第 3 节 平面曲线的弧长
平面曲线的弧长
xo
y
0MA?
nMB?1M
2M 1?nM设 A, B 是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点
BMM
MMMA
nn
i
?
?
?,,
,,,
1
10
?
?
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目
无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
此折线的长 ||
1
1?
?
?
n
i
ii MM 的极限存在，则称此极限为
曲线弧 AB 的弧长,
一,平面曲线弧长的概念
曲线可求长的充分条件定理
结论：光滑的曲线弧是可求长的。
曲线,光滑,是指具有连续导数。具体地：
（ 1） 如果曲线方程是由 ],[),( baxxfy ?? 给出，
则该曲线光滑是指,连续。上可导并且在 )(],[)( xfbaxf ?
（ 2） 如果曲线是由参数方程
给出],[)( )( ???? ?
?
?
?
?
? t
ty
tx
则该曲线光滑是指,上，在区间（ ][)(),???? tt
连续。（可导，并且 )(),tt ?? ??
注
意
（ 3） 若曲线是由极坐标给出 ],[),( ???? ?? rr
那么，曲线光滑是指函数
连续。上可导，并且，在 )(][)( ???? rrr ??
以下，我们分别就（ 1）、（ 2）、（ 3）这三种情况来
讨论如何用元素法来求相应曲线的弧长。
设曲线弧为 )( xfy ?
)( bxa ??,其中 )( xf
在 ],[ ba 上有一阶连续导数
xo
y
a bx dxx?
取积分变量为 x,在 ],[ ba
上任取小区间 ],[ dxxx ?,
以对应小切线段的长代替小弧段的长
?dy
小切线段的长 22 )()( dydx ? dxy 21 ???
弧长元素 dxyds 21 ??? 弧长,1 2 dxys ba? ???
一,直角坐标的情形
例 1 计算曲线 2
3
3
2
xy ? 上相应于 x 从 a 到 b
的一段弧的长度,
解,21xy ???
dxxds 2)(1 21???,1 dxx??
所求弧长为
dxxs ba? ?? 1 ].)1()1[(32 2323 ab ????
a b
例 2 计算曲线 ]8,3[ln ?? xxy 上相应于
的一段弧的长度。
解：
dxxs ? ??? 8
3
2])[ ( l n1
dx
x
x
?
?
?
8
3
21
2
3ln
2
11 ??
x
y
3 8
xy ln?
o
例 3 计算曲线 ?? dny n
x?
? 0 s i n 的弧长 )0( ??? nx,
解 nnxny 1s i n ???,s in nx?
dxys ba? ??? 21 dxnxn? ? ?? 0 s in1
ntx ? n d tt ??? ?
0 s in1
dtttttn ? ? ??
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???
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0
22
2co s2s i n22co s2s i n
dtttn ? ? ?????? ?? 0 2c o s2s in.4n?
曲线弧为,)(
)(
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tx
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)( ?? ?? t
其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
22 )()( dydxds ?? 222 ))](()([ dttt ?? ????
dttt )()( 22 ?? ????
弧长,)()( 22 dttts ? ???? ?
? ??
二,参数方程的情形
例 4 求星形线 3
2
3
2
3
2
ayx ?? )0( ?a 的全长,
解 星形线的参数方程为
?
?
?
?
?
tay
tax
3
3
s i n
c o s
)20( ??? t
根据对称性 14ss ?
? ? ? ? dtyx? ? ???? 2
0
224 dttta?
?
? 2
0
co ss i n34
.6a?
第一象限部分的弧长
例 5 证明正弦线 xay s in? )20( ??? x 的弧长
等于椭圆
?
?
?
??
?
tay
tx
s i n1
c o s
2
)20( ??? t 的周长,
证 设正弦线的弧长等于 1s
dxys ? ? ??? 20 21 1 dxxa? ? ?? 20 22 c o s1
设椭圆的周长为 2s
,c o s12 0 22 dxxa? ? ??
? ? ? ?,20 222 dtyxs ? ? ????
根据椭圆的对称性知
? ? ? ?? ? dttats ? ? ??? 0 2222 c o s1s in2
dxxa? ? ?? 0 22 c o s12,1s?
故原结论成立,
dtta? ? ?? 0 22 c o s12
例 6 在摆线 )c o s1(),s i n( tayttax ????
上求分摆线第一拱为 1,3的点的坐标。
解：
设在摆线上所求
点为 ))(),((
0000 tytxM
则由已知有
dttytxdttytx
t
t ?? ??????? ?2 22
0
22
0
0 )()()()(3
代入方程得
dttadtta
t
t ?? ? ?2
0 0
0
2s i n22s i n23
求出两边定积分并整理得
2
1
2c o s
0 ?t
所以得出,
3
2
0
??t
进而求得 M的坐标为
)
2
3),
2
3
3
2(( aaM ??
曲线弧为 )( ??? ??)(?rr ?
其中 )( ?? 在 ],[ ?? 上具有连续导数,
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三、极坐标 情形
例 5 求极坐标系下曲线
3
3
s i n ?
?
??
?
?? ?ar 的长,
)0( ?a
解
????? drrs ? ???? )()( 22
3
1
3c o s3s i n3
2
?????????? ??ar?,3c o s3s i n
2 ??
???????? a
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24
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?? ?0( )3?
例 6 求阿基米德螺线 ?ar ? )0( ?a 上相应于
? 从 0 到 ?2 的弧长,
解,ar ???
????? drrs ? ???? )()( 22
? ?.)412l n (4122 22 ????????? a
? ?? 20 ?? daa 222 ? ? ?? 20a ?? d12 ?
例 7 求曲线 1??r 上相应于
的一段弧的长。至 3443 ?? ??
解,由已知可得
?drrs ? ??? 3
4
4
3
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d)
1
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134
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3 22? ???
12
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2
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平面曲线弧长的概念
直角坐标系下
参数方程情形下
极坐标系下
弧微分的概念
求弧长的公式 ?
?
?
?
?
小 结
思考题
不一定．仅仅有曲线连续还不够，
必须保证曲线光滑才可求长．
思考题解答
平面曲线的弧长
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曲线弧 AB 的弧长,
一,平面曲线弧长的概念
曲线可求长的充分条件定理
结论：光滑的曲线弧是可求长的。
曲线,光滑,是指具有连续导数。具体地：
（ 1） 如果曲线方程是由 ],[),( baxxfy ?? 给出，
则该曲线光滑是指,连续。上可导并且在 )(],[)( xfbaxf ?
（ 2） 如果曲线是由参数方程
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则该曲线光滑是指,上，在区间（ ][)(),???? tt
连续。（可导，并且 )(),tt ?? ??
注
意
（ 3） 若曲线是由极坐标给出 ],[),( ???? ?? rr
那么，曲线光滑是指函数
连续。上可导，并且，在 )(][)( ???? rrr ??
以下，我们分别就（ 1）、（ 2）、（ 3）这三种情况来
讨论如何用元素法来求相应曲线的弧长。
设曲线弧为 )( xfy ?
)( bxa ??,其中 )( xf
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一,直角坐标的情形
例 1 计算曲线 2
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所求弧长为
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例 2 计算曲线 ]8,3[ln ?? xxy 上相应于
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解：
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三、极坐标 情形
例 5 求极坐标系下曲线
3
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例 7 求曲线 1??r 上相应于
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思考题
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思考题解答
