第七节 广义积分
无穷限的广义积分
无界函数的广义积分
小结
? ba dxxfba )(],[ 上的
推广到无限区间将区间例如 ],[,ba
),),(),,[],,(( ???????? ab
分；反常积分）简称无穷积分就有无限区间的广义积 (
推广到无界函数，上的有界函数将区间 )(],[ xfba
积分（反常积分）简称瑕就有无界函数的广义积
有函数推广到多元函数就分。将被积函数由一元
。含参变量的积分，等等
解决许多实际问题要求我们将函数 f(x)在区间
从不同方面予以推广。
设函数 )( xf 在区间 ),[ ??a 上连续，取 ab ?,如
果极限 ?
???
b
ab
dxxf )(lim 存在，则称此极限 为函数
)( xf 在无穷区间 ),[ ??a 上的广义积分，记作
?
??
a
dxxf )(,
? ??a dxxf )( ????? bab dxxf )(l i m当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散,
定义 1
一、无穷限的广义积分
类似地，设函数 )( xf 在区间 ],( b?? 上连续，取
ba ?,如果极限 ?
???
b
aa
dxxf )(lim 存在，则称此极
限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b?? 上的广义积
分，记作 ?
??
b
dxxf )(,
? ??b dxxf )( ????? baa dxxf )(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ),( ???? 上连续,如果
广义积分 ?
??
0
)( dxxf 和 ?
??
0
)( dxxf 都收敛，则
称上述两广义积分之和为函数 )( xf 在无穷区间
),( ???? 上的广义积分，记作 ?
??
??
dxxf )(,
? ???? dxxf )( ? ??? 0 )( dxxf ? ??? 0 )( dxxf
????? 0 )(l i m aa dxxf ????? bb dxxf0 )(lim
极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散,
计算广义积分,1 2?
??
?? ? x
dx
解 ? ???? ? 21 xdx ? ?? ?? 0 21 xdx? ?? ?? 0 21 xdx
? ?? ??? 0 21 1l i m aa dxx? ?? ??? bb dxx0 21 1lim
? ?0a rct a nlim aa x???? ? ?bb x 0a rc t a nlim ????
aa a r c t a nlim ????? bb a r c t a nlim ????,22 ?????????? ????
例 1
计算广义积分
解
.1s i n12 2? ??
?
dxxx
? ??
?
2
1s i n1
2 dxxx ?
??
?
???????? 2 11s i n xdx
?
?
???????? ???
b
b x
dx2 11s i nl im
b
b
?
??
?
??
??
??? 2
1co slim
??
?
??
? ??
??? 2
c o s1c o slim ?b
b,1?
例 2
证明广义积分 ?
??
1
1
dx
x p
当 1?p 时收敛,
当 1?p 时发散,
证,1)1( ?p ? ??1 1 dxx p ? ??? 1 1 dxx ? ? ??? 1ln x,???
,1)2( ?p ? ??1 1 dxx p
???
??
?
??
?
?
?
1
1
1 p
x p
??
?
?
?
?
?
???
?
1,
1
1
1,
p
p
p
因此当 1?p 时广义积分收敛，其值为
1
1
?p；
当 1?p 时广义积分发散,
例 3
证明广义积分 ?
?? ?
a
px dxe 当 0?p 时收敛,
当 0?p 时发散,
证 ? ?? ?
a
px dxe ? ?
????
b
a
px
b dxel i m
b
a
px
b p
e
??
?
??
? ?? ?
???
l i m
?
?
??
?
? ?? ??
??? p
e
p
e pbpa
b
lim ?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,
0,
p
p
p
e ap
即当 0?p 时收敛，当 0?p 时发散,
例 4
设函数 )( xf 在区间 ],( ba 上连续，而在点 a 的
右 邻 域 内 无 界, 取 0??, 如 果 极 限
?
???
b
a
dxxf
??
)(l i m
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ],( ba 上的广义积分，记作 ?
b
a
dxxf )(,
?ba dxxf )( ? ???? ba dxxf?? )(l i m 0当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散,
定义 2
二、无界函数的广义积分
类似地，设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续，
而在点 b 的左邻域内无界, 取 0??,如果极限
?
?
??
?
?
b
a
dxxf )(lim
0
存在，则称此极限为函数 )( xf
在区间 ),[ ba 上的广义积分，
记作 ?
b
a
dxxf )( ?
?
??
?
?
?
b
a
dxxf )(lim
0
.
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在
时，称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上除点 )( bcac ?? 外连
续，而在点 c 的邻域内无界, 如果两个广义积分
?
c
a
dxxf )( 和 ?
b
c
dxxf )( 都收敛，则定义
? ba dxxf )( ?? ca dxxf )( ?? bc dxxf )(
? ???? ?? ca dxxf )(l i m 0 ? ?????? bc dxxf?? )(l i m 0
否则，就称广义积分 ? ba dxxf )( 发散,
定义中 C为 瑕点,以上积分称为 瑕积分,
计算广义积分
解
).0(
0 22
??? axa dxa
,1lim 22
0
????
?? xaax
?
ax ?? 为被积函数的无穷间断点,
? ?a xa dx0 22 ? ??? ?? ?? a xa dx0 220l i m
?
?
?
?? ??
?
??
?? a
a
x
00
a r c s i nl i m ?
?
?
??
? ???
??
0a r c s i nl i m
0 a
a ?
?
.2??
例 5
证明广义积分 ?
1
0
1
dx
x q
当 1?q 时收敛，当 1?q
时发散,
证,1)1( ?q ?? 10 1 dxx ? ?10ln x?,???
,1)2( ?q ?10 1 dxx q
1
0
1
1 ??
?
??
?
?
?
?
q
x q
??
?
?
?
?
?
???
?
1,
1
1
1,
q
q
q
因此当 1?q 时广义积分收敛，其值为
q?1
1；
当 1?q 时广义积分发散,
?10 1 dxx q
例 6
计算广义积分
解
.ln21? xx dx
?21 ln xxdx ? ???? 210 lnlim ?? xx dx
? ???? 210 ln )(l nl i m ?? xxd ? ? 210 )l n(l nlim ?? ???? x
? ?))1l n ( l n ()2l n ( l nlim 0 ?? ??? ??
.?? 故原广义积分发散,
例 7
计算广义积分
解
.
)1(
3
0 32? ?x
dx
1?x 瑕点
? ?30 32)1( x dx ? ? ??? 10 31
3
2)1()( x
dx
? ?10 32)1( x dx ? ??? ?? ?? 100
3
2)1(lim x
dx3?
? ?31 32)1( x dx ? ??? ?? 310 32)1(lim ?? x dx,23 3??
? ?? 30 32)1( x dx ).21(3 3??
例 8
无界函数的广义积分（瑕积分）
? ???? dxxf )(? ??b dxxf )(? ??a dxxf )(
? ?? ?? ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(
?ba dxxf )(
小 结
无穷限的广义积分
（注意：不能忽略内部的瑕点）
积分 的瑕点是哪几点？? ?
1
0 1
ln dx
x
x
思
考
题
积分 可能的瑕点是? ?10 1ln dxx x 1,0 ?? xx
1
lnl i m
1 ?? x
x
x
?,11lim
1
??
? xx 1?? x 不是瑕点,
? ?? 10 1ln dxx x的瑕点是,0?x
思考题解答