导数概念
初等函数的求导法则
反函数、复合函数的求导法则
高阶导数
第二章 导数与微分
其他形式函数导数
函数的微分
微分在近似计算中的应用
第一节 导数概念
问题的提出
导数的几何意义与物理意义
导数的定义
按定义求导数
可导与连续的关系
0t t?
,0 时刻的瞬时速度求 t
t
如图,
,0 tt 的时刻取一邻近于,?运动时间
t
sv
?
??平均速度
0
0
tt
ss
?
?? ).(
2 0 tt
g ??
,0时当 tt ? 取极限得
2
t)(tlimv 0
0
??
?
g
tt
瞬时速度,0gt?
1.自由落体运动的瞬时速度问题
一、问题的提出
割线的极限位置 —— 切线位置
播放
2.切线问题
? ?
T
0x xo x
y )(xfy ?
C
N
M
如图,如果割线 MN绕点
M旋转而趋向极限位置
MT,直线 MT就称为曲线
C在点 M处的 切线,
极限位置即
.0,0 ??? N M TMN ).,(),,( 00 yxNyxM设
的斜率为割线 MN
0
0t a n
xx
yy
?
???,)()(
0
0
xx
xfxf
?
??
,,0xxMN C ???? ?? 沿曲线
的斜率为切线 MT,)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx ?
????
?
,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(,
)(
0
0
0
00
0
0
0
xx
yxxfy
xxfy
xx
yxfxxfy
yxx
xxx
xxfy
?
??
?
???
??????
??
?
?
记为处的导数在点数
并称这个极限为函处可导在点
则称函数时的极限存在之比当
与如果得增量
取相应地函数时仍在该邻域内
点处取得增量在当自变量有定义
的某个邻域内在点设函数
定义
二、导数的定义
.)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
????
?其它形式
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
x
xfxxf
x
yy
xxxx ?
????
?
???
?????
)()(limlim 00
000
,)(
00 xxxx dx
xdf
dx
dy
?? 或
即
.
,0
慢程度
而变化的快因变量随自变量的变化反映了
它处的变化率点导数是因变量在点 x
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导
内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy ?
1
2
1、关于导数的说明：
.
)(
),(,
.)(.
)(,
dx
xdf
dx
dy
xfy
xf
xfIx
或记作
的导函数这个函数叫做原来函数导数值
的一个确定的都对应着对于任一
??
?
x
xfxxfy
x ?
?????
??
)()(lim
0
即
.)()(lim)(
0 h
xfhxfxf
h
????
?
或
.)()(.1 00 xxxfxf ????
3
注
意
播放
2.导函数 (瞬时变化率 )是函数平
均变化率的逼近函数,
2.右导数,
单侧导数
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????函数 )( xf 在点 0x 处可导 ? 左导数 )( 0xf ?? 和右
导数 )( 0xf ?? 都存在且相等,
1
2
如果 )( xf 在开区间 ? ?ba,内可导，且 )( af ?? 及
)( bf ?? 都存在，就说 )( xf 在闭区间 ? ?ba,上可导,
.
,
),(
),(
)( 0
0
0
可导性
的讨论在点设函数 x
xxx
xxx
xf
?
?
?
?
?
?
?
?
x
xfxxf
x ?
???
???
)()(lim 00
0若
x
xxx
x ?
????
???
)()(l i m 00
0
??,)(
0 存在xf ???
3
4
则 )( xf 在点 0x 可导，
,)( 0 存在xf ???
x
xfxxf
x ?
???
???
)()(lim 00
0若
x
xxx
x ?
????
???
)()(l i m 00
0
??
,)()( 00 axfxf ???? ??且
.)( 0 axf ??且
);()()1( xfxxfy ?????求增量;)()()2( x xfxxfxy ? ??????算比值
.lim)3( 0 xyy x ???? ??求极限
例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf ?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?h
CC
h
?
? 0l i m
.0?
.0)( ??C即
步骤,
三、由定义求导数
例 2
.)( s i n)( s i n,s i n)(
4
????? xxxxxf 及求设函数
解 h xhxx
h
s in)s in (li m)( s in
0
????
?
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
???
?,cos x?
.c o s)( s i n xx ??即
44
co s)( s i n ?
???
???
xx
xx,
2
2?
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhxx
nn
h
n ????
?
)(lim)(
0
]!2 )1([l i m 1210 ???? ????? nnnh hhxnnnx ?1?? nnx
.)( 1??? nn nxx即
更一般地 )(.)( 1 Rxx ????? ???
)( ?x例如,12
1
2
1 ?? x,
2
1
x?
)( 1 ??x 11)1( ???? x,12x??
例 4,)1,0()( 的导数求函数 ??? aaaxf x
解 h aaa
xhx
h
x ???
?
? 0lim)(
h
aa h
h
x 1lim
0
??
?
.ln aa x?
.ln)( aaa xx ??即,)( xx ee ??
例 5,)1,0(l o g 的导数求函数 ??? aaxy a
解 h xhxy aah lo g)(lo glim 0 ???? ?
.l o g1)( l o g exx aa ??即,
1)(ln
xx ??
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
l i m
0
?
?
?
?
h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0 ?? ?,lo g
1 e
x a?
例 6,0)( 处的可导性在讨论函数 ?? xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf ????
h
h
h
fhf
hh ?? ??
???
00
lim)0()0(lim,1?
h
h
h
fhf
hh
????
?? ?? 00 li m
)0()0(li m,1??
),0()0( ?? ??? ff即,0)( 点不可导在函数 ??? xxfy
o x
y )(xfy ?
?
T
0x
M
)(,t a n)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角
即切线的斜率
处的在点
表示曲线
????
??
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为
法线方程为
).)(( 000 xxxfyy ????
).()(1 0
0
0 xxxfyy ?????
1.几何意义
四、导数的几何意义与物理意义
例 7
.,
)2,21(1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率
处的切线的在点求等边双曲线 xy ?
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1??? xyk
2
1)
1(
?
??
xx 212
1
?
??
xx
.4??
所求切线方程为
法线方程为
),21(42 ???? xy
),21(412 ??? xy
.044 ??? yx即
.01582 ??? yx即
非均匀变化量的瞬时变化率,
变速直线运动,路程对时间的导数为物体的
瞬时速度,
.lim)(
0 dt
ds
t
stv
t
????
??
交流电路,电量对时间的导数为电流强度,
.lim)(
0 dt
dq
t
qti
t
????
??
非均匀的物体,质量对长度 (面积,体积 )的导
数为物体的线 (面,体 )密度,
2.物理意义
凡可导函数都是连续函数,
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx ?????? ?????? )( 0xfxy
xxxfy ?????? ?)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx ??????? ???? 0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
)0(0 ??? x?
定理
五、可导与连续的关系
连续函数不存在导数举例
.,)(
)()(,)(.1 000
函数在角点不可导的角点为函数
则称点若连续函数
xf
xxfxfxf ?? ???
x
y
2xy?
0
xy?例如,
,
0,
0,)( 2
?
?
?
?
??
xx
xxxf
.)(0,0 的角点为处不可导在 xfxx ??
该定理的逆定理不成立,注意
3 1?? xy
x
y
0 1
)(.)(
,
)()(
limlim
,)(.2
0
00
00
0
不可导有无穷导数在点称函数
但连续在点设函数
xxf
x
xfxxf
x
y
xxf
xx
??
?
???
?
?
?
????
例如,
,1)( 3 ?? xxf
.1 处不可导在 ?x
.,)(
)(.3
0 点不可导则指摆动不定
不存在在连续点的左右导数都函数
x
xf
,
0,0
0,1s i n)(
??
?
?
?
?
??
x
x
x
xxf
例如,
.0 处不可导在 ?x
0
1
1/π－ 1/π x
y
.)(
)(,
,)(.4
0
00
不可导点
的尖点为函数则称点符号相反
的两个单侧导数且在点若
xfx
xxf ???
x
y
o x
y
0xo
)(xfy? )(xfy?
例 8
.0
,
0,0
0,
1
s i n
)(
处的连续性与可导性在
讨论函数
?
??
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
xf
解,1s i n 是有界函数x? 01s i nl i m 0 ?? ? xxx
.0)( 处连续在 ?? xxf
处有但在 0?x x x
x
x
y
?
?
??
??
?
?
? 00
1s i n)0(
x??
1sin
.11,0 之间振荡而极限不存在和在时当 ????? xyx
.0)( 处不可导在 ?? xxf
0)(lim)0( 0 ?? ? xff x?
1,导数的实质, 增量比的极限 ;
2, axf ?? )( 0 ? ??? )( 0xf ;)( 0 axf ???
3,导数的几何意义, 切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法, 由定义求导数,
6,判断可导性
不连续,一定不可导,
连续
直接用定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
小 结
函数 )( xf 在某点 0x 处的导数 )( 0xf ?
与导函数 )( xf ? 有什么区别与联系？
思
考
题
由导数的定义知,)(
0
xf ? 是一个具体的
数值,)( xf ? 是由于 )( xf 在某区间 I 上每一
点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即
Ix ??,有唯一值 )( xf ? 与之对应，所以两
者的 区别 是：一个是数值，另一个是函数．两
者的 联系 是：在某点 0x 处的导数 )( 0xf
?
即是导
函数 )( xf ? 在 0x 处的函数值．
思考题解答
一,填空题：
1, 设 )( xf 在
0
xx ? 处可导，即 )(
0
xf ? 存在，则
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
?
?
???
??
x
xfxxf
x
,
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
?
?
???
??
x
xfxxf
x
,
2, 已知物体的运动规律为
2
ts ?
( 米 ),则该物体在
2?t
秒时的速度为 _____ __,
3, 设
3 2
1
)( xxy ?,
22
1
)(
x
xy ?,
5
3 22
3
)(
x
xx
xy ?,则
它们的导数分别为
dx
dy
1
=___ __ ___ __ __ ___ __ _ _,
dx
dy
2
=__ __ ___ __ ___ _,
dx
dy
3
=___ ___ __ __ ___,
练 习 题
4, 设 2)( xxf ?,则 ? ? ?? )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
? ? ?? )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
5, 曲线 xey ? 在点 )1,0( 处的切线方程为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,在下列各题中均假定 )(
0
xf ? 存在，按照导数的定
义观察下列极限，分析并指出 A 表示什么？
1, A
xx
xfxf
xx
?
?
?
?
0
0
)()(
l i m
0；
2, A
h
hf
h
?
?
)(
l i m
0
，其中 )0(0)0( ff
?? 且
存在；
3, A
h
hxfhxf
h
?
???
?
)()(
l i m
00
0
.
三、证明：若 )( xf 为偶函数且
)0(f ?
存在，则
0)0( ??f
.
四,设函数
?
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
1
s i n
)(
x
x
x
x
xf
k
问 k 满足什么条
件，
)( xf
在 0?x 处 (1) 连续； （ 2 ）可导；
（ 3 ）导数连续,
五,设函数
?
?
?
??
?
?
1,
1,
)(
2
xbax
xx
xf,为了使函数
)( xf
在
1?x
处连续且可导，
ba,
应取什么值,
六,已知
?
?
?
?
?
?
0,
0,s i n
)(
xx
xx
xf
,求
)( xf
.
七,证明：双曲线
2
axy ? 上任一点处的切线与两
坐标轴构成的三角形的面积都等于
2
2 a
.
八,设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点
的坐标为 x,于是分布在区间 ]1,0[ 上细棒的质
量 m 是 x 的函数 )( xmm ?,应怎样确定细棒在点
0
x 处的线密度 （对于均匀细棒来说，单位长度细棒
的质量叫作这细棒的线密度）？
一,1, )(
0
xf ? ； 2, )(
0
xf ?? ；
3,
6
5
3
3
1
6
1
,
2
,
3
2 ??
? x
x
x ； 3,
2
4 x,
2
2 x ；
5, 01 ??? yx,
二,1, )(
0
xf ? ； 2, )0(f ? ； 3, )(2
0
xf ?,
四,(1) 当
0?k
时,)( xf 在
0?x
处连续；
(2) 当
1?k
时,)( xf 在
0?x
处可导,且
0)0( ??f；
(3 ) 当
2?k
及
0?x
时,
)( xf ?
在
0?x
处连续,
五,1,2 ??? ba,
六,
?
?
?
?
?
?
0,1
0,c o s
)(
x
xx
xf, 八、
0
xx
dx
dm
?
.
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