第三节 微积分基本公式
积分上限函数及其导数
牛顿 —— 莱布尼兹公式
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且设 x
为 ],[ ba 上的一点,考察函数 f(x)在部分区间 [a,b]
? xa dxxf )(上的定积分
定积分上仍旧连续，因此这个在首先，由于 ],[)( xaxf
存在。这时 x 即表示定积分的上限，又表示积分变量。
因为定积分与 积分变量 的记法无关,所以，为了明确
起见，可以把 积分变量 改用其它符号,例如用 t表示
成则上面的定积分可以写
一、积分上限函数及其导数
记为,)()( ??? xa dttfx
如果上限 x 在区间 ],[ ba 上任意变动，则对于
每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以
它在 ],[ ba 上定义了一个函数，
?
x
a
dttf )(
即 ?? x
a
dxxf )( ?
x
a
dttf )(
称为积分上限函数。
积分上限函数
a b x
y
o
定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函
数 dttfx
x
a?
?? )()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数
是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
??? ? ? )( bxa ??
xx ??
证 dttfxx xx
a?
?????? )()(
)()( xxx ????????
dttfdttf xaxxa ?? ?? ?? )()(
)(?
x
积分上限函数的性质
?
dttfdttfdttf xaxxxxa ??? ??? ?? )()()(
,)(? ??? xxx dttf
由积分中值定理得
xf ???? )(? ],,[ xxx ????
xx ??? ?,0
),(?fx ???? )(l i ml i m 00 ?fx xx ???? ????
).()( xfx ?? ??
a b x
y
o xx ??
)(x?
x
如果 )( tf 连续,)( xa, )( xb 可导，
则 dttfxF
xb
xa?
? )(
)(
)()( 的导数 )( xF ? 为
? ? ? ? )()()()( xaxafxbxbf ????
证 ? ? dttfxF xa xb )()( 0 )( )(0? ???
dttfxb?? )(0 )(,)()(0 dttfxa??
? ? ? ? )()()()()( xaxafxbxbfxF ?????
??? )( )( )()( xb xa dttfdxdxF
补充
如果 )( tf 连续,a 为常数, )( xb 可导,
则函数
dttfxF
xb
a?
?
)(
)()(
为的导数 )( xF ?
? ? )()()( xbxbfxF ???
特例
求,l im 2
1
c o s
0
2
x
dte
x
t
x
? ?
?
解 ? ?1co s 2x t dtedxd,c o s
1
2? ??? x t dte
dx
d
)(co s2co s ???? ? xe x,s i n 2c o s xex ???
2
1
c o s
0
2
lim x
dte
x
t
x
? ?
? x
ex x
x 2
s i nlim 2c o s
0
?
?
??,
2
1
e?
0
0
分析,这是 型不定式，应用洛必达法则,
例 1
设 )( xf 在 ),( ???? 内连续，且 0)( ?xf, 证明函
数
?
?
?
x
x
dttf
dtttf
xF
0
0
)(
)(
)( 在 ),0( ?? 内为单调增加函数,
证 ? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf? ? x dttfdxd 0 )( ),( xf?
? ?2
0
00
)(
)()()()(
)(
?
?? ???
x
xx
dttf
dtttfxfdttfxxf
xF
例 2
? ?
,
)(
)()()(
)( 2
0
0
?
? ???
x
x
dttf
dttftxxf
xF
)0(,0)( ?? xxf?,0)(0? ?? x dttf
,0)()( ?? tftx?,0)()(0? ??? x dttftx
).0(0)( ???? xxF
故 )( xF 在 ),0( ?? 内为单调增加函数,
设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，且 1)( ?xf, 证明
1)(2
0
?? ? dttfx
x
在 ]1,0[ 上只有一个解,
证,1)(2)( 0 ??? ? dttfxxF x
,0)(2)( ????? xfxF,1)( ?xf?
)( xF 在 ]1,0[ 上为单调增加函数,,01)0( ???F
??? 10 )(1)1( dttfF ? ?? 10 )](1[ dttf,0?
所以 0)( ?xF 即原方程在 ]1,0[ 上只有一个解,
令
例 3
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函
数 dttfx
x
a?
?? )()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个
原函数,
（ 1）肯定了连续函数的原函数是存在的,
（ 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之
间的联系,
定理 2（原函数存在定理）
定理的重要意义：
因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分
又 ? dttfx xa??? )()( 也是 )( xf 的一个原函数,
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的
一个原函数，则 )()()( aFbFdxxf
b
a
???,
? 已知 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
CxxF ???? )()( ],[ bax ?
证
定理 3（微积分基本公式）
二、牛顿 — 莱布尼茨公式
令 ax?,)()( CaaF ????
0)()( ??? ? dttfa aa?,)( CaF ??
),()()( aFxFdttfxa ??? ?
,)()( CdttfxF xa ?? ??
令 ?? bx ).()()( aFbFdxxfba ???
牛顿 — 莱布尼茨公式
)()()( aFbFdxxfba ??? ? ?baxF )(?
一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等于
它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量,
当 ba ? 时,)()()( aFbFdxxfba ??? 仍成立,
求 定积分问题转化为求原函数 的问题,
这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。
微积分基本公式表明：
注
意
求
解
.112 dxx???
当 0?x 时,x1 的一个原函数是 ||ln x,由
dxx??? 12 1 ? ? 12||ln ??? x,2ln2ln1ln ???? 计算曲线 xy s i n? 在 ],0[ ? 上与 x 轴所围
成的平面图形的面积,
解
牛顿 — 莱布尼茨公式
xx c o s)( s i n ??
因为
的一个原函数是即 xx c o ss i n
由 牛顿 — 莱布尼茨公式
例 4
例 5
面积
x
y
o ?
? ?? 0 s in xdxA
? ???? 0co s x
0c o sc o s ??? ?
21)1( ?????
求,)1s i nco s2(20?
? ?? dxxx
解 ??? )c o ss in2( xxx
1s i nc o s2 ??? xx
例 6
原式 ? ? 20c o ss i n2 ?xxx ???,23 ???
设,求, ??
?
??
???
215
102)(
x
xxxf
例 7 ? 20 )( dxxf
解 ? ?? ?? 1
0
2
1
2
0 )()()( dxxfdxxfdxxf
在 ]2,1[ 上规定当 1?x 时,5)( ?xf,
? ??? 10 21 52 dxxdx原式
.6?
x
y
o 1 2
即 xxx ?? c o ss i n2 是 1s i nc o s2 ?? x
的原函数由 牛顿 — 莱布尼茨公式
求,},m a x {
2
2
2?
? dxxx
解 由图形可知
},m a x {)( 2xxxf ?
,
21
10
02
2
2
?
?
?
?
?
??
??
???
?
xx
xx
xx
??? ???? ? 21 2100 2 2 dxxx d xdxx原式,211?
x
y
o
2xy?
xy?
1 22?
例 8
满足方程连续函数设对所有的实数 )(,xfx
Cxdttftdttfx
x
???? ?
0
1 22
2
1)()(
求导得：方程两边对解 x
xxfxxf ??? )()( 2 21)( xxxf ??即
? ? ?????? 10 11 222 21111 Cdttttdxxxx 时，有当
C?? 212ln21即 )12( l n
2
1 ??? C
例 9
试求函数 f(x)及常数 C
dxxx?
?
??6
5
2 3210 计算定积分例
解 计算带绝对值函数的定积分，实
质上是分段函数积分问题，处理的
原则是‘化掉’绝对值符号
31
31
)32(
32
32
2
2
2
???
???
?
?
?
???
??
???
x
xx
xx
xx
xx
或
于是
dxxx?
?
??
6
5
2 32
dxxxdxxxdxxx ??? ??????????
?
?
?
5
3
23
1
21
5
2 )32()32()32(
3
274?
小 结
??? xa dttfx )()(积分上限函数
)()( xfx ?? ?积分上限函数的导数
)()()( aFbFdxxfba ???
微积分基本公式
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关
系．
设 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则 dttf
x
a?
)( 与
duuf
b
x?
)( 是 x 的函数还是 t 与 u 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
思
考
题
dttfxa? )( 与 duufbx? )( 都是 x 的函数
)()( xfdttfdxd xa ??
)()( xfduufdxd bx ???
思考题解答
积分上限函数及其导数
牛顿 —— 莱布尼兹公式
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上连续，并且设 x
为 ],[ ba 上的一点,考察函数 f(x)在部分区间 [a,b]
? xa dxxf )(上的定积分
定积分上仍旧连续，因此这个在首先，由于 ],[)( xaxf
存在。这时 x 即表示定积分的上限，又表示积分变量。
因为定积分与 积分变量 的记法无关,所以，为了明确
起见，可以把 积分变量 改用其它符号,例如用 t表示
成则上面的定积分可以写
一、积分上限函数及其导数
记为,)()( ??? xa dttfx
如果上限 x 在区间 ],[ ba 上任意变动，则对于
每一个取定的 x 值，定积分有一个对应值，所以
它在 ],[ ba 上定义了一个函数，
?
x
a
dttf )(
即 ?? x
a
dxxf )( ?
x
a
dttf )(
称为积分上限函数。
积分上限函数
a b x
y
o
定理１ 如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函
数 dttfx
x
a?
?? )()( 在 ],[ ba 上具有导数，且它的导数
是 )()()( xfdttf
dx
d
x
x
a
??? ? ? )( bxa ??
xx ??
证 dttfxx xx
a?
?????? )()(
)()( xxx ????????
dttfdttf xaxxa ?? ?? ?? )()(
)(?
x
积分上限函数的性质
?
dttfdttfdttf xaxxxxa ??? ??? ?? )()()(
,)(? ??? xxx dttf
由积分中值定理得
xf ???? )(? ],,[ xxx ????
xx ??? ?,0
),(?fx ???? )(l i ml i m 00 ?fx xx ???? ????
).()( xfx ?? ??
a b x
y
o xx ??
)(x?
x
如果 )( tf 连续,)( xa, )( xb 可导，
则 dttfxF
xb
xa?
? )(
)(
)()( 的导数 )( xF ? 为
? ? ? ? )()()()( xaxafxbxbf ????
证 ? ? dttfxF xa xb )()( 0 )( )(0? ???
dttfxb?? )(0 )(,)()(0 dttfxa??
? ? ? ? )()()()()( xaxafxbxbfxF ?????
??? )( )( )()( xb xa dttfdxdxF
补充
如果 )( tf 连续,a 为常数, )( xb 可导,
则函数
dttfxF
xb
a?
?
)(
)()(
为的导数 )( xF ?
? ? )()()( xbxbfxF ???
特例
求,l im 2
1
c o s
0
2
x
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x
t
x
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解 ? ?1co s 2x t dtedxd,c o s
1
2? ??? x t dte
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x 2
s i nlim 2c o s
0
?
?
??,
2
1
e?
0
0
分析,这是 型不定式，应用洛必达法则,
例 1
设 )( xf 在 ),( ???? 内连续，且 0)( ?xf, 证明函
数
?
?
?
x
x
dttf
dtttf
xF
0
0
)(
)(
)( 在 ),0( ?? 内为单调增加函数,
证 ? x dtttfdxd 0 )( ),( xxf? ? x dttfdxd 0 )( ),( xf?
? ?2
0
00
)(
)()()()(
)(
?
?? ???
x
xx
dttf
dtttfxfdttfxxf
xF
例 2
? ?
,
)(
)()()(
)( 2
0
0
?
? ???
x
x
dttf
dttftxxf
xF
)0(,0)( ?? xxf?,0)(0? ?? x dttf
,0)()( ?? tftx?,0)()(0? ??? x dttftx
).0(0)( ???? xxF
故 )( xF 在 ),0( ?? 内为单调增加函数,
设 )( xf 在 ]1,0[ 上连续，且 1)( ?xf, 证明
1)(2
0
?? ? dttfx
x
在 ]1,0[ 上只有一个解,
证,1)(2)( 0 ??? ? dttfxxF x
,0)(2)( ????? xfxF,1)( ?xf?
)( xF 在 ]1,0[ 上为单调增加函数,,01)0( ???F
??? 10 )(1)1( dttfF ? ?? 10 )](1[ dttf,0?
所以 0)( ?xF 即原方程在 ]1,0[ 上只有一个解,
令
例 3
如果 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则积分上限的函
数 dttfx
x
a?
?? )()( 就是 )( xf 在 ],[ ba 上的一个
原函数,
（ 1）肯定了连续函数的原函数是存在的,
（ 2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之
间的联系,
定理 2（原函数存在定理）
定理的重要意义：
因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分
又 ? dttfx xa??? )()( 也是 )( xf 的一个原函数,
如果 )( xF 是连续函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上的
一个原函数，则 )()()( aFbFdxxf
b
a
???,
? 已知 )( xF 是 )( xf 的一个原函数，
CxxF ???? )()( ],[ bax ?
证
定理 3（微积分基本公式）
二、牛顿 — 莱布尼茨公式
令 ax?,)()( CaaF ????
0)()( ??? ? dttfa aa?,)( CaF ??
),()()( aFxFdttfxa ??? ?
,)()( CdttfxF xa ?? ??
令 ?? bx ).()()( aFbFdxxfba ???
牛顿 — 莱布尼茨公式
)()()( aFbFdxxfba ??? ? ?baxF )(?
一个连续函数在区间 ],[ ba 上的定积分等于
它的任意一个原函数在区间 ],[ ba 上的增量,
当 ba ? 时,)()()( aFbFdxxfba ??? 仍成立,
求 定积分问题转化为求原函数 的问题,
这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。
微积分基本公式表明：
注
意
求
解
.112 dxx???
当 0?x 时,x1 的一个原函数是 ||ln x,由
dxx??? 12 1 ? ? 12||ln ??? x,2ln2ln1ln ???? 计算曲线 xy s i n? 在 ],0[ ? 上与 x 轴所围
成的平面图形的面积,
解
牛顿 — 莱布尼茨公式
xx c o s)( s i n ??
因为
的一个原函数是即 xx c o ss i n
由 牛顿 — 莱布尼茨公式
例 4
例 5
面积
x
y
o ?
? ?? 0 s in xdxA
? ???? 0co s x
0c o sc o s ??? ?
21)1( ?????
求,)1s i nco s2(20?
? ?? dxxx
解 ??? )c o ss in2( xxx
1s i nc o s2 ??? xx
例 6
原式 ? ? 20c o ss i n2 ?xxx ???,23 ???
设,求, ??
?
??
???
215
102)(
x
xxxf
例 7 ? 20 )( dxxf
解 ? ?? ?? 1
0
2
1
2
0 )()()( dxxfdxxfdxxf
在 ]2,1[ 上规定当 1?x 时,5)( ?xf,
? ??? 10 21 52 dxxdx原式
.6?
x
y
o 1 2
即 xxx ?? c o ss i n2 是 1s i nc o s2 ?? x
的原函数由 牛顿 — 莱布尼茨公式
求,},m a x {
2
2
2?
? dxxx
解 由图形可知
},m a x {)( 2xxxf ?
,
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??? ???? ? 21 2100 2 2 dxxx d xdxx原式,211?
x
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例 8
满足方程连续函数设对所有的实数 )(,xfx
Cxdttftdttfx
x
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0
1 22
2
1)()(
求导得：方程两边对解 x
xxfxxf ??? )()( 2 21)( xxxf ??即
? ? ?????? 10 11 222 21111 Cdttttdxxxx 时，有当
C?? 212ln21即 )12( l n
2
1 ??? C
例 9
试求函数 f(x)及常数 C
dxxx?
?
??6
5
2 3210 计算定积分例
解 计算带绝对值函数的定积分，实
质上是分段函数积分问题，处理的
原则是‘化掉’绝对值符号
31
31
)32(
32
32
2
2
2
???
???
?
?
?
???
??
???
x
xx
xx
xx
xx
或
于是
dxxx?
?
??
6
5
2 32
dxxxdxxxdxxx ??? ??????????
?
?
?
5
3
23
1
21
5
2 )32()32()32(
3
274?
小 结
??? xa dttfx )()(积分上限函数
)()( xfx ?? ?积分上限函数的导数
)()()( aFbFdxxfba ???
微积分基本公式
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关
系．
设 )( xf 在 ],[ ba 上连续，则 dttf
x
a?
)( 与
duuf
b
x?
)( 是 x 的函数还是 t 与 u 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
思
考
题
dttfxa? )( 与 duufbx? )( 都是 x 的函数
)()( xfdttfdxd xa ??
)()( xfduufdxd bx ???
思考题解答
