］
)(2 yx ??)(1 yx ?? Dc
d
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
若区域如图，
3D
2D
1D在分割后的三个区域上分别
使用积分公式
.
321
???????? ???
DDDD
则必须分割,
穿过区域且平行于 y轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点,
X型区域的特点：
穿过区域且平行于 x轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点,
Y型区域的特点：
x
xy ?? 1
例 1 改变积分 ??
? x
dyyxfdx
1
0
1
0
),( 的次序,
原式 ??
?
?
y
dxyxfdy
1
0
1
0
),(,
解 积分区域如图
xy ??2
22 xxy ??
例 2 改变积分
????
??
?
xxx
dyyxfdxdyyxfdx
2
0
2
1
2
0
1
0
),(),(
2
的次序,
原式 ? ? ? ??? 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy,
解 积分区域如图
例 3 改变积分 )0(),(
2
0
2
2 2
?? ?
?
adyyxfdx
a ax
xax
的次序,
axy 2?解
= ? ? ??a yaa
a
y
dxyxfdy
0
2
22
2 ),(原式
? ? ??? a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),(,),(2 22 2? ?? aa aay dxyxfdy
22 xaxy ?? 22 yaax ????
a2a
a2
a
例 4 求 ?? ?
D
dxd yyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy ? 和 2yx ? 所围平面闭区域,
解 两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
?
?
?
?
?
?
yx
xy
?? ?
D
d x d yyx )( 2 ? ? ?? 10 22 )(xx dyyxdx
dxxxxxx )](21)([ 4210 2 ???? ?,14033?
2xy?
2yx?
例 5 求 ?? ?
D
y dxdyex 22,其中 D 是以 ),1,1(),0,0(
)1,0( 为顶点的三角形,
? ? dye y 2? 无法用初等函数表示解
? 积分时必须考虑次序
?? ?
D
y dxdyex 22 ?? ?? y y dxexdy
0
21
0
2
dyye y? ?? ?1
0
3
3
2 21
0
2
6
2 dyye y? ?? ? ).21(
6
1
e??
例 6 计算积分 ???
y
x
y
dxedyI
2
1
2
1
4
1 ??
?
y
y
x
y
dxedy
1
2
1
.
解 ? dxe x
y
? 不能用初等函数表示
? 先改变积分次序,
原式 ????
x
x
x
y
dyedxI
2
2
1
1
? ?? 1
2
1 )( dxeex
x,
2
1
8
3 ee ??
2xy?
xy?
例 7 求由下列曲面所围成的立体体积，
yxz ??, xyz ?, 1?? yx, 0?x, 0?y,
解 曲面围成的立体如图,
,10 ??? yx?,xyyx ???
所求体积 ?? ???
D
dxyyxV ?)(
? ? ? ??? 10 10 )(x dyxyyxdx
? ???? 10 3 ])1(21)1([ dxxxx,247?
所围立体在 x o y 面上的投影是
设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，并设 Adxxf ??
1
0
)(,
求 ??
11
0
)()(
x
dyyfxfdx,
思
考
题
? 1 )(x dyyf? 不能直接积出,? 改变积分次序,
令 ???
11
0
)()(
x
dyyfxfdxI,
则原式 ???
y
dxyfxfdy
0
1
0
)()(,
,)()( 010 ??? x dyyfdxxf
思考题解答
故 ???
11
0
)()(2
x
dyyfdxxfI ??? x dyyfdxxf
0
1
0 )()(
])()[()( 1010 dyyfdxxf xx ??? ??
.)()( 21010 Adyyfdxxf ?? ??
Ao
D
i??
irr?
ii rrr ???
ii ??? ???
i???
iiiiii rrr ??? ?????????
22
2
1)(
2
1
iiii rrr ??????? )2(2
1
ii
iii rrrr ????????
2
)(
,iii rr ??????
.)s i n,co s(),( ???? ?
DD
r d r drrfd x d yyxf ???
面积元素
二、利用极坐标系计算二重积分
.)s in,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
??
A
D
o
)(1 ???r )(2 ???r
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
二重积分化为二次积分的公式（１）
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
区域特征 —— 极点在区域的外部
,??? ??
).()( 21 ???? ?? r
.)s in,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
??
Ao
D
)(2 ???r
)(1 ???r
区域特征 —— 极点在区
域的外部（特殊情形）
Ao
D
)(???r
.)s in,c o s()(0??? ???? ??? r d rrrfd
二重积分化为二次积分的公式（２）
,??? ??
).(0 ???? r
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
??
区域特征 —— 极点在区域的边界上
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
.)s in,c o s()(020 ??? ??? ??? r d rrrfd
极坐标系下区域的面积,???
D
r d r d??
二重积分化为二次积分的公式（３）
).(0 ???? r
D
o A
)(???r
,2????0
区域特征 —— 极点在区域的内部
例 8 写出积分 ??
D
dx dyyxf ),( 的极坐标二次积分形
式，其中积分区域
,11|),{(
2
xyxyxD ????? }10 ?? x,
1??yx
122 ?? yx解 在极坐标系下
??
?
?
?
?
?
s i n
c o s
ry
rx
所以圆方程为 1?r,
直线方程为 ?? c o ss i n 1??r,
??
D
d x d yyxf ),(,)s in,c o s(20 1
c o ss in
1? ?
?
?
?
??
??? r d rrrfd
例 9 计算 dx dye
D
yx?? ?? 22,其中 D 是由中心在
原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域,
解 在极坐标系下
D, ar ??0, ???? 20,
dxdye
D
yx?? ?? 22 ?? ?? ?? a r r d red
0
2
0
2
).1( 2ae ????
例 10 求广义积分 ? ? ?0 2 dxe x,
解 }|),{( 2221 RyxyxD ???
}2|),{( 2222 RyxyxD ???
}0,0{ ?? yx
}0,0|),{( RyRxyxS ?????
显然有 21 DSD ??
,022 ??? yxe?
? ?? ??
1
22
D
yx d x d ye?? ???
S
yx d x d ye 22,
2
22?? ???
D
yx d x d ye
1D
2DS
S
2D
R R2
又 ?? ???
S
yx d x d yeI 22?
?? ??? R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2? ?? R x dxe
?1I ?? ??
1
22
D
yx d x d ye
?? ?? ?? R r r d red 00 22 );1(4 2Re ????
同理 ?2I ?? ??
2
22
D
yx d x d ye);1(
4
22 Re ????
当 ??R 时,,41 ??I,42 ??I
故当 ??R 时,,4??I 即 ??
? ? 2
0
)( 2 dxe x 4?,
所求广义积分 ??
? ?
0
2 dxe x
2
?,
,21 III ???
);1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee ??? ??????? ?
例 11 计算 dx dyyx
D
)(
22
?? ?,其 D 为由圆
yyx 2
22
??, yyx 4
22
?? 及直线 yx 3? 0?,
03 ?? xy 所围成的平面闭区域,
解 32 ?? ??
61
?? ??
?s i n4?? r
?s i n2?? r
d x d yyx
D
)( 22?? ? ? ??? ?? ??? 3
6
s i n4
s i n2
2 r d rrd ).3
2(15 ?
??
yyx 422 ??
yyx 222 ??
03 ?? yx
03 ?? xy
例 12 计算二重积分 ??
?
??
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (
,
其中积分区域为 }41|),{(
22 ???? yxyxD
,
解 由对称性，可只考虑第一象限部分,
注意,被积函数也要有对称性,
?? ? ??
D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n ( 4? ??
?
??
1
22
22 )s i n (
D
d x d y
yx
yx
?? ??? ? 210 s i n4 2 r d rr rd,4??
14 DD ?
1D
例 13 求曲线 )(2)( 222222 yxayx ???
和 222 ayx ?? 所围成的图形的面积,
解 根据对称性有 14 DD ?
在极坐标系下
)(2)( 222222 yxayx ???,2c o s2 ?ar ??
,222 arayx ????
1D
由
?
?
?
?
?
ar
ar ?2c o s2
,得交点 )6,( ?? aA,
所求面积 ???
D
d x d y????
1
4
D
d x d y
?? ?? ?? 2c o s20 64 aa r d rd
).33(2 ??? a
二重积分在极坐标下的计算公式
本节要点
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
.)s in,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
.)s in,c o s()(0??? ???? ??? r d rrrfd
.)s in,c o s()(020 ??? ??? ??? r d rrrfd
?
?
?
?
?
（在积分中注意使用对称性）
二重积分在极坐标下的计算公式
??
D
r d r drrf ??? )s i n,co s(
.)s in,c o s()( )(2
1??
? ?? ???? ??? r d rrrfd
.)s in,c o s()(0??? ???? ??? r d rrrfd
.)s in,c o s()(020 ??? ??? ??? r d rrrfd
?
?
?
?
?
（在积分中注意使用对称性）
交换积分次序,
).0(),(
c o s
0
2
2
???? ??
?
?
?
?
adrrfdI
a
思
考
题
,
co s0
22:
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y
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a
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a
ra rcco s??
.),(a r c c o s
a r c c o s0 ?? ?
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r
a
r
a drfdrI ??
思考题解答