第八节 函数图形的描绘
渐近线
图形描绘的步骤
作图举例
定义,
.
)(,
,
)(
一条渐近线
的就称为曲线那么直线趋向于零
的距离到某定直线如果点移向无穷点时
沿着曲线上的一动点当曲线
xfyL
LP
Pxfy
?
?
1.铅直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x
.)(
)(lim)(lim
0
00
的一条铅直渐近线就是那么
或如果
xfyxx
xfxf
xxxx
??
????
?? ??
一、渐近线
例如,)3)(2( 1 ??? xxy
有铅直渐近线两条,,3,2 ??? xx
2.水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么
为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
??
??
??????
例如,a r c t a n xy ?
有水平渐近线两条,,2,2 ????? yy
3.斜渐近线
.)(
),(0)]()([l i m
0)]()([l i m
的一条斜渐近线就是那么
为常数或
如果
xfybaxy
babaxxf
baxxf
x
x
???
???
???
???
???
斜渐近线求法,
,)(lim axxf
x
?
??,])([lim baxxfx ????
.)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy ???
注意,;
)(
l i m)1( 不存在
如果
x
xf
x ??
,])([lim,)(lim)2( 不存在但存在 axxfax xf
xx
??
????
.)( 不存在斜渐近线可以断定 xfy ?
例 1,1 )3)(2(2)( 的渐近线求 ? ??? x xxxf
解 ).,1()1,(,???? ?D
??? )(li m1 xfx?,?? ??? )(lim 1 xfx,??
.1 是曲线的铅直渐近线?? x
?
?? x
xf
x
)(lim?又
)1(
)3)(2(2li m
?
??
?? xx
xx
x,2?
]2)1( )3)(2(2[lim xxx xx
x
?? ??
??
1
)1(2)3)(2(2lim
?
?????
?? x
xxxx
x,4?
.42 是曲线的一条斜渐近线??? xy
的两条渐近线如图1 )3)(2(2)( ? ??? x xxxf
利用函数特性描绘函数图形,
第一步
第二步
确定函数 )( xfy ? 的定义域,对函数进行奇
偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,
求出函数的一阶导数 )(' xf 和二阶导数 )(" xf ; 求出方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 在函数定义
域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数
不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
二、图形描绘的步骤
第三步
确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符
号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹
凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐
近线以及其他变化趋势 ;
第五步
描出与方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 的根对
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综
合前四步讨论的结果画出函数的图形,
例 2,2)1(4)( 2 的图形作函数 ??? xxxf
解,0,?xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)2(4)( 3xxxf ????,)3(8)( 4xxxf ????
,0)( ?? xf令,2??x得驻点
,0)( ??? xf令,3??x得特殊点
]2)1(4[lim)(lim 2 ??? ???? xxxf xx,2?? ;2??y得水平渐近线
三、作图举例
]2)1(4[lim)(lim 200 ??? ?? xxxf xx,???
.0?x得铅直渐近线
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,
x )3,( ??? ),0( ??)2,3( ??3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
? ?
?
0
0)(xf ??
2? 0
? ?
? ??
不存在
拐点 极值点 间
断
点3?)9
26,3( ??
:补充点 );0,31(),0,31( ??
),2,1( ??A ),6,1(B ).1,2(C
作图
x
y
o
2?
3?
2
1
11?2?3?
6
A
B
C
2)1(4)( 2 ??? xxxf
例 3,21)( 2
2
的图形作函数
x
ex ????
解 ),,(,????D
偶函数,图形关于 y轴对称,
,2)( 2
2x
exx ????? ?
,0)( ??? x令,0?x得驻点
,0)( ?? ?? x令,1,1 ??? xx得特殊点
.4.021)(0,????? xW
.2 )1)(1()( 2
2x
exxx ?? ????? ??
2
2
2
1lim)(lim x
xx
ex ?
???? ?
???,0?,0?y得水平渐近线
x )1,( ??? ),1( ??)0,1(?1? )1,0(
)(x??
)(x?
? ?
?
0
0)(x???
0 1
?
?
?
? ?
拐点 极大值
?2
1)
21,1( e??
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点 )
21,1( e?
x
y
o 11?
21
2
2
2
1)( xex ?
???
例 4,1)( 23 的图形作函数 ???? xxxxf
解 ),,(,????D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( ???? xxxf ).13(2)( ???? xxf
,0)( ?? xf令,1,31 ??? xx得驻点
,0)( ??? xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
x )31,( ??? ),1( ??)31,31(?31? )1,31(
? ?
?
0
3
1 1
?
? ???
拐点极大值
27
32 )
2716,31(
0)(xf?
)(xf
)(xf ?? 极小值
0
x
y
o
)0,1(?A
)1,0(B )85,23(C
11? 3131?
123 ???? xxxy
例 7
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间
凹凸极值的单调区间求函数
?
??
x
x
xy
解,)1( 定义域,1??x
),,1()1,1()1,( ?????? ??即
1)( 2 ?
?????
x
xxxf? ),( xf?? 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
?
???
x
x,
)1(
)3(
22
22
?
??
x
xx
,0??y令,3,0,3??x得
y? 22
2
)1(
)3(2
?
??
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 ???? xx
,0???y令,0?x得可能拐点的横坐标
,lim)3( ???? yx? ;没有水平渐近线?
,li m 01 ????? yx又,lim 01 ????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ??
,li m 01 ?????? yx,lim 01 ?????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ???
x
ya
x ??
? lim? )1(1l i m 2 ???
?? x
xx
xx,1?
)(lim axyb x ?? ?? )(lim xyx ?? ?? 1l i m 2 ?? ?? x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy ??
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为
驻点以函数的不连续点
??
????
xx
xx
列表如下,
x )3,( ??? )1,0()1,3( ??3? )0,1(?
y?
y
? ?
y?
1? 0
?
? ?
极大值
0
拐点
0 0?
? ?
x 31
y?
y
?y?
极小值
0?
)3,1( ),3( ??
?
?
??? 3xy极大值,323?
?? 3xy极小值,323
).0,0(拐点为
x
y
o
xy?
1? 1
作图
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导
数应用的综合考察,
x
y
oa b
最
大
值
最
小
值
极
大
值 极
小
值
拐
点
凹的
凸的
单增
单减)( xfy ?
小 结
两坐标轴 0?x, 0?y 是否都是
函数
x
x
xf
s i n
)( ? 的渐近线？
思考题
0s i nlim ?
?? x
x
x
?
0?? y 是 其图象的渐近线,
0?? x 不是 其图象的渐近线,
???
?
1s i nl i m
0 x
x
x
?
x
xy s in?
思考题解答
一,选择题：
1, 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个
共同点，即 （ ）
（ A ） 它们都给出了 ξ 点的求法,
（ B ） 它们都肯定了 ξ 点一定存在，且给出了求 ξ 的
方法。
（ C ） 它们都先肯定了
?
点一定存在，而且如果满足
定理条件，就都可以用定理给出的公式计算 ξ 的
值,
（ D ） 它们只肯定了 ξ 的存在，却没有说出 ξ 的值是
什么，也没有给出求 ξ 的方法,
D
思考题
2, 若 )( xf 在 ),( ba 可导且 )()( bfaf ?,则 （ ）
（ A ） 至少存在一点 ),( ba??,使 0)( ?? ?f ；
（ B ） 一定不存在点 ),( ba??,使 0)( ?
? ?f；
（ C ） 恰存在一点
),( ba??
，使 0)( ?
? ?f；
（ D ） 对任意的
),( ba??
，不一定能使
0)( ?? ?f
,
3,已知
)( xf
在
],[ ba
可导，且方程 f(x) =0 在
),( ba
有
两个不同的根
?
与
?
，那么在
),( ba
（ ）
0)( ?? xf,
（ A ） 必有；
（ B ） 可能有；
（ C ） 没有；
（ D ） 无法确定,
D
A
4,如果 )( xf 在 ],[ ba 连续，在 ),( ba 可导,c 为介于
ba,之间的任一点，那么在 ),( ba （ ）找到两点
12
,xx,使 )()()()(
1212
cfxxxfxf ???? 成立,
（ A ）必能； （ B ）可能；
（ C ）不能； （ D ）无法确定能,
5,若
)( xf
在 ],[ ba 上连续，在
),( ba
内可导，且
),( bax ?
时，
0)( ?? xf
，又
0)( ?af
,则 （ ）,
（ A ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ B ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)( ?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的
正负号无法确定,
B
D
6, 0)(
0
?? xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点
处有极值的 （ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
7,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小
值，则 （ ）,
（ A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
（ B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
（ C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是
最小值；
（ D ）极大值必大于极小值,
B
C
8,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( ?? xf,
二阶导数 0)( ??? xf,则函数 )( xf 在此区间内 ( ).
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
9,设 0)(lim)(lim ??
??
xFxf
axax
，且在点
a
的某
邻域中 （点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在，
且
0)( ?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax ?
存在是
)(
)(
l i m
'
'
xF
xf
ax ?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件,
D
B
10, ?
?
?
?
x
x
x
c o s1
1c o s h
lim
0
（ ）,
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1
? ；
（ C ） 1 ； （ D ）
2
1
.
二、求极限：
1,
22
l i m
ax
axax
ax
?
???
?
?
（
0?a
）；
2,
3
1
0
)
s i n1
ta n1
(l i m
x
x
x
x
?
?
?；
3, )]
1
1l n ([lim
2
x
xx
x
??
??； 4,
x
x
x
c o s1
s i n
lim
0
?
?；
C
一,填空题：
1, 曲线
x
ey
1
? 的水平渐近线为 ____ __ __ ___ __ __.
2, 曲线
1
1
?
?
x
y 的水平渐近线为 ____ __ __ ___ __ _,
铅直渐近线为 ____ ___ __ __ ___,
二,描出下列函数的图形：
1,
x
xy
1
2
?? ；
2,
22
)1( ?? xxy ；
3,
xy si nln?
.
三、求曲线
x
xy
1
?? 的渐近线并画图,
练 习 题
一,1, 1?y ； 2, 1,0 ?? xy,
练习题答案
一,1, D ； 2, D ； 3, A ； 4, B ； 5, D ；
6, B ； 7, C ； 8, D ； 9, B ； 1 0, C,
渐近线
图形描绘的步骤
作图举例
定义,
.
)(,
,
)(
一条渐近线
的就称为曲线那么直线趋向于零
的距离到某定直线如果点移向无穷点时
沿着曲线上的一动点当曲线
xfyL
LP
Pxfy
?
?
1.铅直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x
.)(
)(lim)(lim
0
00
的一条铅直渐近线就是那么
或如果
xfyxx
xfxf
xxxx
??
????
?? ??
一、渐近线
例如,)3)(2( 1 ??? xxy
有铅直渐近线两条,,3,2 ??? xx
2.水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x
.)(
)()(lim)(lim
的一条水平渐近线就是那么
为常数或如果
xfyby
bbxfbxf
xx
??
??
??????
例如,a r c t a n xy ?
有水平渐近线两条,,2,2 ????? yy
3.斜渐近线
.)(
),(0)]()([l i m
0)]()([l i m
的一条斜渐近线就是那么
为常数或
如果
xfybaxy
babaxxf
baxxf
x
x
???
???
???
???
???
斜渐近线求法,
,)(lim axxf
x
?
??,])([lim baxxfx ????
.)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy ???
注意,;
)(
l i m)1( 不存在
如果
x
xf
x ??
,])([lim,)(lim)2( 不存在但存在 axxfax xf
xx
??
????
.)( 不存在斜渐近线可以断定 xfy ?
例 1,1 )3)(2(2)( 的渐近线求 ? ??? x xxxf
解 ).,1()1,(,???? ?D
??? )(li m1 xfx?,?? ??? )(lim 1 xfx,??
.1 是曲线的铅直渐近线?? x
?
?? x
xf
x
)(lim?又
)1(
)3)(2(2li m
?
??
?? xx
xx
x,2?
]2)1( )3)(2(2[lim xxx xx
x
?? ??
??
1
)1(2)3)(2(2lim
?
?????
?? x
xxxx
x,4?
.42 是曲线的一条斜渐近线??? xy
的两条渐近线如图1 )3)(2(2)( ? ??? x xxxf
利用函数特性描绘函数图形,
第一步
第二步
确定函数 )( xfy ? 的定义域,对函数进行奇
偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,
求出函数的一阶导数 )(' xf 和二阶导数 )(" xf ; 求出方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 在函数定义
域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数
不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间,
二、图形描绘的步骤
第三步
确定在这些部分区间内 )(' xf 和 )(" xf 的符
号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹
凸与拐点 （ 可列表进行讨论）；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐
近线以及其他变化趋势 ;
第五步
描出与方程 0)(' ?xf 和 0)(" ?xf 的根对
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综
合前四步讨论的结果画出函数的图形,
例 2,2)1(4)( 2 的图形作函数 ??? xxxf
解,0,?xD 非奇非偶函数,且无对称性,
,)2(4)( 3xxxf ????,)3(8)( 4xxxf ????
,0)( ?? xf令,2??x得驻点
,0)( ??? xf令,3??x得特殊点
]2)1(4[lim)(lim 2 ??? ???? xxxf xx,2?? ;2??y得水平渐近线
三、作图举例
]2)1(4[lim)(lim 200 ??? ?? xxxf xx,???
.0?x得铅直渐近线
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,
x )3,( ??? ),0( ??)2,3( ??3? )0,2(?
)(xf?
)(xf
? ?
?
0
0)(xf ??
2? 0
? ?
? ??
不存在
拐点 极值点 间
断
点3?)9
26,3( ??
:补充点 );0,31(),0,31( ??
),2,1( ??A ),6,1(B ).1,2(C
作图
x
y
o
2?
3?
2
1
11?2?3?
6
A
B
C
2)1(4)( 2 ??? xxxf
例 3,21)( 2
2
的图形作函数
x
ex ????
解 ),,(,????D
偶函数,图形关于 y轴对称,
,2)( 2
2x
exx ????? ?
,0)( ??? x令,0?x得驻点
,0)( ?? ?? x令,1,1 ??? xx得特殊点
.4.021)(0,????? xW
.2 )1)(1()( 2
2x
exxx ?? ????? ??
2
2
2
1lim)(lim x
xx
ex ?
???? ?
???,0?,0?y得水平渐近线
x )1,( ??? ),1( ??)0,1(?1? )1,0(
)(x??
)(x?
? ?
?
0
0)(x???
0 1
?
?
?
? ?
拐点 极大值
?2
1)
21,1( e??
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
0
拐点 )
21,1( e?
x
y
o 11?
21
2
2
2
1)( xex ?
???
例 4,1)( 23 的图形作函数 ???? xxxxf
解 ),,(,????D 无奇偶性及周期性,
),1)(13()( ???? xxxf ).13(2)( ???? xxf
,0)( ?? xf令,1,31 ??? xx得驻点
,0)( ??? xf令,31?x得特殊点
:补充点 ),0,1(?A ),1,0(B ).85,23(C
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,
x )31,( ??? ),1( ??)31,31(?31? )1,31(
? ?
?
0
3
1 1
?
? ???
拐点极大值
27
32 )
2716,31(
0)(xf?
)(xf
)(xf ?? 极小值
0
x
y
o
)0,1(?A
)1,0(B )85,23(C
11? 3131?
123 ???? xxxy
例 7
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间
凹凸极值的单调区间求函数
?
??
x
x
xy
解,)1( 定义域,1??x
),,1()1,1()1,( ?????? ??即
1)( 2 ?
?????
x
xxxf? ),( xf?? 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
?
???
x
x,
)1(
)3(
22
22
?
??
x
xx
,0??y令,3,0,3??x得
y? 22
2
)1(
)3(2
?
??
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 ???? xx
,0???y令,0?x得可能拐点的横坐标
,lim)3( ???? yx? ;没有水平渐近线?
,li m 01 ????? yx又,lim 01 ????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ??
,li m 01 ?????? yx,lim 01 ?????? yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx ???
x
ya
x ??
? lim? )1(1l i m 2 ???
?? x
xx
xx,1?
)(lim axyb x ?? ?? )(lim xyx ?? ?? 1l i m 2 ?? ?? x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy ??
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为
驻点以函数的不连续点
??
????
xx
xx
列表如下,
x )3,( ??? )1,0()1,3( ??3? )0,1(?
y?
y
? ?
y?
1? 0
?
? ?
极大值
0
拐点
0 0?
? ?
x 31
y?
y
?y?
极小值
0?
)3,1( ),3( ??
?
?
??? 3xy极大值,323?
?? 3xy极小值,323
).0,0(拐点为
x
y
o
xy?
1? 1
作图
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导
数应用的综合考察,
x
y
oa b
最
大
值
最
小
值
极
大
值 极
小
值
拐
点
凹的
凸的
单增
单减)( xfy ?
小 结
两坐标轴 0?x, 0?y 是否都是
函数
x
x
xf
s i n
)( ? 的渐近线？
思考题
0s i nlim ?
?? x
x
x
?
0?? y 是 其图象的渐近线,
0?? x 不是 其图象的渐近线,
???
?
1s i nl i m
0 x
x
x
?
x
xy s in?
思考题解答
一,选择题：
1, 一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个
共同点，即 （ ）
（ A ） 它们都给出了 ξ 点的求法,
（ B ） 它们都肯定了 ξ 点一定存在，且给出了求 ξ 的
方法。
（ C ） 它们都先肯定了
?
点一定存在，而且如果满足
定理条件，就都可以用定理给出的公式计算 ξ 的
值,
（ D ） 它们只肯定了 ξ 的存在，却没有说出 ξ 的值是
什么，也没有给出求 ξ 的方法,
D
思考题
2, 若 )( xf 在 ),( ba 可导且 )()( bfaf ?,则 （ ）
（ A ） 至少存在一点 ),( ba??,使 0)( ?? ?f ；
（ B ） 一定不存在点 ),( ba??,使 0)( ?
? ?f；
（ C ） 恰存在一点
),( ba??
，使 0)( ?
? ?f；
（ D ） 对任意的
),( ba??
，不一定能使
0)( ?? ?f
,
3,已知
)( xf
在
],[ ba
可导，且方程 f(x) =0 在
),( ba
有
两个不同的根
?
与
?
，那么在
),( ba
（ ）
0)( ?? xf,
（ A ） 必有；
（ B ） 可能有；
（ C ） 没有；
（ D ） 无法确定,
D
A
4,如果 )( xf 在 ],[ ba 连续，在 ),( ba 可导,c 为介于
ba,之间的任一点，那么在 ),( ba （ ）找到两点
12
,xx,使 )()()()(
1212
cfxxxfxf ???? 成立,
（ A ）必能； （ B ）可能；
（ C ）不能； （ D ）无法确定能,
5,若
)( xf
在 ],[ ba 上连续，在
),( ba
内可导，且
),( bax ?
时，
0)( ?? xf
，又
0)( ?af
,则 （ ）,
（ A ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ B ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，且
0)( ?bf；
（ C ）
)( xf
在
],[ ba
上单调减少，且
0)( ?bf；
（ D ）
)( xf
在
],[ ba
上单调增加，但
)( bf
的
正负号无法确定,
B
D
6, 0)(
0
?? xf 是可导函数 )( xf 在
0
x 点
处有极值的 （ ）,
（ A ） 充分条件；
（ B ） 必要条件
（ C ） 充要条件；
（ D ） 既非必要又非充 分 条件,
7,若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小
值，则 （ ）,
（ A ）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；
（ B ）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；
（ C ）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是
最小值；
（ D ）极大值必大于极小值,
B
C
8,若在 ),( ba 内，函数 )( xf 的一阶导数 0)( ?? xf,
二阶导数 0)( ??? xf,则函数 )( xf 在此区间内 ( ).
（ A ） 单调减少，曲线是凹的；
（ B ） 单调减少，曲线是凸的；
（ C ） 单调增加，曲线是凹的；
（ D ） 单调增加，曲线是凸的,
9,设 0)(lim)(lim ??
??
xFxf
axax
，且在点
a
的某
邻域中 （点
a
可除外），
)( xf
及
)( xF
都存在，
且
0)( ?xF
,则
)(
)(
l i m
xF
xf
ax ?
存在是
)(
)(
l i m
'
'
xF
xf
ax ?
存在的 （ ）,
（ A ）充分条件； （ B ）必要条件；
（ C ）充分必要条件； （ D ）既非充分也非必要条件,
D
B
10, ?
?
?
?
x
x
x
c o s1
1c o s h
lim
0
（ ）,
（ A ） 0 ； （ B ）
2
1
? ；
（ C ） 1 ； （ D ）
2
1
.
二、求极限：
1,
22
l i m
ax
axax
ax
?
???
?
?
（
0?a
）；
2,
3
1
0
)
s i n1
ta n1
(l i m
x
x
x
x
?
?
?；
3, )]
1
1l n ([lim
2
x
xx
x
??
??； 4,
x
x
x
c o s1
s i n
lim
0
?
?；
C
一,填空题：
1, 曲线
x
ey
1
? 的水平渐近线为 ____ __ __ ___ __ __.
2, 曲线
1
1
?
?
x
y 的水平渐近线为 ____ __ __ ___ __ _,
铅直渐近线为 ____ ___ __ __ ___,
二,描出下列函数的图形：
1,
x
xy
1
2
?? ；
2,
22
)1( ?? xxy ；
3,
xy si nln?
.
三、求曲线
x
xy
1
?? 的渐近线并画图,
练 习 题
一,1, 1?y ； 2, 1,0 ?? xy,
练习题答案
一,1, D ； 2, D ； 3, A ； 4, B ； 5, D ；
6, B ； 7, C ； 8, D ； 9, B ； 1 0, C,
