第七节
二阶常系数非齐次线性微分方程
型)(ef ( x ) x xp mλ?
小结
型)s i n)(c o s)(()( xxpxxpexf mlx ??? ??
)( xfqyypy ?????? 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程,0?????? qyypy
通解结构,yYy ??
常见类型 ),( xPm,)( xm exP ?
,c o s)( xexP xm ??,s i n)( xexP xm ??
难点, 如何求特解？ 方法, 待定系数法,
型一,)()( xPexf mx??
设非齐方程特解为 xexQy ?)(? 代入原方程
)()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m????????? ???
不是特征方程的根，若 ?)1(,02 ??? qp ?
),()( xQxQ m?可设
是特征方程的单根，若 ?)2(
,02 ??? qp ??,02 ?? p
),()( xxQxQ m?可设;)( xexQy ??;)( xm exxQy ??
是特征方程的重根，若 ?)3(,0
2 ??? qp ??,02 ?? p
),()( 2 xQxxQ m?可设
,)( xQexy mxk ??设 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
是重根
是单根
不是根
2
,1
0
k
上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性
微分方程（ k是重根次数）,
.)(2 xm exQxy ??
注
意
综上讨论
特别地 xAeqyypy ???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
是特征方程的重根
是特征方程的单根
不是特征方程的根
?
?
?
?
??
?
?
?
x
x
x
ex
A
xe
p
A
e
qp
A
y
2
2
2
,
2
,
.23 2 的通解求方程 xxeyyy ??????
解
对应齐次方程通解
特征方程,0232 ??? rr
特征根,,21 21 ?? rr
,221 xx ececY ??
是单根，2???,)( 2 xeBAxxy ??设
代入方程,得 xABAx ??? 22
,
1
2
1
??
?
?
?
??
?
?
B
A
xexxy 2)1
2
1( ??于是
原方程通解为,)12
1( 22
21
xxx exxeCeCy ????
例 1
]s i nco s[)( xPxPexf nlx ??? ??
]22[ jeePeePe
xjxj
n
xjxj
l
x
????
?
?? ?
???
xjnlxjnl e
j
PPe
j
PP )()( )
22()22(
???? ?? ????
,)()( )()( xjxj exPexP ???? ?? ??
,)( )( xjexPqyypy ?? ???????设,)(1 xjmk eQxy ?? ??
利用欧拉公式
型二,]s i n)(c o s)([)( xxPxxPexf nlx ??? ??
,)( )( xjexPqyypy ?? ???????设,)(1 xjmk eQxy ?? ??
][ xjmxjmxk eQeQexy ??? ????
],s i n)(co s)([ )2()1( xxRxxRex mmxk ??? ??
次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1( ? ?nlm,m a x?
,10
??
?
???
????
是单根
不是根
j
jk
上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程,
注
意
.s i n4 的通解求方程 xyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
作辅助方程,4 jxeyy ????
,是单根j???,* jxA x ey ?故
代入上式,42 ?Aj,2 jA ???
,)c os2(s i n22* jxxxxj x ey jx ?????
所求非齐方程特解为,co s2 xxy ??
原方程通解为,c o s2s inc o s 21 xxxCxCy ???
（取虚部）
例 2
.2co s 的通解求方程 xxyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
作辅助方程,2 jxxeyy ????
,2 不是特征方程的根j???
,)( 2* jxeBAxy ??设 代入辅助方程
?
?
?
??
??
13
034
A
BAj,
9
4
3
1 jBA ?????,
,)9431( 2* jxejxy ????
例 3
)2s i n2)(co s9431( xjxjx ????
所求非齐方程特解为,2s i n942co s31 xxxy ???
原方程通解为,2s i n942co s31s i nco s 21 xxxxCxCy ????
,)2s i n312co s94(2s i n942co s31 jxxxxxx ?????
（取实部）
xAexAe xx ?? ?? s i n,co s
.)( 的实部和虚部分别是 xjAe ?? ?
注
意
.t a n 的通解求方程 xyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
用常数变易法求非齐方程通解
,s i n)(c o s)( 21 xxcxxcy ??设
,1)( ?xw,c o s)( t a ns eclns i n)(
22
11
?
?
?
???
????
Cxxc
Cxxxxc
原方程通解为
.t a ns e clnc o ss i nc o s 21 xxxxCxCy ?????
例 4
可以是复数）?? (),()()1( xPexf mx?
);( xQexy mxk ??
],s i n)(co s)([)()2( xxPxxPexf nlx ??? ??
];si n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ??
(待定系数法 )
只含上式一项解法, 作辅助方程,求特解,取
特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,
小 结
写出微分方程 xexyyy 22 8644 ???????
的待定特解的形式,
思
考
题
设 的特解为 2644 xyyy ?????? *1y
xeyyy 2844 ??????设 的特解为 *2y
*2y?*1* yy ?则所求特解为
0442 ??? rr? 特征根 22,1 ?r?
CBxAxy ???? 2*1 xeDxy 22*2 ? （重根）
*2y?*1* yy ? CBxAx ??? 2,22 xeDx?
思考题解答
二阶常系数非齐次线性微分方程
型)(ef ( x ) x xp mλ?
小结
型)s i n)(c o s)(()( xxpxxpexf mlx ??? ??
)( xfqyypy ?????? 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程,0?????? qyypy
通解结构,yYy ??
常见类型 ),( xPm,)( xm exP ?
,c o s)( xexP xm ??,s i n)( xexP xm ??
难点, 如何求特解？ 方法, 待定系数法,
型一,)()( xPexf mx??
设非齐方程特解为 xexQy ?)(? 代入原方程
)()()()()2()( 2 xPxQqpxQpxQ m????????? ???
不是特征方程的根，若 ?)1(,02 ??? qp ?
),()( xQxQ m?可设
是特征方程的单根，若 ?)2(
,02 ??? qp ??,02 ?? p
),()( xxQxQ m?可设;)( xexQy ??;)( xm exxQy ??
是特征方程的重根，若 ?)3(,0
2 ??? qp ??,02 ?? p
),()( 2 xQxxQ m?可设
,)( xQexy mxk ??设 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
是重根
是单根
不是根
2
,1
0
k
上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性
微分方程（ k是重根次数）,
.)(2 xm exQxy ??
注
意
综上讨论
特别地 xAeqyypy ???????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
是特征方程的重根
是特征方程的单根
不是特征方程的根
?
?
?
?
??
?
?
?
x
x
x
ex
A
xe
p
A
e
qp
A
y
2
2
2
,
2
,
.23 2 的通解求方程 xxeyyy ??????
解
对应齐次方程通解
特征方程,0232 ??? rr
特征根,,21 21 ?? rr
,221 xx ececY ??
是单根，2???,)( 2 xeBAxxy ??设
代入方程,得 xABAx ??? 22
,
1
2
1
??
?
?
?
??
?
?
B
A
xexxy 2)1
2
1( ??于是
原方程通解为,)12
1( 22
21
xxx exxeCeCy ????
例 1
]s i nco s[)( xPxPexf nlx ??? ??
]22[ jeePeePe
xjxj
n
xjxj
l
x
????
?
?? ?
???
xjnlxjnl e
j
PPe
j
PP )()( )
22()22(
???? ?? ????
,)()( )()( xjxj exPexP ???? ?? ??
,)( )( xjexPqyypy ?? ???????设,)(1 xjmk eQxy ?? ??
利用欧拉公式
型二,]s i n)(c o s)([)( xxPxxPexf nlx ??? ??
,)( )( xjexPqyypy ?? ???????设,)(1 xjmk eQxy ?? ??
][ xjmxjmxk eQeQexy ??? ????
],s i n)(co s)([ )2()1( xxRxxRex mmxk ??? ??
次多项式，是其中 mxRxR mm )(),( )2()1( ? ?nlm,m a x?
,10
??
?
???
????
是单根
不是根
j
jk
上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性微分方程,
注
意
.s i n4 的通解求方程 xyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
作辅助方程,4 jxeyy ????
,是单根j???,* jxA x ey ?故
代入上式,42 ?Aj,2 jA ???
,)c os2(s i n22* jxxxxj x ey jx ?????
所求非齐方程特解为,co s2 xxy ??
原方程通解为,c o s2s inc o s 21 xxxCxCy ???
（取虚部）
例 2
.2co s 的通解求方程 xxyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
作辅助方程,2 jxxeyy ????
,2 不是特征方程的根j???
,)( 2* jxeBAxy ??设 代入辅助方程
?
?
?
??
??
13
034
A
BAj,
9
4
3
1 jBA ?????,
,)9431( 2* jxejxy ????
例 3
)2s i n2)(co s9431( xjxjx ????
所求非齐方程特解为,2s i n942co s31 xxxy ???
原方程通解为,2s i n942co s31s i nco s 21 xxxxCxCy ????
,)2s i n312co s94(2s i n942co s31 jxxxxxx ?????
（取实部）
xAexAe xx ?? ?? s i n,co s
.)( 的实部和虚部分别是 xjAe ?? ?
注
意
.t a n 的通解求方程 xyy ????
解 对应齐方通解,s inc o s 21 xCxCY ??
用常数变易法求非齐方程通解
,s i n)(c o s)( 21 xxcxxcy ??设
,1)( ?xw,c o s)( t a ns eclns i n)(
22
11
?
?
?
???
????
Cxxc
Cxxxxc
原方程通解为
.t a ns e clnc o ss i nc o s 21 xxxxCxCy ?????
例 4
可以是复数）?? (),()()1( xPexf mx?
);( xQexy mxk ??
],s i n)(co s)([)()2( xxPxxPexf nlx ??? ??
];si n)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ??
(待定系数法 )
只含上式一项解法, 作辅助方程,求特解,取
特解的实部或虚部,得原非齐方程特解,
小 结
写出微分方程 xexyyy 22 8644 ???????
的待定特解的形式,
思
考
题
设 的特解为 2644 xyyy ?????? *1y
xeyyy 2844 ??????设 的特解为 *2y
*2y?*1* yy ?则所求特解为
0442 ??? rr? 特征根 22,1 ?r?
CBxAxy ???? 2*1 xeDxy 22*2 ? （重根）
*2y?*1* yy ? CBxAx ??? 2,22 xeDx?
思考题解答
